专题特训四 二次函数的图象信息题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 专题特训四 二次 类型一判断图象所在象限 1.(2025·鸟鲁木齐模拟)在同一平面直角坐标 系中，函数y=ax-b(a≠0)和y=号(c≠0) 的大致图象如图所示，则函数y=a.x2十bx十 c(a≠0)的图象大致为 (第1题 D 类型二判断二次函数的图象与系数之间的关系 2.(2024·甘南)二次函数y=ax2+bx+c(a≠ 0)的图象如图所示，有下列结论：①abc<0; ②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b; ⑤a十b<m(am十b)(m≠1).其中，正确 的有 ( A.1个B.2个C.3个D.4个 10 (第2题) (第3题) 3.(2025·连云港模拟)小轩从如图所示的二次 函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象中，观察 得出了以下结论：①abc<0;②a十b+c<0; ③ac-6>0:④a2b:回6+2c>0其 中，正确的个数为 A.2 B.3C.4D.5 4.如图，抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)的顶点 为(1，n),与x轴的一个交点为B(3,0),与 42 函数的图象信息题◆“答案与解析见20 y轴的交点在点(0，一3)和点(0，一2)之间. 5 有下列结论：①>0；②一2<b<- ③(a+c)2-b2=0;④2c-a<2m.其中，正 确的个数为 B x (第4题) A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图 象经过点(1,2)，且与x轴的交点的横坐标分 别为x1,x2,其中-1<x1<0,1<x2<2.有 下列结论：①abc>0;②2a+b<0;③4a一 2b+c>0:④当x=m(1<m<2)时，am2+ bm<2一c;⑤b>1.其中，正确的有 (填序号). 0 1 (第5题) 类型三求方程的解或不等式的解集 6.如图，抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)与x轴 交于点A,B,与y轴交于点C,对称轴为直线 x=一1.若点A的坐标为（一4,0），则下列结 论中，正确的是 () (第6题) A.2a+b=0 B.4a-2b+c>0 C.x=2是关于x的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)的一个根 D.点(x1,y1),(x2y2)在抛物线上，当x1> x2>-1时，y1<y2<0 7.如图，抛物线y=ax2十bx+c(a≠0)的对称 轴为直线x=1,与y轴交于点B(0,一2)，点 A(一1，m)在抛物线上，则下列结论中，错误 的是 () y个 mx=1】 0:1 B 2 (第7题) A.ab<0 B.一元二次方程ax2十bx+c=0的正实数 根在2和3之间 C.a=m+2 3 D.点P1(t,y1),P2(t+1,y2)在抛物线上， 当实数>3时y<y 8.(2025·遵义期中)二次函数y= a.x2+bx+c(a≠0)的图象如图所 示，有下列4个结论：①abc>0; ②b2<4ac;③a+2b>m(am+b)(m≠1)； ④若方程a.x2十bx十c|=1有四个根，则这 四个根的和为2.其中，正确的为 (填序号). (第8题) 9.如图，二次函数y=(x一2)十m的图象与 y轴交于点C,B是点C关于该二次函数图 象的对称轴的对称点.已知一次函数y= kx十b(k≠0)的图象经过该二次函数图象上 第二章二次函数 的点A(1,0),B (1)求二次函数与一次函数的表达式. (2)根据图象，写出满足kx十b≥(x一2)2+ m的x的取值范围. (第9题)》 类型四解决动态几何问题 10.如图，在等边三角形ABC中，AB= 2,点D从点A出发，以每秒2个单 位长度的速度沿折线A-CB运动， 过点D作AB的垂线，垂足为E.设点D的 运动时间为x秒，△ADE的面积为y(当A, D,E三点共线时，不妨设y=0),则能够反映 y与x之间函数关系的大致图象是() (第10题) y个 3 3 2 0 0 B. Y 43物线的对称错为直线x=一会-2 ∴.b=-4a.∴.当x=1时，y=n a+b+c=a-4a-3=-3a-3. -3a-3<-是，解 n<-3 得a>-三.：△=b2-4ac= 4 (-4a)2-4a×(-3)=16a2+12a= 16a(a+）当-子<a<0时， △<0：当a>0时，△>0..抛物线与 x轴可能无交点，可能有两个交点.故 ②错误.·抛物线的对称轴为直线 x=2,∴.当a>0时，若x>2,则y的 值随x值的增大而增大.故③正确. 当1=-6时，-3a-3=-6,解得 a=1,则b=一4，关于x的一元二次 方程a.x2+(b-1)x+4=0为x2 5x十4=0，解方程，得x1=1,x2=4 故④正确.∴.正确的是①③④. 9.(1)当a=-1时，y=-x2+2x十3. 令y=0,则-x2十2x+3=0,解得 x1=3,x2=-1. .该二次函数图象与x轴的交点坐 标为(3,0)，（一1,0）. (2):二次函数y=a.x2-(a-1)· x-2a+1(a为常数，且a<0)的图象 与直线y=-2a+3有且仅有一个 交点， .a.x2-(a-1)x-2a+1=-2a+ 3,即a.x2-(a-1)x-2=0有两个相 等的实数根」 ∴.△=(a-1)2+8a=0,即a2+6a+ 1=0. a为常数，且a<0, ·两边同时除以a,得a十6+1 =0, a 即a+=-6， 10.(1)由题意，得抛物线的对称轴为 直线=之-1 (2)抛物线y=a.x2-2a.x+3沿y轴 向下平移3a个单位长度后，可得抛 物线y=a.x2-2a.x十3-3a1. :其顶点落在x轴上，令y=0,即 a.x2-2a.x+3-3a=0, ∴.△=(-2a)2-4a(3-3a1)=0, 解得a,=圣a:=一号a=0(不合 题意，舍去) ∴0的值为子或-是 3 (3)当x=2时，y2=3, 令y=3,得a.x2-2a.x十3=3. a≠0， ∴.可得方程的解为x1=0,x2=2. 若a<0,结合图象（图略）可知，当0< a<2时，y1>y2,不合题意，舍去； 若a>0,结合图象（图略）可知，当 a<0或a>2时，y1>y2. ∴.a>2. 综上所述，实数a的取值范围是a>2. 11.(1)在y=-x2+2x+3中，令 x=0,得y=3, '.点C的坐标为(0,3) 令y=0,得-x2+2x十3=0，解得 x=一1或x=3. '.易得点B的坐标为(3,0) 设直线BC对应的函数表达式为y= kx+b. 将B(3,0),C(0,3)代入，得 b=3, 解得 k=一1， 3k+b=0, =3. ∴.直线BC对应的函数表达式为 y=-x+3. (2)不存在实数m,使得y1+2y2= 10. 理由：把M(m,y1),N(m+2,y2)代 人二次函数y=一x2+2x十3，可得 y1=-m2+2m+3,y2=-(m+ 2)2+2(m+2)+3=-m2-2m+3, .y1+2y2=-m2+2m+3+ 2(-m2-2m+3)=-3m2-2m+ g=-3(m+)+9 当m=一 时9，十2取得最大 值，为93 93<10, ∴.不存在实数m,使得y1十2y2=10. 20 (3)如图，过点N作NH∥y轴，交 x轴于点H,交BC于点N',过点P 作PQ⊥NH,交NH的延长线于点 Q,过点M作MM'∥y轴，交BC于点 M,则MM'∥NN' 当x=1-m时，y=-(1-m)2十 2(1-m)+3=-m2+4. .点P的坐标为(1一m,一m2+4). 点N的坐标为(m+2,-m2 2m+3), ∴.点Q的坐标为(m+2,一m2+4), 点H的坐标为(m+2,0),点N'的坐 标为(m十2，-m十1). .易得NQ=PQ=|2m+1|,BH= HN'=|-m+1. .∠PNQ=∠BN'H=45. .PN//BC, '.△MDEp△MNP &MD=2MN,即MD=ND. MM∥NN', '.△MM'Dc∽△NN'D ·怨子即aM=NN NN'ND :点M的坐标为(m,-m2+2m十3)， '.点M的坐标为(m,一m十3). ∴.m2-3m=-m2-m+2,即 m2-m-1=0或-4m=-2,解得 m小5成a或a不 合题意，舍去) 3溯足条作的加的值为或 1-√5 2 0 (第11题) 专题特训四二次函数的 图象信息题 1.A2.C3.B 4.B解析：对于①，抛物线开口 向上，∴.a>0.顶点坐标为(1，n), -多=1.b=-2a<0.抛物线 .一2a 与y轴交于负半轴，c<0.心>0 故①正确，对于②，： a=-b ,易得点B(3,0)关于抛物 线对称轴的对称点为（一1,0）.∴.当 x=一1时，y=a一b十c=0.将a= -名代人，得c=号6.由题意得 3 -3<c<-2-3<26<-2 :-2<6<-专故②错误对于③， 当x=-1时，y=a-b+c=0, ∴.(a+c)2-b2=(a+b+c)(a-b+ c)=0.故③正确.对于④，当x=1 b 时，y=a十b+c=n..'a= 2,c= 2b,.n=2b..22=46.又2c马 a=2,且6<0.7b>46,即 7 2c一a>2.故④错误.综上所述，正 确的个数为2. 5.②④⑤解析：对于①，.函数图 象开口向下，∴.a<0.,函数图象的 对称轴在y轴的右侧，∴.a,b异号. ∴.b>0.:函数图象与y轴的交点 在其正半轴上，∴.c>0.∴.abc<0.故 ①情误对于®，由题网，得0K一会< 1.又a<0,∴.2a十b<0.故②正 确.对于③，由题图，得当x=一2时， y=4a一2b+c<0.故③错误.对于 ④，由题图，得当x=m(1<m2)时， y=am2+bm+c<2,..am2+6m< 2一c.故④正确.对于⑤，由题图，得当 x=一1时，y=a-b+c<0;当x=1 时，y=a+b+c=2..∴.a+c=-b十 2..-b+2-b<0.∴.-2b<-2, 即b>1.故⑤正确.综上所述，正确的 有②④⑤. 6.C解析：抛物线的对称轴为直 线=-1一名=-1，即2a b=0.故选项A错误.由题图，知当 x=-2时，y=4a一2b十c<0.故选 项B错误.抛物线与x轴交于点 A(一4,0)，对称轴为直线x=一1， ∴易得抛物线与x轴的另一个交点 B的坐标为(2,0)..x=2是关于x 的一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠ 0)的一个根.故选项C正确.·抛物 线开口向上，对称轴为直线x=一1， ∴.当x>一1时，y随x的增大而增 大..当x1>x2>-1时，y1>y2.故 选项D错误 7.D解析：抛物线开口向上， .a>0.抛物线的对称轴为直线 -2=1,b=-2a<0.小ab< x-2a 0.故选项A正确.：抛物线的对称轴 为直线x=1,抛物线与x轴的一个交 点的横坐标在一1与0之间，∴.抛物 线与x轴的另一个交点的横坐标在 2与3之间..一元二次方程ax2十 bx+c=0的正实数根在2和3之间. 故选项B正确.把B(0,一2)，A(一1， m)代人抛物线对应的函数表达式，得 c=-2,a-b十c=m.又.b=-2a, a十2a-2=m,即a=0放选 项C正确.，点P,(t,y1),P2(t十1， y)在抛物线上，∴.当点P1,P2都不 在直线x=1的左侧时，y,<y2,此时 t≥1.当点P1在直线x=1的左侧， 点P2在直线x=1的右侧时，y1< y2,此时0<1<1且t+1-1>1-t, 解得2<1<1.综上所述，当>2时， y1<y2,故选项D错误. 8.③解析：由二次函数的图象可 知，a<0,c>0..抛物线的对称轴为 b 直线x=一2a =1,..b=-2a>0. ∴.abc<0.故①不正确.·抛物线与 x轴有两个不同的交点，.b2一 4ac>0,即b2>4ac.故②不正确.当 x=1时，y=a十b+c,当x=m时， 21 y=am2+bm十c,∴.易得a+b+c> am2+bm+c(m≠1)..∴.a+b> m(am+b)(m≠1)..b>0,'.a+ b+b>m(am+b)(m≠1)，即a+ 2b>m(m十b)(m≠1).故③正确. .·方程a.x2+bx+c=1有四个根， ∴.方程a.x2十bx十c=1与方程 a.x2+bx十c=一1各自有两个根.设 这四个根分别为x1,x2,x3,x4 x1+2=-6=2,9十4= a -么=2..若方程ax+br十c= 1有四个根，则这四个根的和为4.故 ④不正确.综上所述，正确的为③： 9.(1)将A(1,0)代入y=(x-2)2+ m,得(1-2)2+m=0,解得m=-1, .二次函数的表达式为y=(x 2)2-1. 当x=0时，y=4-1=3, .点C的坐标为(0,3) 点C和点B关于二次函数图象的 对称轴对称，二次函数图象的对称轴 是直线x=2, .点B的坐标为(4,3). 将A(1,0),B(4,3)代人y=kx+b k+b=0 k=1, (k≠0)，得 ’解得 {4k+b=3 b=-1. ∴.一次函数的表达式为y=x一1. (2)A,B两点的坐标分别为(1， 0),(4,3), '.结合题图，可知满足kx十b≥(x一 2)十m的x的取值范围是1≤x≤4. 10.C解析：，△ABC是等边三角 形，AB=2,.AC=BC=AB=2, ∠A=60°.①如图①，当点D在AC 上，即0x1时，AD=2x. DE⊥AB,.∠AED=909 .∠A=60°，.∴.∠ADE=30°. :AD=2,AE=号AD=x ∴.DE=√AD-AE=5x.∴.y= 1 √3 2·AE·DE=2x·5x=2x ∴.当0≤x≤1时，是开口向上的抛物 线的一部分.②如图②，当点D在 BC上，即1<x2时，AC+CD= 2x..BD=4-2x.同理①，易得 BE=2-x,DE=√5(2-x), 1 .AE=2-(2-x）=x.y=2 AEE5g=号+ 5x.∴.当1<x≤2时，是开口向下的 抛物线的一部分.∴选项C符合题意 ① ② (第10题) 专题特训五抛物线的几何 变换规律 1.A 2.D 解析：y=-2x2+4x十1= -2(x-1)2+3,∴.将抛物线y= -2.x2+4x十1先向左平移2个单位 长度，再向上平移3个单位长度后得 到的新抛物线对应的函数表达式为 y=-2(x-1+2)2+3+3,即y= 一2(x十1)+6.∴.新抛物线的顶点 坐标为(-1,6). 3.A解析：y=x2-4x十7= (x一2)2十3，原抛物线先向右平移 3个单位长度，再向上平移2个单位 长度，得到抛物线y=x2一4x十7， ∴.原抛物线对应的函数表达式为 y=(x-2+3)2+3-2=(.x+1)2+ 1=x2+2x+2..b=2. 4.12解析：如图，连接AP,A'P', 过点A作AD⊥PP'于点D,过点P 作PG⊥x轴于点G.由题意，得AP∥ A'P',AP=AP',∴.四边形APP'A' 是平行四边形.易知抛物线上PA段 扫过的区域（涂色部分）的面积即为 □APP'A'的面积.，抛物线的顶点 为P(-2,2),.PG=OG=2..在 Rt△POG中，由勾股定理，得PO= √22+22=2√2.，P'(2,-2),∴.同 理，可得OP'=2W2.∴.PP=OP+ OP'=4√2.PG=OG,∠PGO= 90,∠P0G=∠0G=3×18r- 90)=45°.∴.∠AOP=45°.又 ,AD⊥PP',∴.易得△AOD是等腰 直角三角形.A(0,3),∴AO=3. 在R△AOD中，易得AD二号AO 「32二抛物线上PA段扫过的区域 (涂色部分)的面积为42×32-=12. 2 (第4题) 5.m>3解析：：y=x2+4x十 m=(x+2)2-4十m,∴.平移后的抛 物线对应的函数表达式为y=(x+ 2-3)2-4+m+1=(x-1)2+m 3.、平移后所得抛物线与坐标轴有 且只有一个公共点，∴.平移后的抛物 线与x轴无交点.∴.m-3>0,解得 m>3. 6.(1).0A=4,OB=6, ∴.A(4,0),B(0,6) 设直线AB对应的函数表达式为y= kx十b(k≠0). 把A(4,0),B(0,6)代入，得 3 4k+b=0, 解得 k=一2 b=6, b=6, ∴.直线AB对应的函数表达式为 3 y=-2x+6 根据题意，可设P(D,一受p+6) (p>O),则点P到x轴的距离hp= 3 -2b+6. :Snw=6,即20A·hp=6, 1212 3 ∴.hp=OA4 =3,即-之p+6 3,解得p=2 .P(2,3) '.4a一1=3，解得a=1. 22 (2)由(1)，可得抛物线对应的函数表 达式为y=x2一1， ∴.经过平移后得到的新抛物线对应 的函数表达式为y=(x一2)2-1-1. ·平移后的抛物线经过点A(4,0), ∴.(4-2)2-1-t=0,解得t=3. 7.A解析：设二次函数y=一x2十 2x十3的图象与x轴交于点A,B(,点 A在点B的左侧).：二次函数的表 达式为y=一x2+2x+3=-(x一 1)2+4,∴.抛物线y=-x2+2x十3 的顶点坐标为(1,4).当y=0时， x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2= 3.抛物线y=一x2+2x+3与 x轴的交点为A(一1,0)，B(3,0).将 二次函数y=-x2十2x十3的图象在 x轴上方的部分沿x轴翻折后，易得 翻折后的部分的抛物线对应的函数表 达式为y=(.x-1)2-4(-1≤x≤ 3).如图，当直线y=x十b过点B时， 直线y=x十b与该新函数的图象恰 好有三个公共点，.3十b=0,解得 b=一3.当直线y=x十b与抛物线 y=(x-1)2-4(-1≤x≤3)只有一 个交点时，直线y=x十b与该新函数 的图象恰好有三个公共点，即(x 1)2一4=x十b有两个相等的实数根. 整理，得x2一3.x一b一3=0，∴.△= (一3)2-4（一b-3)=0,解得b= ,符合题意.综上所述，b的值 21 为或- (第7题) 8.y=一2x2一4x一8解析：先将抛 物线y=2x2一4x十8关于x轴作轴 对称变换，可得新抛物线y=一2x2+ 4x一8：再将所得的抛物线y=一2x2+ 4x一8关于y轴作轴对称变换，可得 新抛物线y=一2x2一4x-8.