三角函数的化简与求值（定义、齐次式、求值、各种公式）讲义-2026届高三数学二轮复习

三角函数的化简与求值 【题型1 三角函数的定义及应用】 规律与方法 1.任意角的三角函数定义：设角的终边上任意一点（异于原点），，则，，，核心是终边点的坐标与模长的比值，与点的位置无关。 2.单位圆定义：当时，，，，可结合单位圆上的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）直观分析角的范围与三角函数值的符号。 3.三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，结合角的终边所在象限判断，终边在坐标轴上时三角函数值为0或。 4.应用技巧：已知终边点坐标求三角函数值，直接代入定义；已知三角函数值求终边点坐标，结合符号设参数求解；与向量、解析几何结合时，利用终边与向量的共线关系转化。 1．(2026·四川宜宾·模拟)在平面直角坐标系中，设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2.(2026·山东·一模)“为第三象限角或第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(2026·湖北黄冈·模拟)（多选）下列说法正确的是（　　） A． B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C．终边落在直线上的角的集合是 D．函数的定义域为 4.(2026·河南南阳·模拟)已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 5.(2026·大湾区·模拟)质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆周上同时出发逆时针作匀速圆周运动．的起点坐标为，角速度为；的起点坐标为，角速度为．则质点Q与P相遇点对应的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【题型2 齐次式的应用】 规律与方法 1.同角三角函数基本关系： (1) ， (2) ，注意齐次式化切技巧（分子分母同除以）。 2.诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，核心是将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。 3.已知tan α求sin α，cos α齐次式中“切弦互化”的技巧 (1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． （2）切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧． 1.（2025·山东烟台·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 2.（2025·云南昭通·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 3.（2026·陕西榆林·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东泰安·一模）若，则（    ） A． B． C．2 D． 5．（23-24高三下·江西·开学考试）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 sina·cosa与sina±cosa关系】 规律与方法 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二， 若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用． 1.（2025·湖南常德·模拟预测）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2.(2026·黑龙江哈尔滨·模拟)若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁鞍山·二模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·黑龙江·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·辽宁鞍山·二模）已知是第四象限角，且满足，则 ． 【题型4 三角恒等变换给角求值】 规律与方法： 在三角函数给角求值的问题中，为了达到求值的目的,必然要对给出的角进行分析，寻找它们的关系,并作出角的变换，使角度种类减少，或者三角函数可以”相消“或"相约"，或者在变换中产生特殊角从而直接得出三角函数的值.给角求值两种思路：一，化为相同角思路将不同的角化为同一角；二，利用余补角思路利用互余,互补的关系减少角度种类，进而相约. 1．（2024·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高三上·广东肇庆·月考）（   ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三·陕西西安·一模）等于（    ） A． B． C． D．1 5．（23-24高三下·湖南湘潭·月考）的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【题型5 三角恒等变换给值求值】 规律与方法 1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用; ②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如： 等. 1．（2026·河南濮阳·二模）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 2.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·重庆·月考）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三·重庆·模拟预测）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江·模拟预测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 三角恒等变换给值求角】 规律与方法 “给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是： （1）求值：求出所求角的某种三角函数值. （2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围. （3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小. 1．（23-24高三下·四川泸州·开学考试）已知，且为锐角，则（    ） A． B．或 C． D． 2．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3.（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·福建莆田·月考）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 对偶式】 规律与方法 1、形式一样，具有对称形式。 2、两边平方，再相加构造和差公式 1.已知，，则 . 2.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________． 3．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 4.已知，则 . 【题型8 正切和差公式的逆用】 规律与方法 1.变形公式：； 2 1.在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　) A．－ B． C． D．－ 2.已知，，则（     ） A． B． C． D． 3． ． 4．（ 2025·吉林长春·模拟预测）已知为锐角，若存在，使得，则的取值范围是 . 5.（2025高三·全国·专题练习）在 中， ，则 ______． 