精品解析：甘肃白银市第一中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第二册第一章至第二章2.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角差的正弦公式计算即可 【详解】. 2. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合数量积的坐标运算公式和模的坐标公式求，，再由投影向量定义求结论. 【详解】因为， 向量，， 所以向量在上的投影向量为. 3. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由向量与向量共线，且向量不共线， 得，所以. 4. 若三角形三条边的长度分别为2，2025，2026，则该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定的 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先判断最大角，再结合余弦定理运算求解即可. 【详解】长度为2026的边所对的角最大，其余弦值为， 可知最大角为钝角，所以该三角形为钝角三角形. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】所给等式两边平方后，利用二倍角的正弦公式得解. 【详解】因为， 所以， 化简得，所以. 6. 如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】连接， 因为是线段的中点，所以， 则． 因为是线段的中点， 所以． 7. 如图，某测量小组为测量某塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再应用正弦定理计算求解. 【详解】设米，则， 在中，，所以， 解得. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系及两角和余弦公式计算求解，最后应用两角差余弦公式计算求解. 【详解】由题意可得， 则， 故 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 平行向量一定是共线向量 C. 两个单位向量的和一定不是单位向量 D. 若，是不共线向量，则向量，都是非零向量 【答案】BD 【解析】 【分析】应用向量的定义判断A，应用平行向量的定义判断B，D，应用特殊向量的加法及单位向量判断C. 【详解】由向量的定义可知A错误； 由平行向量的定义可知平行向量一定是共线向量，B正确； 当两个单位向量的夹角为时，这两个单位向量的和还是单位向量，C错误； 因为零向量与任何向量平行，所以当，是不共线向量时，向量，都是非零向量，D正确. 10. 已知是第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为，且是第二象限角，所以，，A正确，B错误. ，C正确. ，D正确. 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，. 选项A.，所以，所以，有两解，不符. 选项B.，，所以​，只有1个解，符合. 选项C.，，无解，不符. 选项D.，​，可能的为和； 若，则，不能构成三角形，仅​一个解，符合. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角的对边为，且，，则外接圆的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】设外接圆的半径为，由正弦定理，得，所以外接圆的面积为. 13. 若，是方程的两个根，则________. 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得，得， 所以 14. 已知向量，满足，，当在变化时，为定值，则常数______ 【答案】 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律得、，令，结合其为定值求参数值，即可得. 【详解】由，则， 由，则， 令，且为定值， 所以为定值， 所以，只需，可得，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求的面积； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，利用三角形的面积公式求解. （2）（方法一）联立方程组计算出的值，利用余弦定理求出，从而求出的周长.（方法二）由余弦定理及，求出，从而求出的周长. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，所以的面积为. 【小问2详解】 （方法一）由，得或， 由余弦定理，得， 解得. 故的周长为. （方法二）由余弦定理， 得， 解得. 故的周长为. 16. 已知点，，. （1）若，，三点共线，求的值； （2）若，，求点的坐标； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，列式计算求解； （2）设，根据向量线性运算坐标表示列式计算求解； （3）根据向量模的坐标表示列式计算求解. 【小问1详解】 ，. 因为，，三点共线， 所以，即，，解得； 【小问2详解】 设，则，. 因为，所以，解得，， 所以. 【小问3详解】 ，. 因为，所以，解得. 17. （1）若，求，的值； （2）若，且，求，的值. 【答案】（1），（2）， 【解析】 【分析】（1）由题中所给等式求出正切值，然后利用二倍角公式及两角和的正切公式进行求解； （2）利用二倍角的余弦公式及两角和的余弦公式进行求解. 【详解】（1）由题意得， 则， （2）， 因为，所以， 所以， 所以. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）证明：. （2）若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 【答案】（1） 由正弦定理得， 得， 得. 因为，，所以，得. （2） 【解析】 【分析】（1）本题利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换，通过两角差的正弦公式推导角的等量关系，从而证明. （2）本题先由（1）的结论结合正弦定理得到与的关系，再利用角平分线的性质得到三角形内角的关系，结合正弦定理建立关于的方程，求解得到的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正弦定理，得.① 因为A的角平分线交BC于D，所以，. 在中，得，得. 在中，由正弦定理得， 得.② 由①②得，得（负根舍去）. 19. 如图，在矩形中，点分别在边上运动，且． （1）若，求． （2）记，阴影部分的面积为． （i）将阴影部分的面积表示成关于的函数关系式，并求出定义域； （ii）求出的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题中边角关系求得，利用向量加法的三角形法则(中，)得到,，即可计算得解； （2）（i）采用割补法,分别求得、及矩形面积即可求得阴影面积表达式,根据、分别建立不等式即可求得定义域； （ii）令，则，再化简，结合基本不等式求函数最值即可． 【小问1详解】 矩形中，， 所以， 在中，， 在中，， ， 所以； 【小问2详解】 （i），则， 在中，， ， 在中，， ， 矩形面积， 阴影面积， 由得，故， 由得，故，故， 故定义域为； 综上，阴影面积； （ii）令，则，且， 所以 ， ， 当且仅当即时取等， ， 在处取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第二册第一章至第二章2.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（ ） A. B. 6 C. D. 4. 若三角形三条边的长度分别为2，2025，2026，则该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定的 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某测量小组为测量某塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 平行向量一定是共线向量 C. 两个单位向量的和一定不是单位向量 D. 若，是不共线向量，则向量，都是非零向量 10. 已知是第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角的对边为，且，，则外接圆的面积为________. 13. 若，是方程的两个根，则________. 14. 已知向量，满足，，当在变化时，为定值，则常数______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求的面积； （2）若，求的周长. 16. 已知点，，. （1）若，，三点共线，求的值； （2）若，，求点的坐标； （3）若，求的值. 17. （1）若，求，的值； （2）若，且，求，的值. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）证明：. （2）若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 19. 如图，在矩形中，点分别在边上运动，且． （1）若，求． （2）记，阴影部分的面积为． （i）将阴影部分的面积表示成关于的函数关系式，并求出定义域； （ii）求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $