精品解析：云南昭通一中教研联盟2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学（A卷）试卷

昭通一中教研联盟2026年春季学期高二年级期中考试 数学（A卷） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用对数函数定义域得出集合，再应用补集及交集计算求解. 【详解】由题意，得，，所以， 所以. 2. 已知是等比数列，，，则（ ） A. 10 B. -10 C. 6 D. -6 【答案】C 【解析】 【分析】应用等比数列下标和性质计算求解. 【详解】因为是等比数列，所以， 又因为，所以. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用二项式展开式的通项公式计算求解即可. 【详解】根据二项式展开的通项公式，第项为， 令的指数，解得， 即的系数为. 4. 设随机变量服从成功概率为的二项分布，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，联立已知条件，解方程组即可求出参数 . 【详解】因为服从成功概率为的二项分布，且，，所以， 解得：. 5. 现有7张卡片，分别写上数字2，3，3，4，5，6，7.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用古典概型结合组合数计算求解. 【详解】从写有数字2，3，3，4，5，6，7的7张卡片中任取3张共有种取法， 其中所抽取的卡片上的数字的最小值为3的取法共有种， 所以. 6. 对于变量，，经过随机抽样获得成对数据，且 ，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且与的相关系数，则下列结论正确的是（ ） A. 越大，与的线性相关性越弱 B. 若，则 C. 若，则 D. 若样本点都在回归直线上，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由的绝对值大小与和的线性相关性强弱关系可判断选项正误；对于B，由与计算公式可判断选项正误.对于C，由题设可得，据此可判断选项正误；对于D，由的意义可判断选项正误； 【详解】对于A，的绝对值越接近1，由于，故的值越大，与的线性相关性越强，故A错误； 对于B，,从而，则当时，因无法确定，则无法确定，故B错误. 对于C，由于可得，则，当时，，则，故C错误； 对于D，若样本点都在回归直线上，且，则，D正确； 7. 已知，是随机事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设及条件概率公式，概率加法公式可得，，联立解方程即可. 【详解】因，则， 又因，，且事件与事件互斥， 则，可得，从而. 故，解得. 8. 已知函数，则“”是“是函数的极大值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数导数，再分析为极大值的充要条件，最后结合充分性，必要性的定义判断选项 【详解】由已知，，令，得或. 若即，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极小值点，不合题意； 若即，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极大值点； 若即，，函数无极值点. 综上，若为函数的极大值点，则. 若，则，满足为函数的极大值点，充分性成立； 若为函数的极大值点，则，即不一定成立，必要性不成立. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列的前项和为.令，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 数列的前2026项和为 D. 数列的前项和的最大值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】本题先通过数列前项和为​求通项公式​，再据此分析​并利用裂项相消法求其前项和，逐一验证选项即可. 【详解】当时，，当时，， 当时，也符合，所以，，A对B错； 可得， ， 代入,可得C对，D错. 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. 若样本数据的样本方差为3，则数据的方差为4 C. 已知随机变量，若，则 D. 某班要从12名候选人中选4名组成学生会，已知有4名候选人是男生，假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示候选人是男生的人数，则恰有2名男生被选到的概率为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，，，， 因此，A正确； 对于B，设样本数据的方差为D，则，解得， 数据的方差为，B错误； 对于C，随机变量，由， 得，C正确； 对于D，恰有2名男生被选到的概率为，D正确. 11. 已知函数，记方程的根为，下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 函数的最小值不可能为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用零点存在定理判断A，由对数的运算判断BC，利用导数确定在的左侧一个小区间内递增，从而判断D. 【详解】选项A：由得，设， 因单调递增，则为的唯一零点， 因为，所以，故A正确； 选项B：由题意，所以， 故，即，故B正确； 选项C：若，其中，则， 故，由选项B可知， 因，显然不成立，故C错误； 选项D：由得， 设，则， 故在上单调递增，因，， 即，故，故， 且使得在上有， 此时，在上单调递增， 故不是的最小值，故D正确. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知曲线的一条切线方程为，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，由求出，再由函数解析式计算出，代入切线方程可求得. 【详解】， 设切点为，因为切线，所以 ， 解得，（舍去），代入曲线得， 所以切点为，代入切线方程解得. 13. 由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有_________种. 【答案】480 【解析】 【分析】由排列组合采用插空法，再利用分步乘法计数原理即可得结果 【详解】先除去甲乙，另外4位专家排成一排，站法共有种， 4位专家排成一排后形成5个空，将甲乙插入这五个空中，共有种， 由分步乘法计数原理得种，即不同的站法有480种， 故答案为：480 14. 如图所示，一张长方形光滑桌上，左侧有个小球，右侧有个小球，它们排成一条直线相向滚动.滚动规则如下： 规则1：如果两个小球迎面碰撞，会立刻调头反向滚动； 规则2：当小球滚到桌面边缘时，会从桌面掉落. 当桌面上所有小球都掉落之后，记所有小球碰撞的总次数为，则__________；若，写出满足条件的一组为__________.（小球相同，忽略其它影响小球滚动因素） 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】应用新定义规则计算求解. 【详解】当左侧有1个小球，右侧有2个小球，则左侧和右侧最前面的小球碰撞一次后，左侧小球掉头滚到桌面边缘掉落， 而右侧碰撞的小球掉头后与后面的小球再一次碰撞，然后两只小球掉头都滚到桌面边缘掉落，这样一共就是滚到2次，所以； 当左侧有1个小球，右侧有12个球，依次编号为1，2，3，⋯，12，则左侧和1号碰撞一次后，左侧小球掉头滚到桌面边缘掉落，累计碰撞1次， 1号调头与2号碰撞一次后，1号再掉头滚到桌面边缘掉落，累计碰撞2次， 2号调头与3号碰撞一次后，2号再掉头滚到桌面边缘掉落，累计碰撞3次， 3号调头与4号碰撞一次后，3号再掉头滚到桌面边缘掉落，累计碰撞4次，...11号掉头与12号碰撞一次后，11号和12号都掉头滚到桌面边缘掉落，累计碰撞12次， 所以此时有， 故满足条件的一组为，即. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年级采用按比例分层抽样的方式得到400名学生的测验成绩，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 不认真完成作业 认真完成作业 总计 （1）求； （2）记不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的概率为，给出的估计值； （3）能否有的把握认真完成作业对成绩优秀有效？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）， （2） （3）有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效 【解析】 【小问1详解】 由列联表知， 【小问2详解】 由列联表知，不认真完成作业的有人，不认真完成作业且成绩不优秀的有人，所以在不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的频率为， 所以不认真完成作业且成绩不优秀的概率的估计值为． 【小问3详解】 零假设：假设认真完成作业与成绩优秀无关； 由列联表得到， 所以有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效. 16. 年全国青少年科技创新大赛采用两轮晋级制，参赛选手需顺利通过第一轮考核，方可获得第二轮参赛资格，两轮考核全部通过者，将正式取得代表学校参与更高层次竞赛的宝贵资格.已知小明、小华，小方位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立. （1）求这人中至多有人通过第一轮的概率； （2）从人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记人中通过第一轮的人数为，从而有，再利用对立事件及二项分布的概率公式，即可求解； （2）根据条件，利用全概率公式，即可求解. 【小问1详解】 记人中通过第一轮的人数为，由题意可知， 记“人中至多有人通过第一轮”为事件， 则. 【小问2详解】 记随机选择小明、小华、小方的事件分别为、、，通过第二轮的事件记为， 则由题意可知, ,,, 则 所以从人中随机选出一人，通过第二轮的概率为. 17. 已知数列满足，且. （1）求数列的前项和； （2）记数列的前项和为.若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 根据题设递推关系有，结合等差数列定义即可求得通项公式，进而得出结果； （2）利用错位相减法及等比数列前项和公式求，进而解不等式即可. 【小问1详解】 由，则， 则，又， 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以， 故. 【小问2详解】 由（1）知， ， 则， 则 ， 则， 由 恒成立， ， . 18. 高阶智驾技术是汽车研发领域的一个重要方向.某学校创新社团爱好者研发了一个感知路况障碍的小汽车模型.该模型通过三个探测元件共同判断路段是否有路障.在对该模型进行测试中，该社团同学寻找了100个不同的路段作为测试样本，数据如下表：（假设三个探测元件对路况的判断相互独立） 测试结果真实路况 探测元件1 探测元件2 探测元件3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 25 1 1 25 4 15 15 0 有障碍 50 10 10 55 5 10 55 10 5 （1）从这100个路段中随机抽取一个路段，求探测元件2对该路况判断正确的概率； （2）从这100个路段中随机抽取一个无障碍的路段进行测试，设为探测元件1和探测元件3对无障碍的路段判断正确的探测元件数，求的分布列和数学期望； （3）现有一辆小汽车同时装载了以上3种探测元件，在通过某路段时，只要3个探测元件中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速.请问可以通过提高哪一个探测元件的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于.（直接写出探测元件1、2、3其中一个，结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 0 1 2 期望为. （3）元件3 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式求解； （2） 分别算出探测元件1判断正确的概率，探测元件3判断正确的概率，随机变量的所有可能取值为0，1，2，依次算出概率和期望； （3）根据题意求得小汽车在无障碍的道路上减速的概率即可得到结论. 【小问1详解】 由题设表格中的数据，这100个路段中， 探测元件2判断正确的路段有个， 设“探测元件2对该路况判断正确”为事件，则. 【小问2详解】 这100个路段中无障碍的路段共有30个， 在这30个无障碍的路段中，探测元件1判断正确的有25个，错误的有5个， 探测元件3判断正确的有15个，错误的有15个， 所以探测元件1判断正确的概率，错误的概率为， 探测元件3判断正确的概率，错误的概率为， 由题意得，随机变量的所有可能取值为0，1，2， 可得， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以期望为. 【小问3详解】 可以通过提高探测元件3的判断准确率， 使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于. 理由如下：共有30个无障碍的路段， 探测元件1判断无障碍的有25个，由频率估计概率，所以无障碍路段上， 估计探测元件1判断无障碍的概率， 探测元件2判断无障碍的有25个，由频率估计概率，所以无障碍路段上， 估计探测元件2判断无障碍的概率， 设探测元件3无障碍判断正确的概率为， 小汽车在无障碍的道路上减速的概率为， 若，可得，解得， 又原探测元件3无障碍判断正确的概率为，， 所以可以通过提高探测元件3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调递增区间； （2）当时，求的最小值； （3）证明：当时，有唯一零点. 