第六章 平面向量及其应用 章末检测卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第6章 平面向量及其应用章末检测卷 1、 单选题 1. 下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基底的概念及辨析 【详解】对A，因为零向量跟任何向量共线，则两者是共线向量，故A错误； 对B，因为，则两者不是共线向量，则B正确； 对C，由于，，则，是共线向量，故C错误； 对D，由于，，则，是共线向量，故D错误. 2. 在中，若，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】根据题意，利用余弦定理，化简求得，得到，即可求解. 【详解】因为，由余弦定理得，整理得， 因为，所以，所以为等腰三角形. 3. 已知，，点在的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】线段的定比分点 【详解】设点， 由点在的延长线上，且，得， 又，， 所以，解得， 所以点的坐标为． 4. 已知向量与的夹角为，，，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】先利用已知条件求出向量的数量积，再分别计算目标向量的模长与它们的数量积，最后代入向量夹角公式求解． 【详解】由题意得，，， 所以， ， ， 设向量与的夹角为， 则， 又，所以． 5. 如图，一个测量小组为了测量学校的两棵树底部（位于池塘的两端）间的距离，在两棵树之间的一条南北走向的路上取两个测量点，测得，从点测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上，在处测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上．均处于同一水平面内，则两棵树底部间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】延长与交于点，在中，利用正弦定理可得，在中，利用余弦定理运算求解. 【详解】延长与交于点， 在中，因为，，， 所以，则为等腰三角形，． 在中，因为，，， 所以， 由正弦定理，即，解得． 在中，因为，，， 由余弦定理得， 所以两棵树底部间的距离为． 6. 在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量共线定理的推论 【分析】利用向量的线性运算，结合共线向量定理及推论求解即得. 【详解】依题意，，由在上，得， 由在上，得，解得，则， 所以. 7. 在中，内角对应的边分别为，若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形 【详解】在中，由正弦定理得,为三角形外接圆半径. 代入，，得. 因此，. 因为，，所以，且. 则 由，得，所以. 故，即的取值范围是. 8. 在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为（   ） A．12 B．6 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理的推论、数量积的运算律、平面向量基本定理的应用 【分析】取中点，由中位线及比例关系可得，再结合为中线，代入向量数量积等式并利用，即可解得. 【详解】如图，取中点，连接，所以， 因为，所以,所以为中点， 所以， 所以． 因为，， 所以， 又，所以． 在斜三角形中，，所以，则．所以A正确． 二、多选题 9. 已知平面向量，，则下列正确的是（    ） A． B．与同向的单位向量为 C．当时，则向量在向量上的投影向量为 D．若向量与向量夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】BC 【难度】0.68 【知识点】零向量与单位向量、向量夹角的计算、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】利用坐标计算模判断A；利用单位向量的意义求解判断B；求出射影向量判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，与同向的单位向量，B正确； 对于C，当时，， 因此向量在向量上的投影向量为，C正确； 对于D，当时，，向量与方向相反，夹角为，不是钝角，D错误. 10. 下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】平行向量（共线向量）、向量加法法则的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【详解】对于A，若，则与的夹角为或 . 因为，所以，故A正确； 对于B，当时，不一定成立，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，根据向量加法的三角形法则，可知成立，故D正确． 11. （多选）设P是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（   ） A．若，△ABC的面积为1，则△PAC的面积为2 B．若，且，则点P是△ABC的重心 C．若，，则 D．若，则的最小值为 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】三角形的心的向量表示、平面向量基本定理的应用、向量与几何最值 【分析】 对于A，由题可得且，利用面积关系求解即可；对于B，取AB的中点D，化简可得点P在AB的中垂线上，结合可得P为△ABC的外心，对于C，利用向量的线性运算求解即可；对于D，根据题意可得，设BC的中点为D，化简，结合向量数量积运算即可求解. 【详解】对于A，∵，∴， 如图，且，则点C到AB的距离与点A到PC的距离相等， 又，∴，故A正确； 对于B，如图，取AB的中点D，则， ∵，∴，∴，∴， ∴点P在AB的中垂线上，∴，又，∴，∴P为△ABC的外心，故B错误； 对于C，如图，由图可知， 即有，又，不共线， ∴，，∴，故C错误； 对于D，， 如图，设BC的中点为D，则， ∴，设AD的中点为O， 则 ， 当时，即点P与点O重合时，取得最小值，故D正确. 3、 填空题 12. 已知向量与不共线，且，，．若A，B，C三点共线，则______． 【答案】 【难度】0.84 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【详解】因为A，B，C三点共线，所以，使得 ， 因为向量与不共线， 所以有，解得，. 13. 已知向量的夹角为，则______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据垂直关系，可得的值，根据数量积公式，可得，对所求平方，整理计算，即可得答案. 【详解】因为，所以，即，则， 所以，解得， 所以. 14. 在中，为三等分点（靠近点），，若，且，则_________. 【答案】 【难度】0.44 【知识点】由向量线性运算结果求参数、数量积的坐标表示 【分析】由题意建立平面直角坐标系，设出相关点坐标，利用向量的线性关系与向量数量积的坐标公式计算即得. 【详解】如图，以点为坐标原点，使在轴上，建立平面直角坐标系， 则，，因，可设，， 因为三等分点（靠近点），则， 根据，可得，即， 解得，于是. 4、 解答题 15. 如图，在中，，点满足，，边上的中线与交于点.设，. (1)用向量表示; (2)求的大小. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.62 【知识点】向量减法的法则、用基底表示向量、向量夹角的计算、已知数量积求模 【分析】（1）直接由向量的线性运算可得； （2）因为的大小等于向量与的夹角，再用向量的数量积计算夹角可得. 【详解】（1）因为，，，. 所以，，，所以. 又为边上的中线，所以 故，. （2）由得，又， 所以向量与的夹角为，则， 故的大小等于向量与的夹角. 由（1）知， 所以，所以， 同理，，即. 所以， 所以， 又因为，所以. 16. 在中，角的对边分别为，满足. (1)若，求周长的最小值； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求三角形面积的最值或范围、基本不等式求和的最小值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】（1）对进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （2）先使用余弦定理把角C计算出来，再运用正弦定理把锐角三角形面积表示成关于角A的三角函数, 通过是锐角三角形计算角A的取值范围再计算面积的取值范围. 【详解】（1）解：因为, ， 由基本不等式可知,当且仅当时等号成立, 所以,，,即, , 所以,当时，周长有最小值为； （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求角B； (2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； (3)求边AC上的中线BE的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.61 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）运用余弦定理将角化为边，化简后再用余弦定理求出，得出B即可． （2）先用余弦定理得出a，c关系式，再将三角形面积进行转化，用等面积法，运用面积公式求解即可． （3）先用中线的向量表达式，，两边平方，将中线长转化为求ac的范围，后将ac又转化为三角函数求值域问题，最终求得中线长范围． 【详解】（1）已知，由余弦定理可得， 因为，代入中，得，化简得， 则，因为，所以． （2），，由余弦定理得， 即，又因为，所以， 由面积关系可得， ， 所以，即. （3）因为E是AC的中点，所以， 则， 由正弦定理得，， 即， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，即边AC上的中线BE的取值范围为． 18. 如图，在中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，.设，, (1)若，，求的值. (2)在（1）的条件下，求的最小值. (3)若是边长为的等边三角形，且点为的中点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.6 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、利用平面向量基本定理求参数、基本不等式求和的最小值、数量积的运算律 【分析】（1）根据向量线性运算直接求得，代入即可求得结果； （2）根据三点共线可求得，利用“”的代换和基本不等式可求得结果； （3）以为基底可表示出，平方后可整理得到关于的二次函数，利用基本不等式可求得的范围，进而得到结果. 【详解】（1），， 为中点，，， . （2）由（1）得：， 三点共线，， . 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为. （3）因为是边长为的等边三角形，且点为的中点， 所以. 因为是的中点，所以， 因为三点共线，所以，即． ， ， ，，， ， ， ， ，即． 又，，解得：（当且仅当时取等号）， ， ，当时，取得最小值， 即的最小值为. 19. 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中点，且，， (1)求； (2)求； (3)设，分别为边，上的动点，线段交于，且四边形的面积为面积的，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2) (3) 【难度】0.36 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据和差角公式以及正弦定理即可求解， （2）根据向量的线性运算，结合模长公式即可求解， （3）根据共线，利用向量的线性表示，结合三点共线得，根据面积之比得，即可根据数量积的运算律，得，利用不等式的性质求解即可. 【详解】（1）由，得, 即， 由于，所以， 则，即. 由正弦定理，得. （2）由于为边上的中点，所以， 则， 所以. （3）设，，， 所以，. 由于，所以. 由于、、三点共线，可得，所以. 由于 ； 由题意知，而， 所以. 由于. 所以 . 由于，而，所以， 则，所以， 所以. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 平面向量及其应用章末检测卷 1、 单选题 1. 下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2. 在中，若，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 3. 已知，，点在的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4. 已知向量与的夹角为，，，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 5. 如图，一个测量小组为了测量学校的两棵树底部（位于池塘的两端）间的距离，在两棵树之间的一条南北走向的路上取两个测量点，测得，从点测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上，在处测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上．均处于同一水平面内，则两棵树底部间的距离为（   ） A． B． C． D． 6. 在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7. 在中，内角对应的边分别为，若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8. 在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为（   ） A．12 B．6 C． D． 二、多选题 9. 已知平面向量，，则下列正确的是（    ） A． B．与同向的单位向量为 C．当时，则向量在向量上的投影向量为 D．若向量与向量夹角为钝角，则的取值范围是 10. 下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 11. （多选）设P是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（   ） A．若，△ABC的面积为1，则△PAC的面积为2 B．若，且，则点P是△ABC的重心 C．若，，则 D．若，则的最小值为 3、 填空题 12. 已知向量与不共线，且，，．若A，B，C三点共线，则______． 13. 已知向量的夹角为，则______． 14. 在中，为三等分点（靠近点），，若，且，则_________. 4、 解答题 15. 如图，在中，，点满足，，边上的中线与交于点.设，. (1)用向量表示; (2)求的大小. 16. 在中，角的对边分别为，满足. (1)若，求周长的最小值； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求角B； (2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； (3)求边AC上的中线BE的取值范围． 18. 如图，在中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，.设，, (1)若，，求的值. (2)在（1）的条件下，求的最小值. (3)若是边长为的等边三角形，且点为的中点，求的最小值. 19. 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中点，且，， (1)求； (2)求； (3)设，分别为边，上的动点，线段交于，且四边形的面积为面积的，求的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $