精品解析：云南昭通一中教研联盟2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学（B卷）试卷

昭通一中教研联盟2026年春季学期高二年级期中考试 数学（B卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 数列的前n项和为，且，则为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为为底面直径，，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 现有一组数据：2，2，4，8，若在这组数据中添加一个数据4，则不会发生变化的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 7. 、、、、五人并排站成一排，如果，不能相邻，那么不同的排法种数有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 与轴交于点，与轴交于点，与交于、两点，，则为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，P为双曲线上一点，则（ ） A. B. C. E的渐近线方程为 D. E与有交点 10. 伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为2 C. 平面平面 D. 异面直线与所成角的余弦值为 11. 已知函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 有两个不同零点 C. 当时， D. 当时， 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为________. 13. 已知，若的二项展开式中，项的系数为12，则________. 14. 已知数列的通项公式为，前n项和为，当n为偶数时，则________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性并写出单调区间. 16. 如图，直三棱柱中，，，是的中点，是的中点. （1）证明：直线//平面； （2）求直线与平面所成的角的大小. 17. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 18. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求使成立的n的最小值； （3）令，求数列的前n项和. 19. 在平面直角坐标系中，已知点，动点P关于O的对称点为Q，且直线的斜率之积是，记P的轨迹为曲线E. （1）求E的方程； （2）若P关于x轴的对称点为M，求的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通一中教研联盟2026年春季学期高二年级期中考试 数学（B卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A选项，，所以A选项正确； B选项，，所以B选项错误； C选项，，所以C选项错误； D选项，，所以D选项错误. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由抛物线，得抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以抛物线的准线方程为. 3. 数列的前n项和为，且，则为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】因为，则. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助对数函数与指数函数单调性计算即可得． 【详解】解：对数函数在上单调递增，且， 因为，所以，即； 因为指数函数在R上单调递增，且， 因为，所以，即； 又因为，因此大小关系为：． 5. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为为底面直径，，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出底面半径，再根据圆锥侧面积公式求解． 【详解】解：依题意，，所以，， 圆锥的侧面积为． 6. 现有一组数据：2，2，4，8，若在这组数据中添加一个数据4，则不会发生变化的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可． 【详解】对于A：原数据中位数为，添加数据4后中位数为4，故A错误； 对于B：原数据平均数为，添加数据4后平均数为，故B正确； 对于C：原数据众数为2，添加数据4后众数为2和4，故C错误； 对于D：原数据方差为， 添加数据4后方差为，故D错误． 7. 、、、、五人并排站成一排，如果，不能相邻，那么不同的排法种数有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，分步进行分析： ①将、之外的三人全排列有种情况， ②将、插空有种情况， 则有种排法. 8. 与轴交于点，与轴交于点，与交于、两点，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于， 所以，所以， 圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 故，解得，故选． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，P为双曲线上一点，则（ ） A. B. C. E的渐近线方程为 D. E与有交点 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由求解；对于B，由双曲线定义可判断选项正误；对于C，直接求渐近线方程即可；对于D，与渐近线比较即可判断． 【详解】解：对于A，因为离心率，则，故A正确； 对于B，根据双曲线的定义知道，故B错误； 对于C，根据渐近线方程，故C正确； 对于D，因为渐近线斜率，而直线的斜率为2，因为2>1，所以无交点，故D错误． 10. 伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为2 C. 平面平面 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，结合图象，即可判断A的正误；根据锥体体积公式求解即可判断B；根据面面垂直的判定定理，即可判断C的正误；如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，根据线线角的向量求法，即可判断D的正误． 【详解】解：选项A：由图象得，故A正确； 选项B：，B错误； 选项C：因为平面，且，所以平面， 因为，所以平面平面，故C正确； 选项D：以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为，故D正确． 11. 已知函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 有两个不同零点 C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数求函数极小值点判断A，分解因式求函数零点判断B，根据单调性判断C，换元后利用单调性求值域判断D． 【详解】因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A正确； 因为，所以函数只有0，两个零点，故B正确； 因为当时，，单调递减，且，所以，故C错误； 当时，令，，由A选项知在上递减，在上递增， 所以，又，， 所以，所以，故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为________. 【答案】 【解析】 【详解】解：因为，， 所以向量在向量上投影向量为 . 13. 已知，若的二项展开式中，项的系数为12，则________. 【答案】2 【解析】 【详解】解：二项展开式的通项公式为， 令，得到，所以，解得. 14. 已知数列的通项公式为，前n项和为，当n为偶数时，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分奇数项及偶数项求解即可． 【详解】解：当n为偶数时，前n项和中奇数项有项，偶数项有项； 奇数项首项为1，公差为4，偶数项首项为4，公比为4； 根据等差等比前n项和公式得． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性并写出单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间是，单调递减区间是. 【解析】 【小问1详解】 由函数，所以函数的定义域为，， 所以，， 所以函数在点处的切线方程为：， 即，所以函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，且， 令，得；令，得， 因此函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 16. 如图，直三棱柱中，，，是的中点，是的中点. （1）证明：直线//平面； （2）求直线与平面所成的角的大小. 【答案】（1） 证明：不妨设，以为原点，、、所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图， ，，则，， 所以，， 因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以向量为平面的法向量， 而且，所以， 又因为直线平面，所以直线//平面. （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，所以， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则 ， 所以，即直线与平面所成的角为. 17. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 18. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求使成立的n的最小值； （3）令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算基本量，进而可得； （2）直接由前n项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得； （3）利用错位相减法求和即可． 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得， 化简得，解得，， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知. 由，得，即， 即，解得或. 因为，所以n的最小值是5， 即使成立的n的最小值为5. 【小问3详解】 由（1）知，所以， 则①， 两边同乘以2，得②， ，得， 所以. 19. 在平面直角坐标系中，已知点，动点P关于O的对称点为Q，且直线的斜率之积是，记P的轨迹为曲线E. （1）求E的方程； （2）若P关于x轴的对称点为M，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）设，则，再利用斜率之积求轨迹方程即可； （2）解法一：利用向量法可得，则，结合即可求解；解法二：设直线的方程为，，同理可得，再由，结合基本不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设，则， 则，，且， 由，得， 整理，得， 故E的方程为. 【小问2详解】 解法一：依题意，得，则，， 所以，从而，所以， 则的面积， 因为点P在曲线上，则，所以， 即，当且仅当时取“”， 故面积的最大值为3. 解法二：当直线的斜率不存在时，点M与点Q重合，此时不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 则，，从而，， 所以，从而，所以， 由消去y，得，整理，得， 所以的面积， 因为，当且仅当，即时取“=”， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $