《圆的认识》（一～二）（同步练习）-2025-2026学年六年级上册数学北师大版

第1单元 圆 第1~2课时 《圆的认识》（一）~《圆的认识》（二） 一、圆的基本特征 1.圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆的中心的距离都相等。 2.圆的中心叫圆心，一般用字母 O 表示。圆心决定圆的位置。 3.连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径，一般用字母 r 表示。半径决定圆的大小。 4.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径，一般用字母 d 表示。 5.圆有无数条半径和无数条直径。在同一个圆（或等圆）里，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，且直径的长度是半径的 2 倍，用字母表示为 d＝2r 或 r＝d÷2。 6.圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 二、用圆规画圆 1.用圆规画圆的步骤： 第一步：把圆规的两脚分开，定好两脚之间的距离（即半径）。 第二步：把有针尖的一脚固定在一点上（即圆心）。 第三步：把装有铅笔的一脚旋转一周，就画出了一个圆。 三、常见的轴对称图形及其对称轴条数 图形 对称轴条数 图形 对称轴条数 等腰三角形 1 条 长方形 2 条 等边三角形 3 条 正方形 4 条 等腰梯形 1 条 圆 无数条 半圆 1 条 环形 无数条 四、车轮为什么要做成圆形的 因为圆形车轮的圆心（车轴）到地面的距离（即半径）处处相等，车轮滚动时，车轴到地面的距离始终保持不变，所以行驶起来平稳。而正方形、椭圆等形状边缘上各点到中心的距离不相等，做成车轮就会上下颠簸。 五、特殊记忆口诀 画圆口诀：定-量-转（定圆心—量半径—旋转一周画成圆） 即：先定圆心确定位置，再量半径确定大小，最后旋转一周画出圆。圆规两脚之间的距离就是半径。 车轮平稳：圆一中，同长也——平稳走（古代《墨经》记载“圆，一中同长也”，意思是圆只有一个中心，从圆心到圆周上任意一点的长度都相等，这也是圆形车轮平稳的原因） …………习题精练………… 一、填空题（共 19 题） (1) 圆是由一条（_________）围成的封闭图形，圆上任意一点到（_________）的距离都相等。 (2) 圆中心的一点叫（_________），一般用字母（_________）表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫（_________），一般用字母（_________）表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫（_________），一般用字母（_________）表示。 (3) （_________）决定圆的位置，（_________）决定圆的大小。 (4) 用圆规画圆时，圆规两脚叉开的距离是 3 厘米，画出的圆的半径是（_________）厘米，直径是（_________）厘米。 (5) 圆是（_________）图形，有（_________）条对称轴。圆的对称轴是（_________）所在的直线。半圆有（_________）条对称轴。 (6) 在同一个圆里，直径的长度是半径的（_________ ）倍，用字母关系式表示为 d＝（ _________）。 (7) 一个圆的半径是 2.5 厘米，它的直径是（ _________）厘米。一个圆的直径是 8.4 厘米，它的半径是（_________ ）厘米。 (8) 圆有（ _________）条对称轴，正方形有（_________ ）条对称轴，等边三角形有（_________ ）条对称轴，长方形有（ _________）条对称轴。 (9) 在下面的括号里填上合适的数： r＝1.5 厘米，d＝（_________ ）厘米； d＝10 分米，r＝（_________ ）分米； r＝0.8 米，d＝（ _________）米。 (10) 两端都在圆上的线段中，（ _________）是最长的一条。 (11) 画一个直径为 8 厘米的圆，圆规两脚之间的距离应取（_________ ）厘米。若圆规两脚之间的距离是 4.5 厘米，则画出的圆的直径是（_________ ）厘米。 (12) 一个圆有（_________ ）条半径，每条半径的长度都（_________ ）。一个圆有（_________ ）条直径，每条直径的长度都（_________ ）。 (13) 看图填空。（圆的各部分名称练习） ① 圆的半径是（ _________）cm，直径是（ _________）cm。（1-13-1） ② 圆的半径是（ _________）cm，直径是（ _________）cm。（1-13-2） ③ 长方形的长是（_________ ）cm，宽是（_________ ）cm。（1-13-3） （1-13-1）（1-13-2）（1-13-3） (14) 在一个长 12 厘米、宽 8 厘米的长方形中，画一个最大的圆，这个圆的直径是（_________ ）厘米，半径是（ _________）厘米。 (15) 在一个边长是 6 厘米的正方形中，画一个最大的圆，这个圆的直径是（_________ ）厘米，半径是（_________ ）厘米。 (16) （阅读理解）让我们根据以下说明来完成问题：圆的周长是通过定义圆周率π为周长与直径之比推导出来的，即周长等于π乘以直径（或2π乘以半径，在计算中π通常取3.14） 问题：一根绳子长 10 米，在一棵大树的树干上绕了 3 圈后还剩 2.44 米。绕树干 3 圈用去（ _________）米，树干横截面的半径约是（ _________）米。（得数保留两位小数） (17) 下列图形各有几条对称轴？请填在括号里。 ① （_________ ）条；② （_________ ）条；③ （ _________ ）条；④ （_________ ）条。 （1-17-1） (18) （思维扩展）小明参加学校举办的“用圆规设计校徽”创意比赛，他想在校徽中用圆规画一条直径是 12 厘米的圆弧，圆规两脚应张开（_________ ）厘米。如果他将圆规两脚张开的角度扩大到原来的 2 倍，新画出的圆的直径是（_________ ）厘米，新圆直径是原圆直径的（_________ ）倍。小明还观察到，自家轿车四个车轮都是圆形，车轮的圆心就是安装（ _________ ）的位置，这样车轮滚动时车身才能保持平稳。 (19) （思维扩展·研学活动）某博物馆为小学生开展“小小文物修复师”研学活动。馆员出示一面出土的唐代铜镜（圆形），铜镜边缘有残缺，但弧线轮廓清晰可辨。馆员为了让同学们理解圆的修复原理，提出问题：至少要将铜镜的圆形轮廓纸片对折（_________ ）次，才能找到圆心？如果在铜镜轮廓上任取一条弦，作出这条弦的垂直平分线，再任取另一条弦作出其垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是（_________ ）。 二、判断题（共 5 题） (1) 通过圆心的线段叫做直径。………………………………………………………（ ） (2) 在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。…………………（ ） (3) 圆的对称轴就是圆的直径。………………………………………………………（ ） (4) 两条半径合起来就等于一条直径。………………………………………………（ ） (5) 圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合。…………………………（ ） 三、选择题（共 5 题） 请将选择题的选项写在选择题的答题区域。 题号 1 2 3 4 5 选项 (1) 下面各图形中，对称轴条数最多的是（ ）。 A. 等边三角形 B. 正方形 C. 圆 D. 长方形 (2) 画圆时，圆规两脚之间的距离是（ ）。 A. 直径 B. 半径 C. 圆心 D. 圆周 (3) 我国古代数学著作《墨经》中有“圆，一中同长也”的记载。“一中同长”的意思是（ ）。 A. 圆有两个中心，直径长度都相等 B. 圆只有一个中心（圆心），从圆心到圆上任意一点的长度都相等 C. 圆只有一个中心，直径和半径长度相同 D. 圆有一个中心，圆上任意两点之间的距离都相等 (4) （新情景·高铁移动）在观看高铁经过的视频时，小明发现列车在平直轨道高速行驶时车身非常平稳，但当他用椭圆形积木模拟车轮滚动时，车身却颠簸得厉害。他用数学知识解释道：在同一个圆内，圆心到圆上任意一点的距离都（ ），所以圆形车轮在平直轨道上行驶时，车轴（圆心）到地面的高度始终不变，车身才能平稳前进；而椭圆边缘各点到中心的距离不都（ ），所以车轴会上下起伏。下列选项中能完整、正确地补全以上推理过程的是（ ）。 A. 相等、相等 B. 不相等、相等 C. 不相等、不相等 D. 相等、不相等 (5)（思维扩展） 下图是在一个正方形内，以正方形的边为直径画出的两个半圆组成的图案。下面说法正确的是（ ）。 A. 该图形不是轴对称图形。 B. 该图形共有 1 条对称轴。 C. 该图形共有 2 条对称轴。 D. 该图形共有 4 条对称轴。 （3-5-1） 四、计算题（共 10 题） (1) 已知半径求直径：r＝5 厘米，d＝？ (2) 已知半径求直径：r＝3.6 分米，d＝？ (3) 已知直径求半径：d＝18 米，r＝？ (4) 已知直径求半径：d＝9.2 厘米，r＝？ (5) 请用圆规画出一个半径为 2 厘米的圆，并用字母 O、r、d 标出它的圆心、半径和直径。 (6) 请用圆规画出一个直径为 6 厘米的圆。 (7) 填表。 半径 r 1.2 cm 0.45 m （ ）dm 直径 d （ ）cm （ ）m 5 dm (8) 我国自主研制的“奋斗者”号载人潜水器在深海作业时，需要在一张正方形钢板上切割出一个面积尽可能大的圆形零件。已知这块正方形钢板的边长是 16 厘米，则圆形零件的直径最大是多少厘米？半径是多少厘米？ (9) 观察下面的图形，在括号里填上合适的数。（每个小方格的边长表示 1 厘米） 图形中，圆的直径是（ _________ ）厘米，半径是（ _________）厘米。长方形的长是（ _________）厘米，宽是（ _________）厘米。（4-9-1） (10) （思维扩展）请用圆规设计一个包含大小两个圆的图案（两个圆同心或不同心皆可），要求大圆的直径是小圆直径的 2 倍。在设计图上用字母 O₁、r₁、d₁ 标出大圆的圆心、半径和直径，用 O₂、r₂、d₂ 标出小圆的圆心、半径和直径。在下方横线上写出你设定的每个圆的具体尺寸。 五、应用题（共 6 题） (1) 用一根铁丝可以围成一个半径是 5 厘米的圆。如果把这根铁丝重新围成一个正方形，这个正方形的边长是多少厘米？ (2) 奇思和妙想用圆规画圆。奇思画的圆的半径是 4 厘米，妙想画的圆的直径是 10 厘米。谁画的圆更大？请说明理由。 (3) 学校将举办“美丽的圆”设计比赛，淘气用如下方案画了一组图案： ①先画一个半径为 2 厘米的圆； ②再以同一个圆心画一个直径比第一个圆直径长 2 厘米的大圆。请你帮淘气算出大圆的半径，并在方框内用圆规画出这个由两个同心圆组成的图案，标注出大圆和小圆的半径。 (4) 在日常交通中，自行车的车轮、方向盘的轮廓都被设计成圆形，井盖通常也被做成圆形。请从以下常见物品中任选两个，用学过的圆的知识解释其中蕴含的数学原理。 ① 自行车车轮 ② 圆形井盖 ③ 圆形方向盘： (5) 王伯伯要在自家院子里修建一个圆形花坛。他先用一根长 2.5 米的绳子，一端固定在院子中间，拉紧绳子，另一端绕固定点旋转一周，在地面上画出一个圆。请回答： ① 王伯伯画圆时，绳子的长度相当于圆的（_________ ）。 ② 这个圆形花坛的半径是（ _________）米，直径是（_________ ）米。 ③ 如果王伯伯想使花坛的直径增加 1 米，那么绳子的长度应该调整为（_________ ）米。 (6) （思维扩展）2024 年巴黎奥运会男子 500 米速度滑冰决赛中，中国运动员高亭宇以 34.32 秒的成绩获得金牌。（提示：速度滑冰的赛道是封闭的环形跑道，运动员绕环形赛道竞速。本题主要应用圆的特征知识解决相关问题，暂不涉及周长公式。） 这条环形赛道宽 12 米，由两条直道和两个半圆形弯道组成。观察其中一个半圆形弯道：它是一个标准的半圆，内侧半圆的半径是 26 米，外侧半圆的半径是（_________ ）米。小明认为“内外侧弯道半径相差的米数 ÷ 内侧半径”能反映弯道的平缓程度，请计算这一比值并保留两位小数。 比赛过程中，高亭宇在弯道超越时需要从内道滑向外道，请利用圆的特征知识（即“同一个圆内，圆心到圆上任意一点的距离都相等”），解释：为什么运动员在弯道处身体需要大幅度向内侧倾斜？ 参考答案 一、填空题 (1) 曲线、圆心 (2) 圆心、O、半径、r、直径、d (3) 圆心、半径 (4) 3、6 (5) 轴对称、无数、直径、1 (6) 2、2r (7) 5、4.2 (8) 无数、4、3、2 (9) 3、5、1.6 (10) 直径 (11) 4、9 (12) 无数、相等、无数、相等 (13) ① 半径 4 cm，直径 8 cm。② 半径 3 cm，直径 6 cm。③ 长方形的长 8 cm，宽 4 cm。（答案需结合具体图形，此为示例） (14) 8、4（解析：在长方形中画最大的圆，直径等于长方形的较短边——宽） (15) 6、3（解析：在正方形中画最大的圆，直径等于边长） (16) 7.56、0.40（解析：3 圈共用：10－2.44＝7.56 米。1 圈周长：7.56÷3＝2.52 米。树干横截面近似为圆，绕 1 圈的长度即周长，但本题暂不涉及圆周长公式 C＝2πr，留待后续课时计算。） (17) ① 4 条（正方形）；② 无数条（圆）；③ 3 条（等边三角形）；④ 2 条（长方形）。（答案需结合具体图形，此为示例） (18) 6、24、2、车轴（第1空：圆规两脚间距离＝半径＝12÷2＝6 厘米。第2空：张开到 2 倍即半径变为 6×2＝12 厘米，直径＝12×2＝24 厘米。第3空：24÷12＝2 倍。第4空：车轮圆心处安装车轴，由“同一个圆内所有半径都相等”知车轴到地面距离不变，车身平稳。） (19) 2、圆心 二、判断题 (1) ×（解析：必须是“通过圆心并且两端都在圆上”的线段，缺一不可。） (2) √（解析：这是圆的特征——同圆或等圆内所有半径/直径分别相等。） (3) ×（解析：对称轴是直线，而直径是线段。圆的对称轴是直径所在的直线。） (4) ×（解析：必须“通过圆心”且“在同一圆内”的两条半径合起来才等于一条直径，否则不成立。） (5) √（解析：圆绕圆心旋转任意角度都与原图形重合——这是圆的旋转不变性。正方形需旋转 90° 才重合，等边三角形需旋转 120°。） 三、选择题 (1) C（解析：圆有无数条对称轴，正方形 4 条，等边三角形 3 条，长方形 2 条。） (2) B（解析：圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径。） (3) B（解析：古代《墨经》记载“圆，一中同长也”，指明圆只有一个中心即圆心，圆心到圆上任意一点的距离（即半径）都相等。） (4) D（解析：在同一个圆内，圆心到圆上任意一点的距离都相等（即半径相等），所以圆形车轮行驶时车轴到地面的高度始终不变，车身平稳；而椭圆边缘各点到中心的距离不都相等，因此车轴会上下起伏。前两空为“相等”“不相等”，故选 D。） (5) C（解析：该图案可以沿竖直对称轴和水平对称轴分别对折完全重合，共有 2 条对称轴，故选 C。） 四、计算题 (1) d＝5×2＝10 厘米 (2) d＝3.6×2＝7.2 分米 (3) r＝18÷2＝9 米 (4) r＝4.6 厘米（9.2÷2＝4.6） (5) 按步骤用圆规画出 r＝2 厘米的圆，标出 O、r＝2 cm、d＝4 cm。 (6) r＝6÷2＝3 厘米，圆规两脚间距 3 厘米，按要求画图。 (7)表格见下页 半径 r 1.2 cm 0.45 m (2.5) dm 直径 d (2.4) cm (0.9) m 5 dm （解析：第1行 d＝2r，第2行 r＝d÷2。） (8) 直径最大是 16 厘米，半径是 8 厘米。（解析：在正方形中画最大圆，直径＝边长。） (9) 圆的直径是 6 厘米，半径是 3 厘米。长方形的长是 9 厘米，宽是 6 厘米。（答案需结合具体图形，此为示例） (10) 答案不唯一（示例）：设定小圆半径 r₂＝1.5 厘米，则小圆直径 d₂＝3 厘米；大圆直径为小圆直径的 2 倍，即 d₁＝6 厘米，大圆半径 r₁＝3 厘米。两个圆同心放置。在图上完整清晰地标出 O₁、r₁、d₁ 和 O₂、r₂、d₂ 即可。 五、应用题 (1) 半径 5 厘米，直径 5×2＝10 厘米。本题主要练习从圆的半径到直径的换算关系，暂不涉及圆周长计算。这个圆的直径是 10 厘米，即圆内最长线段长 10 厘米。 （5-1-1） (2) 奇思画的圆：半径 4 厘米 → 直径 4×2＝8 厘米。妙想画的圆：直径 10 厘米 → 半径 10÷2＝5 厘米。因为 10 厘米 ＞ 8 厘米（或 5 厘米 ＞ 4 厘米），所以妙想画的圆更大。 (3) 第一个圆半径 2 厘米，直径 4 厘米。第二个圆（大圆）直径比 4 厘米长 2 厘米，即 6 厘米，则大圆半径 3 厘米。画图时定好圆心，先画 r＝2 厘米的小圆，再画 r＝3 厘米的大圆，标注半径即可。 (4) 答案要点（任选两个）： ① 自行车车轮：圆心到地面的距离（半径）处处相等，滚动时保持平稳。 ② 圆形井盖：同一圆内所有直径都相等，任意角度旋转都不会掉入井口。 ③ 圆形方向盘：同一圆内所有半径都相等，从中心到边缘距离一致，操作省力均匀。 (5) ① 半径。② 2.5、5。③ 3 （解析：原直径 5 米，新直径 5＋1＝6 米，新半径 6÷2＝3 米，绳子调整为 3 米。） 【思维·拓展题】答案： (6) 第一空——外侧半圆半径：26＋12＝38 米。 比值计算：(38－26)÷26＝12÷26≈0.46（保留两位小数）。 倾斜解释：运动员通过弯道时，身体需要向内侧倾斜以对抗离心力，从而保持身体重心的稳定。这种向着弯道圆心方向的倾斜方式，体现了“同一个圆内，圆心到圆上任意一点的距离都相等”的几何原理——运动员身体轨迹尽量保持在以弯道圆心为圆心的圆弧上，使滑行轨迹更平滑、速度损失更小。 学科网（北京）股份有限公司 $