2.5 二次函数与一元二次方程(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

数学 九年级下册（北师大版） 子40，分×星(4-04-)840gr-3*6 BC∥PD,.设直线PD的表达式为y=-x+9,将D (5,4)代人，得-5+q=4.解得q=9..直线PD的表达 2)若5m是，即受4是(4l, 式为y=-x+9..由题意，得x2-6x+5=-x+9.整理，得 3,x2=5.0≤x≤4，∴x=3.3s后两个三角形重叠部 -5-4-0.解得=5+y④，-5-y④ .点P的 2 2 分的面积等于令cm 横坐标为5+y④红或5-y④ 2 2 12.解：（①令)0，则7+2+60解得-2， 5二次函数与一元二次方程（第2课时） 2=6.4(-2,0),B(6,0).由函数图象得，当y≥0 1.-132.-3.33.C4.B5.C 时，-2≤x≤6.(2)由题意得，B1(6,m),B,(6-n, 6.解：(1)将点P(-3,7)和Q(1,7)分别代 m),B,(-几，m),函数图象的对称轴为直线x=-2+6 2 入二次函数y=22+bx,得2936+c7,解得 2x1+b+c=7. 2.:点B2,B,在二次函数图象上且纵坐标相同， 1b=4, 6mm2-2.n-l.m=-x-1+2x-1)+6= 7 (2)抛物线开口向上，顶点在x轴下方，因 2 c=1. 2 识，的值分别为子，上 此有实数根，解得x=-1±V2 2 (3)由题意，将抛 13.解：(1)设 物线y=2x2+b+c向上平移k(k是正整数)个单位长度， y=kx+b,它的图象过点 z/万元 60------ 使平移后的图象与x轴无交点，.设y=2x2+4x+1+h.: (60,5),(80,4), 方程2x2+4x+1+h=0没有实数根，.△<0，即16-8(1+h) 5-60k+b,解得 40 <0.k>1.是正整数，k的最小值为2. 7.解：(1)由题意知，y=120·2x2+306x+45= 4-80k+h. =8. 240x2+180x+45.(2)由题意得240x2+180x+45=195, 0 x/元 (2)= 80100120 整理得82+6x-5=0.解得=0.5,2=-1.25（不合题意， 舍去).这面镜子的宽为0.5m,长为1m. y40-120-0+8). 第13题答图 8.解：(1)当x≤10时，y=300x-600,当x>10 时，y=[300-12(x-10)]x-600=-12x2+420x-600(2)当 -40)-120-20410-40-06-10460.当x= x≤10时，y=300x10-600=2400,30002400,x> 100元时，最大年获利为60万元. (3)令=40，得 10.由题意得-122+420x-600=3000,解得x1=15,2= 40=-+10-40,整理得-20+9600-0，解得 20.答：每辆次轿车的停车费为15元或20元时，商场 可实现3000元日净收人.(3)当x≤10时，停车 x=80,2=120.由图象可知，要使年获利不低于40万 300辆次，最大日净收入y=300×10-600=2400(元)； 元，销售单价应不小于80元且不大于120元.又.：销 当x>10时，y=-122+420x-600=-12(x-17.5)2+3075, 售单价越低，销量越大，·要使销量最大，又要使年 -12<0,.当x=17.5时，y有最大值.停车费x只 获利不低于40万元，销售单价应定为80元 取整数，.当=17或18时，y最大.又商场要求此 14.①②④⑤15.C16.D 停车场要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多， 17.解：（1)抛物线y=x2+ 当=17时，y最大值=3072（元）.答：每辆次轿车的停 bx+c的顶点坐标为(3，-4)，y= 车费定价为17元时，最大日净收人是3072元. (x-3)2-4=x2-6x+5..∴b=-6,c=5. 9.810.B11.D12.B (2)存在.理由：对于抛物线y=x2 13.解：(1)a=-1,b=2,c=3,该抛物线的表 6x+5,当y=0时，x2-6x+5=0,解得 达式为y=-x2+2x+3.y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,.该抛 1=1,x2=5.当x=0时，y=5.0B= 物线顶点P的坐标为(1,4)· 0C=5,AB=5-1=4.∠C0B=90°，· B (2)①点A(-1,0)在抛物线y=a2+bx+c上， ∠OBC=∠0CB=45°.如图，过点B .0=a-b+c,即c=b-a.又‘.a=-2,点C(0,c)，,.OC=c= 作x轴的垂线，在x轴上方的垂线 b+2,A0=1.∴抛物线的表达式为y=-2x2+bx+b+2.如图 上截取BD=BA=4,连接AD与BC 第17题答图 1,点D在第四象限，过点D作DH⊥x轴于点H, 交于点E,则D(5,4).∠DBC= ∠AHD-=90°.∴.∠HAD+∠ADH=90°.∠CAD=90°，∴ 90°-∠0BC=45°=∠OBC.∴.BC⊥AD,ED=EA.过点D ∠CAO+∠HAD=90°..∴.∠ADH=∠CAO.又.AD=AC 作BC的平行线与抛物线的交点为点P,BC ∠AHD=∠A0C=90°，.△ADH≌△CA0(AAS) DH=AO=1,AH=OC=6+2..0H=AH-A0,..OH=6+2- AE,∴S△iB=S△wc设直线BC的表达式为y=mx+n,则 1=b+1..点D(b+1,-1).点D在抛物线y=-2x2+bx+ 5m0:ml,直线BC的表达式为y=-t+5. b+2上，∴-1=-2(b+1)2+b(b+1)+b+2.整理，得b2+2b- n=5. n=5. 参考答案与提示 1=0.解得b=-1+V2,b2=-1-V2(不符合题意，舍 12.解：(1)点A在圆外，点C在圆上，点B在 去).点D的坐标为(V2,-1). 圆内.理由：∠A=30°，CD1AB,DE=2AC=DC, AD=V3 DC>DE,DB=V3-DC<DE. (2).BC=1, 3 ∠0B=∠A=30,DC-.dD=号点A距 O B D A/O OD的最短距离=AD-DC=3-Y3 2 13.解：(1)以点P为圆心，分别以0.6cm和 图1 图2 1.2cm为半径画圆，两圆之间的圆环部分即为所求作 第13题答图 的图形（不包含边界）.(2)画线段AB=3cm,以点 ②.c=b-a,a<0,b>0,c>0,m>1.如图2，在x A为圆心，以2cm为半径画圆，再以点B为圆心， 轴上点A的左侧取点G,使GA=AC,连接GC.∴.∠ACG= 以1.6cm为半径画圆，则⊙A,⊙B的公共部分（相 ∠CGA..∠CAB=2∠CGA.∠CAB=2∠ABC, 交部分)即为所求作图形.画图略. 14.解：相等.如图，连接0C,0D.OC=0D, ∠ABC=∠CGA..CG=CB,则GO=OB.在Rt△AOC中， ∠OCD=∠ODC..∴.∠OCA=∠ODB.又.AC=BD,OC 根据勾股定理，得AC2=A02+OC,∴AC=V1+c2.AG= OD,∴.△OAC≌△ODB..OA=0B. V1+e2..G0=GA+A0=V1+c2+1.又：点B(m,0), .0B=m..V1+e2=m-1,即c2=m2-2m.点A和点B 关于对称轴l对称，点F在对称轴1上，AF=BF.又： 在☐ACEF中，AF=CE,∴.CE=BF.∴.CE+CF=BF+CF≥ BC.∴.当点F在线段BC上时，CE+CF取得最小值 2V6,即BC=2V6.在Rt△0BC中，OB+0C=BC, :m2+c2=24.将c2=m2-2m代人，得m2+(m2-2m)=24.解 第14题答图 第15题答图 得m=4,m2=-3(舍去).：c=2V2.点B(4,0), 15.解：如图，连接OD.AB是⊙0的直径， C0.2W2)…直线Bc的表达式为)-Y+2V2. :0D=7ABAB=-2DE,DE=0D.∠D0E=∠E=I8 3 设点F的横坐标为，则4-(-1).解得2 .∠OCD=∠ODC=36°.∴.∠AOC=∠OCD+∠E=54° 点F的坐标为子，5Y:线段CE可以看作是由 16.解：如图，设OA 4 交⊙0于点C,连接BC, B (B') 线段AF经过平移得到的，∴点E可以看作是点F先 点A',B分别是点A,B的 反演点，.OA'.OA=OB.OB= 向右平移1个单位长度，再向上平移2V2个单位长 户而r=4,0A=8,.0A'=2. 度得到的.六点E的坐标为5,13Y2） ·.OB=可=4，.OB'=4,即点B 2 4 和B重合.：∠BOA=60°， 第16题答图 第三章圆 OB=0C,.△OBC为等边三 1圆 角形.而点A'为OC的中点，BA'⊥OC.在Rt△OA'B 1.无数无数2.点P在⊙0外3.0<0P<34. 125.3<<56.3或V737.C8.B9.B10.C 巾，snL4'0B-=4B,A'B=4sin60r-=2V3 11.解：如图，连接 2 圆的对称性 EM,FM.BE,CF是△ABC 1.1202.3Y33.A4B5.C6.B 的高，∴.△BCE和△BCF是 2 直角三角形.EM=2CB, 7.解：BC=CD=DE,∠C0D=35°，.∠E0D= ∠BOC=∠COD=35°..∠E0B=105°..∠AOE=180°- FM=号CR又：M是BC的中 ∠EOB=75° 8.解：相等.理由：如图，连接OA,OB,OC, 点，.CM=BM=LCB.EM= M 2 OD,OM,ONM,N分别是AB,AC的中点，OA= FM=CM=BM.∴B,C,E,F 第11题答图 OB=OC=OD,∴.0OM⊥AB,ON⊥CD.∴.∠AM0=∠CNO= 90°.又AB=CD,∴.OM=ON.∠OMN=∠ONM. 四点在以点M为圆心、以于AB为半径的同一个圆上： 2 ∠AMO-∠OMN=∠CNO-∠ONM,即∠AMN=∠CNM.口数学 九年级下册（北师大版） 二次函数与一元二次方程（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题①如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分，抛物线的 顶点坐标A(1,3),与x轴有一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0) 与抛物线交于A,B两点，下列结论：①2a+b=0;②abc>0:③方程ax2+ bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0)； ⑤当1<x<4时，有y2<y.请判断上述结论哪些是正确的，哪些是错误 例题1图 的，为什么 【分析】根据抛物线对称轴x=1可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a<0,由对称 轴位置可得b>0,由抛物线与y轴的交点位置可得c>0,于是可对②进行判断；根据顶点坐 标可对③进行判断：根据抛物线的对称性可对④进行判断；根据函数图象得当1<x<4时，一 次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断. 【解答】①③⑤是正确的，②④是错误的.理由：抛物线的顶点坐标A(1,3),.抛物线 的对称轴为直线X=品12a+b-0.①正确.抛物线开▣向下，a<0,b=-2a>0 抛物线与y轴的交点在x轴上方，.c>0..abc<0..②错误.抛物线的顶点坐标A(1,3), x=1时，二次函数有最大值3，.方程a2+bx+c=3有两个相等的实数根..③正确.，抛物线与 x轴的一个交点为(4,0)，而抛物线的对称轴为直线x=1,.抛物线与x轴的另一个交点为 (-2,0).∴.④错误.抛物线y=x2+bx+c与直线y2=mx+n(m≠0)交于A(1,3),B(4,0),∴.当 1<<4时，y<y1,.⑤正确 【点拨】此题考查根据二次函数的图象及性质解决相关问题的能力.解这类问题的基本策 略如下：首先看抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，然后看与x轴和y轴的交点，最后 在图象上找一些特殊的自变量的值（如±1，±2等），观察相对应的函数值的大小，根据函数 值的大小能得到系数a,b,c之间的某些数量关系. 例题2二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方，在6< x<7这一段位于x轴的上方，求a的值. 【分析】首先根据二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)，得到抛物线的对称轴为直线x=4,顶 点坐标为(4，-4)，再根据抛物线在2<x<3这一段位于x轴的下方，在6<x<7这一段位于x 轴的上方的已知条件可知a>0.结合抛物线的对称性，得出抛物线在1<x<2这一段位于x轴 的上方，而抛物线在2<x<3这一段又位于x轴的下方，进而可求出抛物线与x轴交点的坐 标，将交点坐标代入表达式即可求出α的值， 【解答】由二次函数y=a(x-4)2-4可知，该函数图象的顶点为(4，-4)，对称轴为直线 481 二次函数 第二章 x=4.又函数图象在2<x<3这一段位于x轴的下方，在6<x<7这一段位于x轴的上方，.该 函数图象与x轴有两个交点，.a心0.函数图象的对称轴为x=4,.6<x<7关于对称轴对称的 部分为1<x<2,这一段的图象也位于x轴的上方.又：函数图象在2<x<3这一段位于x的下 方，.该函数图象与x轴的一个交点坐标为(2,0).将点(2,0)代入表达式得4a-4=0. 解得a=1. 【点拨】此题是对二次函数轴对称性和数形结合思想综合运用能力的考查.解题的基本 策略是利用函数表达式确定顶点、对称轴，根据对称轴以及在x轴上、下方某一区间段上 图象的位置，结合抛物线的对称性，确定出抛物线在直角坐标系中的位置，进而问题得以 解决 基础巩固L)达标闯关 -。 1.已知二次函数y=2x2-4x-1的图象如图，则关于x的一元二次方程2x2-4x-1=0的两个 近似根的范围在 交 之间. 4 第1题图 第2题图 2.已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0)的顶点坐标(-1，-3.2)及部分图象如图所示.由图 象可知关于x的方程ax+bx+c=0的两个根，其中的一个根是x=1.3,则另一个根x 3.下表是二次函数y=ax+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax+bx+c=0 (a≠0，a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是() 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04 A.6<x<6.17 B.6.17<<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20 4.已知二次函数y=ax+bx+c的图象经过（-3,0)与（1,0)两点，关于x的方程ax+ bx+c+m=0(m>0)有两个根，其中一个根是3，则关于x的方程ax+bx+c+n=0（0<n<m)有 两个整数根，这两个整数根是() A.-2或0 B.-4或2 C.-5或3 D.-6或4 5.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2,0)，顶点坐标为(-1，n),其中n> 0.下列结论正确的是() 49 数学 九年级下册（北师大版） ①abc>0②函数y=ax+bx+c(a≠0)在x=1和x=-2处的函数值相等③函数y=kx+1的 图象与函数y=ar2+bx+c(a≠0)的图象总有两个不同交点④函数y=ax2+bx+c(a≠0)在 -3≤x≤3内既有最大值又有最小值 A.①③ B.①②③ C.①④ D.②③④ 能力提升螂综合拓展 6.已知P(-3,7)和Q(1,7)是抛物线y=2x+bx+c上的两点. (1)求b,c的值 (2)判断关于x的一元二次方程2x+bx+c=0是否有实数根.若有，求出它的实数根；若 没有，请说明理由。 (3)将抛物线y=2x+bx+c向上平移k(k是正整数)个单位长度，使平移后的图象与x 轴无交点，求k的最小值 7.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长 与宽的比是2：1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制 作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米。 (1)求y与x之间的关系式 (2)如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽 面 二次函数 第二章 8.为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场.经测算，此停车场每天 需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制订合理的收费标 准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费 情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为 300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就 减少12辆次.设每辆次轿车的停车费为x元（为便于结算，停车费只取整数），此停车场的 日净收入（日净收入=每天共收停车费-每天固定的支出）为y元.回答下列问题： (1)分别求出x≤10和>10时，y与x的关系式. (2)停车场能否实现3000元的日净收入？如能，求出每辆次轿车的停车费定价；如不 能，请说明理由。 (3)该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日 净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应为多少元？此时最大日净收入是多少元？ 中考链接©真题演练 多 9.(2025·连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x-3)2+2.5运行，其中 x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为 1.6m,则铅球掷出的水平距离OB为 m. 0.6 0.3A 0 020010003000x 第9题图 第10题图 10.(2025·山东)在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(cm/天)和 光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近 似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部 分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是（) A.当x≥1000时，y随x的增大而减小B.当x=2000时，y有最大值 C.当y≥0.6时，x≥1000 D.当y=0.4时，x=600 51 口数学 九年级下册（北师大版） 11.(2023·牡丹江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点(-2,0)， (3,0,下列结论：①必>0：②0-2b;③若抛物线上有点3，，(-3， ,7,3小，则1s:④方程c+b+a-0的解为=7，=号其 -203 中正确的个数是() 第11题图 A.4 B.3 C.2 D.1 12.(2023·自贡)经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点的抛物线y=-0.5x2+bx-b2+ 2c(x为自变量)与x轴有交点，则线段AB的长为() A.10 B.12 C.13 D.15 13.(2025·天津)已知抛物线y=a2+bx+c(a,b,c为常数，a<0,b>0)· (1)当a=-1,b=2,c=3时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点A(-1,0)和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点 ①当a=-2时，若点D在抛物线上，∠CAD=90°，AC=AD,求点D的坐标； ②若点B(m,O),∠CAB=2∠ABC,以AC为边的平行四边形ACEF的顶点F在抛物线 的对称轴l上，当CE+CF取得最小值为2V6时，求顶点E的坐标. ②