【答案】（1） （2） （3） 当时，令，得到或， 当时， 所以或时，则，即在区间和上单调递增； 当时，则，即在区间上单调递减， 则在时有极小值， 在时有极大值，， 又时，， 由零点存在性原理知，当时，有且仅有一个零点， 当时，由（1）知在上单调递增，又时，，时，， 所以时，有且仅有一个零点， 当时，， 当或时，则，即在区间和上单调递增， 当时，则，即在区间上单调递减， 又，时，， 由零点存在性原理知，当时，有且仅有一个零点， 综上所述，有且仅有一个零点. 【解析】 【分析】（1）根据条件得，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （2）根据条件，求出的单调区间，即可求解； （3）分，和，分别求出的单调区间，再结合零点存在性原理，即可求解. 【小问1详解】 易知的定义域为，， 当时，，又易知是递增函数，且时，， 所以当时，，则有， 当时，，则有， 所以对任意的，都有，当且仅当时取等号， 故的增区间为. 【小问2详解】 因为，当时，有恒成立， 所以当时，则，即在区间上单调递增， 当时，则，即在区间上单调递减， 所以，故. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通一中教研联盟2026年春季学期高二年级期中考试 数学（A卷） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是等比数列，，，则（ ） A. 10 B. -10 C. 6 D. -6 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 设随机变量服从成功概率为的二项分布，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 现有7张卡片，分别写上数字2，3，3，4，5，6，7.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 6. 对于变量，，经过随机抽样获得成对数据，且 ，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且与的相关系数，则下列结论正确的是（ ） A. 越大，与的线性相关性越弱 B. 若，则 C. 若，则 D. 若样本点都在回归直线上，则 7. 已知，是随机事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则“”是“是函数的极大值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列的前项和为.令，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 数列的前2026项和为 D. 数列的前项和的最大值为1 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. 若样本数据的样本方差为3，则数据的方差为4 C. 已知随机变量，若，则 D. 某班要从12名候选人中选4名组成学生会，已知有4名候选人是男生，假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示候选人是男生的人数，则恰有2名男生被选到的概率为 11. 已知函数，记方程的根为，下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 函数的最小值不可能为 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知曲线的一条切线方程为，则实数__________. 13. 由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有_________种. 14. 如图所示，一张长方形光滑桌上，左侧有个小球，右侧有个小球，它们排成一条直线相向滚动.滚动规则如下： 规则1：如果两个小球迎面碰撞，会立刻调头反向滚动； 规则2：当小球滚到桌面边缘时，会从桌面掉落. 当桌面上所有小球都掉落之后，记所有小球碰撞的总次数为，则__________；若，写出满足条件的一组为__________.（小球相同，忽略其它影响小球滚动因素） 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年级采用按比例分层抽样的方式得到400名学生的测验成绩，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 不认真完成作业 认真完成作业 总计 （1）求； （2）记不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的概率为，给出的估计值； （3）能否有的把握认真完成作业对成绩优秀有效？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 年全国青少年科技创新大赛采用两轮晋级制，参赛选手需顺利通过第一轮考核，方可获得第二轮参赛资格，两轮考核全部通过者，将正式取得代表学校参与更高层次竞赛的宝贵资格.已知小明、小华，小方位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立. （1）求这人中至多有人通过第一轮的概率； （2）从人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率. 17. 已知数列满足，且. （1）求数列的前项和； （2）记数列的前项和为.若对任意恒成立，求实数的取值范围. 18. 高阶智驾技术是汽车研发领域的一个重要方向.某学校创新社团爱好者研发了一个感知路况障碍的小汽车模型.该模型通过三个探测元件共同判断路段是否有路障.在对该模型进行测试中，该社团同学寻找了100个不同的路段作为测试样本，数据如下表：（假设三个探测元件对路况的判断相互独立） 测试结果真实路况 探测元件1 探测元件2 探测元件3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 25 1 1 25 4 15 15 0 有障碍 50 10 10 55 5 10 55 10 5 （1）从这100个路段中随机抽取一个路段，求探测元件2对该路况判断正确的概率； （2）从这100个路段中随机抽取一个无障碍的路段进行测试，设为探测元件1和探测元件3对无障碍的路段判断正确的探测元件数，求的分布列和数学期望； （3）现有一辆小汽车同时装载了以上3种探测元件，在通过某路段时，只要3个探测元件中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速.请问可以通过提高哪一个探测元件的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于.（直接写出探测元件1、2、3其中一个，结论不要求证明） 19. 已知函数. （1）当时，求的单调递增区间； （2）当时，求的最小值； （3）证明：当时，有唯一零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $