湖北黄冈中学等校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2027届高二年级春季学期期中考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.下列结论正确的是（) A.(-a》= B.(sin3)'=cos号 c2w=2 D.(cosx)'=sinx 2.某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，且依次投料时，若使用甲原料， 则甲必须先投放.那么不同的投放方案共有() A.10种 B.12种 C.16种 D.20种 3.设S为等差数列{a}的前n项和，己知4=8，S8=72,则a5的值为() A.3 B.10 C.14 D.64 4.如图，己知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在抛物线上，点Q在其准线上，△POF 为等边三角形，则P点的横坐标为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.若正项等比数列{a}的前n项和为S,且S6-2S3=5,则a7+ag+ag的最小值为( A.10 B.15 C.20 D.25 6.己知函数f(x)=(x-1)x-x2在开区间(-1，)上存在最大值，则实数a的取值范围为() A.a>-1 B.a>0 C.-1<a≤1 D.0<a≤1 7.已知定义域为R的奇函数f(x),其图象为连续不断的曲线，f(x)的导函数为'(x).若对任意x>0, 都有2f()+寸()少0，且f(2)G则关于x的不等式()小4衣的解集为() A.(-2,0) B.(-0,0)U(0,2) C.(-0,2) D.(-2,2) 8.已知椭圆C:x+y 京+云=1(a>b>0)的左、右焦点分别为(-c,0),(c,0),且b>c.若椭圆C上存 在点P,使得△PFE,的外接圆直径为 5c ,则椭圆的离心率的取值范围是（） A. D.( 22w5 2,5 黄冈中学2027届数学试题 第1页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知双曲线：P-一总=1的上焦点为，直线：x=0是T的一条新近线，P是r上支上的一点， O为坐标原点，则() A.T的焦距为v2 B.焦点F到1的距离为2 C.r的离心率为√2 D.若A(2,3V2),则A+|P可的最小值为4 10.已知数列{an}满足a1=0,an+1= an+n+1,n为奇数 则正确的结论为() (an +n, n为偶数 A.a7=24 B.a2n+1=a2n-1+n C.azn =2n2 D.数列{(-1)am3的前10项和为110 11.我们把方程xe=1的实数解称为“欧米加常数”，记为2.D和e一样，都是无理数，2还被称为指数 函数中的“黄金比例”.下列关于Ω的结论正确的是() A.2e(0.5,1) B.eInn+1=0 c.若日，则n= D.函数/)=的最小值为/0) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线f(x)=2e-sinx-2在点(0，f(0)处的切线方程为 13.用4种不同的颜色给下图的4个三角形格子（标注为①②③④）涂色，每个格子各涂一种颜色，要求 相邻的两个格子不同色，不同的涂色方法数为 ·(请用数字作答) ② ④ (第13题图) 14.已知数列{a}满足：a1>a>0,a1=a+1+a,则 (1)首项a,的取值范围是 因当4时，记8且：豆6<+1，则坚数 6 2027 黄冈中学2027届数学试题第2页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知数列{a}的前n项和Sn满足an+1=2Sn+6,且41=6 (1)求数列{an}的通项公式： 2a, 2)设6(8-1j3+2证明：么+6++6，<1. 1615分》已加ac分1ab>0的焦克为2，高心字为 (1)求C的标准方程： 因洁〔30，直线：：子~0)交样圆C于么，两点，且△F的面积为 2 ,求t的值 1、(5分)已知数列a)的前项和为又，且三双N,数列他)满足：4=4，么=， 2 b.+bn+2=2bn+(∈N). (1)求数列{a},{b}的通项公式： (2)若不等式k.(),a1-b.+6≥0对任意neN恒成立，求k的取值范围. 黄冈中学2027届数学试题第3页 18.(17分)己知函数f(x)=lx-r(a∈R) (1D若函数g(=1axa,求函数g6)的单调区间： (2)若函数f(x)有两个不同的零点，记两个零点分别为x,x2,且x<x2: ①求a的取值范围； ②己知入>0，若不等式1+<lx+x,恒成立，求的取值范围. 19.(17分)己知抛物线T:y=2x(p>0)的焦点为F,T上任意一点P到F的距离与到点Q(2,0)的距 离之和的最小值为3. (1)求抛物线T的标准方程： (2)如图，己知过点Q的直线1，I,与T分别交于点A,C与点B,D,(其中点C、D在第一象限) 直线AB与直线DC交于点T,线段AC与BD的中点分别为M,N. ①证明：点T在定直线上： ②若直线1⊥1，直线OM,OW的斜率分别为k,k,,求kk,的取值范围. 黄冈中学2027届数学试题第4页2027届高二年级春季学期期中考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1,下列结论正确的是() A.(-a)》= B.(sin写)'=cos号 c2- D.(cosx)'=sinx 【答案】A 【解答)（←》=（←x)=x是=Z,(n=0,[(2'=,cos0'=-smx. 2.某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，且依次投料时，若使用甲原料， 则甲必须先投放.那么不同的投放方案共有() A.10种 B.12种 C.16种 D.20种 【答案】C 【解答】分两类，第一类选甲，先投甲，再投除甲外的4种的任一种，有4种方法， 第二类，不选甲，共有4×3=12种，根据分类计数原理，共有12+4=16种. 3.设Sm为等差数列{a}的前n项和，己知4=8，S=72,则a5的值为() A.3 B.10 C.14 D.64 【答案】B 【解答】4=8，&-2(a1+g）=72,解得am+as=18, 由等差数列的性质得a4+a5=a1+8,∴.a5=18-4=18-8=10. 4.己知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在抛物线上，点Q在其准线上，△PQF为等边三角形，则P点的 横坐标为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解答】三角形PQF为等边三角形，如图，则准线上的点Q满足PF=PQ, 由抛物线的定义可知PO与准线垂直，x+xQ=2xr, 因xr=1,x0=-1,解得xp=3, 即P点的横坐标为3. 黄冈中学2027届数学试题 第1页 5.若正项等比数列{a}的前n项和为S,且S6-2S3=5,则a7+ag+ag的最小值为() A.10 B.15 C.20 D.25 【答案】C 【解答】解：因为{a}是正项等比数列，6-2S=5,即S6-S3=S+5, 又S,S6-S3,-S6也是等比数列，所以(S6-S3)2=S3(Sg-S6), 测，+ao=5,-5。-+2=S+爱+10≥25×爱+10=20， S3 当且仅当S,即S5=5取等号，所以a,+ae+a,的最小值为20， 6.已知函数f(x)=(x-1)e-x在开区间(-1，)上存在最大值，则实数a的取值范围为() A.a>-1 B.a>0 C.-1<a≤1 D.0<a≤1 【答案】D 【解答】f(x)=xe-2x=x（e-2),令f(x)=0,得x=0或x=lh2. 当xe(-1,0)时，(x)>0,f(x)在(-1,0)上单调递增， 当xE(0,n2)时，(x)<0,f(x)在(0,2)上单调递减， 当xE(l2,+∞)时，f(x)>0,f(x)在(2，+∞)单调递增. 因此，x=0是极大值点，x=2是极小值点. 要使(-1，a)上存在最大值，需a>0,又因为f(0)=-1,且f(1)=(1-1)e1-12=-1, 若a>1,函数在(l2,a)递增，会超过f(0),因此需a≤1.综上：0<a≤1. 7.已知定义域为R的奇函数f(x),其图象为连续不断的曲线，f(x)的导函数为f'(x).若对任意x>0, 都有2()+f(>0,且f(2)G则关于x的不等式f)<的解集为《) A.（-2,0) B.(-w,0)U(0,2) C.(-∞，2) D.（-2,2) 【答案】B 【详解】)行中x≠0，令g)=/),由e是奇两数：g=7是奇两数： 当x>0时，8'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+f'(x)门>0，g(x)在(0，+o)上单调递增， ·g(x)在(-n,O)上单调递增，又f(x)在R上连续，所以g(x)在R上单调递增 由@创=G知8(@创=2f创=子则r水衣of水阳且0 即g(x)<g(2),解得x<2,且x≠0. 黄冈中学2027届数学试题第2页 &已知椭圆C名+1ab>0的左石焦点分别为R-c,0,?(G,0,且b>c,若椭圆C上净 在点P,使得△PFE,的外接圆直径为二，则椭圆的离心率的取值范围是() A.55 5,2 B. E53 D.225 2,5 【答案】A 【详解】记桃调c的上限点为4，R4识=0，由6>c,0:号←至所以9为脱角 2c △PF中，由正弦定理，知 in∠FPE, =2跟空m明-青 易知∠RPR≤0，所以os∠PP明≥os0,即2≥1-22→e≥5 又b>c,放b>c→a>V2e,得e<2 2 则离心率的取值范围是[5，巨 5,2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.己知双曲线：)P-号=1的上焦点为R,直线上my=0是r的一条新近线，P是r上支上的一点， O为坐标原点，则（) A.的焦距为V2 B.焦点F到1的距离为2 C.T的离心率为√2 D.若A(2,3v2),则PA+PF的最小值为4 【答案】CD 【解答】双曲线Γ的渐近线方程为y=土品x,所以2=1，即双曲线的标准方程为2-x2=1, 对于法明4：易知P0,网到：士y=0的距离在侣得=1，放迹项4错误： 对于选项B:因为c=√2，所以双曲线的焦距为2V√2，故选项B错误； 对于选项C:因为双曲线的离心率e==√2，故选项C正确： 对于选项D:设双曲线的下焦点为F',由双曲线的定义得PF|-PF=2,即PF=PF'|-2, 所以2+P=P4+PF'|-2≥AF'|-2=22+(4W2)2-2=4, 当且仅当A,P,F三点共线时，PA什P取得最小值，最小值为4，故选项D正确. 黄冈中学2027届数学试题第3页 10.已知数列{an}满足a=0,a+1= an+n+1,n为奇数 则正确的结论为() (an +n, n为偶数 A.a2=24 B.a2n+1=a2m-1+n C.a2n =2n2 D.数列{(-1)"an}的前10项和为110 【答案】AC 【解答】对于A选项，由题意可得a2=m+1+1=2,=a2+2=2+2=4,4=g+3+1=8, 5=4+4=8+4=12,6=5+5+1=12+6=18,a=a6+6=18+6=24,故A选项正确： 对于B选项，因为2n为偶数，所以n+1=a2+2n, 因为21-1为奇数，所以a2m=a2m-1+(21-1)+1=a2m1+2n, 所以2m+1=a2m.1+2什21=a2m.1+4n,故B选项错误： 对于C选项，因为2n为偶数，所以2m+1=a2m+2n, 又因为2+1为奇数，C2+2=-2+1+（2什1)+1=2+1+（21什2）， 所以a2m+2=a2m+41t2,所以a2m+2-a2n=41t2, 所以a2n=2+（4-a2)+(a6-a4)+…+(2n-a2n.2） =2+(4+2)+(8+2)++[4(-1)+2]=4×m-)1+n-)+2m=2n2,故C选项正确： 2 对于D选项，设数列{(-1)”an}的前10项的和为So, 由a2n=m.1+21,则C2n-a2n.1=21, 根据等差数列求和公式可得S0=-M+-3十4-…-9十0=（2-)+（4-a3)+.+(a10-ag) =2×1+2×2+2×3+…+2×5=2+10)x5=30,故D选项错误 2 11.我们把方程x=1的实数解称为“欧米加常数”，记为2.2和e一样，都是无理数，2还被称为指数 函数中的“黄金比例”.下列关于的结论正确的是() A.2e(0.5,1) B.eIn+1=0 C.若日则n= D.函数f)=e+x的最小值为f(Q) x+1 【答案】ABC 【解答】对于A:构造g(x)=xe-1,得g(x)=(x+1)e, 知g(x)在(-∞，-1)内单调递减，且g(x)<0,所以g(x)在(-∞，-1)内无零点： gx)在(-1，+∞)内单调递增，9g0.5)=号-1<0且g(=e-1>0, 所以g(x)存在唯一零点E(0.5,1),故A正确： 对于B:因为0en=1,ne(O,5,1),即日=e,取对数得，-1nn=n 黄冈中学2027届数学试题第4页 eln2+1=eLn2+en=e2(nn+2)=0,故B正确： 对于C:e0=→Q=(分P,若=是则0=n,所以u=u=0=n,故c正确： 对于D:构建h(x)=er-x-l,则(x)=e-1, 令h(x)>0,解得x>0;令'(x)<0,解得x<0: 可知h(x)在(-∞，0)内单调递减，在(0，+∞)内单调递增， 则h(x)≥h(0)=0,可得e≥x+1,当且仅当x=0时，等号成立， 则f网-t恤-艺-4≥+n1+诞-1， x+1 +1 +1 +1 当且仅当+m1=0,即上-lmx=0时，等号成立， 因为m)=是-nx在(0，+e∞)内单调递减，且m(1)=1>0,m(回=日-1<0， 可知m(x)在(0，+∞)内存在唯一零点xo∈(1，e),即xo>2, 所以f(x)的最小值为f(xo)=1,不为f(n),故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线f(x)=2e*-sinx-2在点(0，f(0)处的切线方程为 【答案】y=x 【解析】由函数f(x)=2e-sinx-2,可得f'(x)=2e-cosx, 则f(0)=1且f(0)=0,即切线的斜率为k=1,切点坐标为(0,0)， 所以切线方程为y=x。 13.用4种不同的颜色给下图的4个三角形格子（标注为①②③④）涂色，每个格子各涂一种颜色，要求 相邻的两个格子不同色，不同的涂色方法数为 (请用数字作答) 2 ④ (13题图) 【答案】108 【解析】不同的涂法共有N=4×3×3×3=108种，所求涂色方法总共有108种. 黄冈中学2027届数学试题第5页 14.已知数列{a}满足：4+1>a。>0,1=a+1+an，则 (1)首项a的取值范围是 ②)当4=时，记，=二少 。1,且上<9<大+1，则整数k 2027 =1 【答案】(1)(0,2)；(2)-5. 【解析】由a1-a1=am,可得a1(a+1-1)=a:<a+1,所以1<am1<2,即1<a2<2, 则a=a-a2,☑2∈(12)，所以q∈(0,2)，a1-a1=a, 11.1,所以+之 an and-anti an-1 ant dr-1 arar ”6,=二1)”，所以b+6++b=1+1-1 a1-1a2-1a,-1T。 6a2027 因为1<a<2,所以4<an<2,则有∈〔？2 所以乌+6：++（-5号） 则k=-5, 故答案为：(0,2)；-5. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)己知数列{a}的前n项和Sn满足a1=2Sn+6,且41=6 (1)求数列{an}的通项公式： 2a, (2)设6,3-8+2证明么+6++6<1 【解答】(1)：a1=2Sn+6① .n≥2时，4n=2Sn-1+6② ①-②得an1-an=2an,即an+1=3a(n≥2)， 3分 又a,=2S,+6=2a+6=18,4=3, .{an}是等比数列，∴.an=6×3-1 …6分 (2)由1)s,=60-3”2=3g-D, …8分 1-3 黄冈中学2027届数学试题第6页 &-6--808D2） 2a, 4×3 …11分 。…13分 16.15分》已划防网c心若+若=1ab>0)的焦距为25，高心率乃 2 (1)求C的标准方程： ②若4〔多0），直线店+0~0交箱图C于，r两点，且△5F的面积为5，求1的值 【答案】①+”=1：a=5 4 2 【解析】1)由题意得，2c=22,c=V5,又e=- ,则a=2, a 2 则b2=a2-c2=2, 所以c的标准方程为+”=1 …4分 42 (2)由题意设E(,),F(x22),如图所示： 3 x=ty+2 联立 整理得+2)y+30-7=0, 4 4+21 3t 7 A>0,则y+=并2，% 4(t+2) …8分 故4-=(+-44 9t2 7 V16t2+14 V+2P+2 t2+2 …11分 设直线1与：编的交点为D 又40，则A0-(4, 故8h0k-2xM64-6，结合1>0，解得：=V5 …15分 t2+2 2 15分)已知数列a,的前n项和为S.,且S3a-n∈N),数列，)满足：6=， b.+bn+2=2bn+1n∈N). (1)求数列{an},凸}的通项公式； (2)若不等式k孕a1-6,+620对任意meN恒成立，求的取值范国. 黄冈中学2027届数学试题第7页 【解答】解：1)数列a)的前n项和为8，且8-40eN)0, 当=1时，8=4=4片解得名=1： 当e2时，，a,nen@, 0@相减得：a4-4则。2=3（常数）（心2）， 33 d-1 则数列{a}是以1为首项，3为公比的等比数列.则an=3”-: 故a,=3(n∈N): …4分 数列凸}满足：b=a1=1,b2=3,bn+bn+2=2b1(n∈N), 则数列{b}是以1为首项，2为公差的等差数列，故b=2n-1(n∈N). …7分 (2)不等式k孕a1-6.+620即k令3”-(2m-)+6>0: 化简得≥2n-7对任意neN恒成立： …9分 2 改n子a的，则n-g2迎=》-7.2-2.92 20+1 11分 2 2+ 当1≤n<5时，P1>P。,数列p}为单调递增数列： 当n≥5时，PH≤P.,数列{，}为单调递减数列， 由 16D<P=32 ,所以当n=5时，P.取得最大值 …14分 32 所以要使≥2对任意EN恒成立，长员 28 放实数上的取植范国为[号。 15分 18.(17分)己知函数f(x)=lx-(a∈R). （1①）若函数g6-)+arad,求函数g的单调区间： (2)若函数f(x)有两个不同的零点，记两个零点分别为x,x,,且x1<x2· ①求a的取值范围； ②已知2>0，若不等式1+<lnx,+nx,恒成立，求的取值范围. 【解】折（1)函数g()=-x-Zav的定义战为@+o)- 由题意得：g(9)=1-ar=1-ax 当a≤0时，g'(x)>0,则g(x)在区间(0，+o)内单调递增； 2分 黄冈中学2027届数学试题 第8页 当a0时，由g>0.得r或=店c去)， 当0<语时.了>0.f心单调递始， 当a 时，f(x)<0,f()单调递减： 所以当a≤0时，g(x)的单调递增区间为(0，+o),无单调递减区间： 当a>0时，g(x)的单调递增区间为 a 单调递减区间为 …4分 (2)①依题意，函数f(x)的定义域为(0，+o),所以方程nx-ax=0在(0，+o)有两个不同跟等价于函数 8)=与函数y=a的图象在(0，+四上有两个不同交点. 又g)=1-瓜，即当0<x<e时，g)>0:当x>e时，g)<0, x2 所以g()在(0e)上单调递增，在e,+)上单调递减.从而g()a=ge)=】 …6分 又g(x)有且只有一个零点是1，且在x→0时，g(x)→o,在x→+0时，g(x)→0， 所以g(x)的图象如下： 可见，要想函数g)=与函数y=a在图象0，+0)上有两个不同交点，只需0<a<1.…8分 ②由①可知x1,x,分别为方程lx-ax=0的两个根，即lnx1=ax,lnx,=ax2, 所以原式等价于1+1<ax+ax,=a(+x,).因为1>0,0<x<x2,所以原式等价于a> 1+2 X+Ax, n m 又由mx,=ax,mx,=ax,作差得，m主=aK,-x,),即a=,所以原式等价于> 1+2 X-X2 X-x21+2x2 因为0<5<，原式恒成立，即m主<+(，)恒成立。 11分 x2x1+2x2 令1=生，te0,),则不等式m<+G-D在ie0,)上恒成立. x, t+2 令0加+.则0片8-8ew 。…13分 t+元 当21时，可见t∈(0,1)时，()>0，所以ht)在t∈(0,1)上单调递增，又h(1)=0,ht)<0在t∈(0,1) 恒成立，符合题意： *…15分 黄冈中学2027届数学试题第9页 当22<1时，可见当t∈(0,22)时，t)>0;当t∈(22,1)时，)<0， 所以（①）在t∈(0，入2)时单调递增，在te(22,1)时单调递减. 又h(1)=0,所以ht)在t∈(0,1)上不能恒小于0，不符合题意，舍去. 综上所述，若不等式1+<lnx+nx,恒成立，只须21，又>0，所以l. 17分 19.(17分)己知抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点为F,T上任意一点P到F的距离与到点Q(2,0)的距 离之和的最小值为3. (1)求抛物线T的标准方程： (2)如图，己知过点Q的直线1，，l,与T分别交于点A,C与点B,D,(其中点C、D在第一象限) 直线AB与直线DC交于点T,线段AC与BD的中点分别为M,N, ①证明：点T在定直线上： ②若直线l⊥1，直线OM,ON的斜率分别为k，k2,求kk,的取值范围. 【解答】解：(1)如图，设点P到准线的距离为d, 抛物线B的准线方程为(=-号，由抛物线的定义，得PF+PQd4P吧≥2+号-3，解得p-2, 当且仅当P,Q,F三点共线时，等号成立，所以抛物线E的标准方程为y2=4x; …4分 (2)①证明：设A(x1,y),B(x2,2),C(x3,y),D(x4’y4), 直线的方程为x=m+2,直线乙的方程为x=m+2,联立+2消去x整理得y-4-8=0, y2=4x, 所以y,+3=4m,3=-8, 联立 2消去，可得-8=0，所8为+=n,3 所以直线AB的方程为y-片=二c-5)=乃片一（K-x)=4（c-5), x2-龙 1 21 4片4 2+y 即y=,4x-十y=,4X+业，同理直线CD的方程为y=4+业，8分 y2+y y2+y y2+y y2+y y3+y y3+ys 黄冈中学2027届数学试题第10页 y=4 x+y: 联立 4乃+4，得4x+=4x+出， y=4x+ y3+y y3+ya y2+y y2+y y3+y y3+y 即(4 -4x=,即40，+男-为-=0+)0，+) y3+y y2+y y2+y y3+ys 即4(0y2+-y3-y4)x=-8y2-84-（-8y-8y4), …10分 所以x=84-8y+8形+8型=-2，即点T在直线x=-2上. …12分 4(y2+y--y4) ②由题意可知，4,4，的斜率存在且均不为0， 因为11，所以设直线1的方程为x=+2,则直线1，的方程为x=-1y+2, ①知，+y与=4，y+y,=-4.所以yw=当十当=2m,yw=当十些=-2 L 2 2 所以=mw+2=2m+2=,+2- +2, …15分 2 、2 所以k,=业.立=，。m=- 1 1 1 Xy xy 2m2+22 m+22+1 +m+22,m2.1 41 m2+2 当且仅当m-】,即m=山时取等号，又易知华<0，所以k,的取值范围为[子0. 。017分 l 黄冈中学2027届数学试题第11页