【题型9 和差化积，积化和差】 规律与方法 和差化积公式： ， ， ， 积化和差公式：， ， ， . 1．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D．【答案】D 2.（2024·广东·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 4.（2025·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 5.（2022·浙江·模拟预测）已知，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【题型10 三角函数综合化简】 规律与方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等． 1.化简：＝________． 2．（22-23高三上·河北张家口·期中）等于（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（22-23高三上·江苏南京·期末）若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（2024高三·江苏·专题练习）求值: . 5.（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若，则________. 课后作业： 1．(2026·黑龙江大庆·模拟)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东滨州·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·四川·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 5.（    ） A．3 B．4 C． D． 6．（2026·宁夏银川·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·云南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 8.（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 9.（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 10.（多选 25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11.（多选 24-25高三上·四川眉山·月考）计算下列各式的值，其结果为2的有（    ） A． B． C． D． 12.（多选）已知，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 13.（2025·广东梅州·模拟预测）已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 14.（25-26高三上·天津·期中）在平面直角坐标系中，已知向量，且，则的值为______. 15.（24-25高三上·江苏扬州·月考）已知的角，，满足，其中符号表示不大于的最大整数，若，则______． 16.（2026·河北沧州·二模）已知，，若，，则______. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的化简与求值 【题型1 三角函数的定义及应用】 规律与方法 1.任意角的三角函数定义：设角的终边上任意一点（异于原点），，则，，，核心是终边点的坐标与模长的比值，与点的位置无关。 2.单位圆定义：当时，，，，可结合单位圆上的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）直观分析角的范围与三角函数值的符号。 3.三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，结合角的终边所在象限判断，终边在坐标轴上时三角函数值为0或。 4.应用技巧：已知终边点坐标求三角函数值，直接代入定义；已知三角函数值求终边点坐标，结合符号设参数求解；与向量、解析几何结合时，利用终边与向量的共线关系转化。 1．(2026·四川宜宾·模拟)在平面直角坐标系中，设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角终边经过点，所以，则.故选：A 2.(2026·山东·一模)“为第三象限角或第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若为第三象限角或第四象限角，则，故充分性成立；若，则为第三象限角或第四象限角或，故必要性不成立；所以“为第三象限角或第四象限角”是“”的充分不必要条件.故选：A 3．(2026·湖北黄冈·模拟)（多选）下列说法正确的是（　　） A． B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C．终边落在直线上的角的集合是 D．函数的定义域为 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，则，A正确；对于B，设扇形半径为，由圆心角为的扇形的面积为，得，解得，因此扇形的弧长为，B正确；对于C，终边落在射线上的角集合为，终边落在射线上的角集合为，因此终边落在直线上的角的集合是，C错误；对于D，由，得，因此函数的定义域为，D正确.故选：ABD 4.(2026·河南南阳·模拟)已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边经过点，所以，所以，即，解得.所以或（舍去）.故选：B. 5.(2026·大湾区·模拟)质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆周上同时出发逆时针作匀速圆周运动．的起点坐标为，角速度为；的起点坐标为，角速度为．则质点Q与P相遇点对应的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，点在的终边上，点在的终边上，设质点与相遇时用时， 由题意得，解得， 此时质点落在的终边上， 所以点的横坐标为， 点的纵坐标为， 所以质点Q坐标为.故选：D. 【题型2 齐次式的应用】 规律与方法 1.同角三角函数基本关系： (1) ， (2) ，注意齐次式化切技巧（分子分母同除以）。 2.诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，核心是将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。 3.已知tan α求sin α，cos α齐次式中“切弦互化”的技巧 (1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． （2）切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧． 1.（2025·山东烟台·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故选：C. 2.（2025·云南昭通·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得. 【详解】因为， 所以 ． 故选：C． 3.（2026·陕西榆林·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得， 所以. 4．（2024·山东泰安·一模）若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由，得， 即，即， 所以，所以， 则.故选：C. 5．（23-24高三下·江西·开学考试）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为锐角，则， 则， 整理可得，解得， 所以， .故选：C. 【题型3 sina·cosa与sina±cosa关系】 规律与方法 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二， 若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用． 1.（2025·湖南常德·模拟预测）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式以及同角三角关系可得，再结合正、余弦函数的单调性分析求解即可. 【详解】由题意可得：， 因为，则， 可得， 所以. 故选：B. 2.(2026·黑龙江哈尔滨·模拟)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，∴， 解得：．故选：A. 3．（2023·辽宁鞍山·二模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以，则. 因为，则，故， 所以.故选：A 4．（23-24高三下·黑龙江·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，，所以，， 由可得， 所以，， 所以，，故.故选：D. 5．（2023·辽宁鞍山·二模）已知是第四象限角，且满足，则 ． 【答案】 【解析】由是第四象限角，可得，则， 因为，可得， 可得， 又由， 因为，可得， 联立方程组，可得，所以. 【题型4 三角恒等变换给角求值】 规律与方法： 在三角函数给角求值的问题中，为了达到求值的目的,必然要对给出的角进行分析，寻找它们的关系,并作出角的变换，使角度种类减少，或者三角函数可以”相消“或"相约"，或者在变换中产生特殊角从而直接得出三角函数的值.给角求值两种思路：一，化为相同角思路将不同的角化为同一角；二，利用余补角思路利用互余,互补的关系减少角度种类，进而相约. 1．（2024·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用诱导公式以及倍角公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 2．（23-24高三上·广东肇庆·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 .  故选：C. 3.（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 4．（23-24高三·陕西西安·一模）等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】 .故选：C 5．（23-24高三下·湖南湘潭·月考）的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】.故选：C. 【题型5 三角恒等变换给值求值】 规律与方法 1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用; ②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如： 等. 1．（2026·河南濮阳·二模）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角差余弦公式计算求解. 【详解】已知， 则， 则 2.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.51 【知识点】二倍角的余弦公式、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由. 3．（23-24高三下·重庆·月考）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知， 因为，所以，所以， 所以， 而，所以， 而.故选：B 4．（23-24高三·重庆·模拟预测）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则, 由， 所以，则，则， 故.故选：D 5．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故故选：B 6．（2024·浙江·模拟预测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，则， 而，故， 由，可得， 则， 故，故选：D 【题型6 三角恒等变换给值求角】 规律与方法 “给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是： （1）求值：求出所求角的某种三角函数值. （2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围. （3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小. 1．（23-24高三下·四川泸州·开学考试）已知，且为锐角，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】因为，且为锐角， 由公式， 得：；； 由两角和差公式得：， 从而， 因为为锐角，所以，且，得.故选：A. 2．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以，解得， 所以， 又，所以，所以.故选：A 3.（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，结合角的范围及诱导公式得到或，即可得. 【详解】由题设， 所以， 因为，，则，又， 所以或，即或（舍）， 故． 故选：D 4．（23-24高三上·福建莆田·月考）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以． 因为，所以， 所以，则．故选：B. 【题型7 对偶式】 规律与方法 1、形式一样，具有对称形式。 2、两边平方，再相加构造和差公式 1.已知，，则 . 【答案】 【分析】两式平方后相加得到，得到答案. 【详解】已知 ①， ②， 则得：， 即， 所以， 整理得， 所以． 故答案为： 2.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________． 答案：－ 因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， 所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1　①， cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0　②， ①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， 所以sin(α＋β)＝－. 3．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，得，， ∴，即， ∴，解得. 又，，，∴，∴， ∴，∴，∴.故选：A. 4.已知，则 . 【答案】 【分析】根据已知等式平方后相加可得，即，根据已知角度范围即可得，从而可得，，再根据诱导公式转化即可得所求. 【详解】等式， 两边同时平方得，， 两式相加，得，，整理得，即， 因为，所以，得， 代入，得， 即，则， 则. 故答案为：. 【题型8 正切和差公式的逆用】 规律与方法 1.变形公式：； 2 1.在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　) A．－ B． C． D．－ 【解析】　(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1， 即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.(1)B 2.已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和角的正切公式可得，结合角的范围即得答案. 【详解】由已知可得：， 所以， 又，则，故. 故选：C. 3． ． 【答案】 【解析】由正切的和角公式得若，则，再根据此结论求解即可得答案. 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴ ． ∴ 故答案为： 4．（ 2025·吉林长春·模拟预测）已知为锐角，若存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由知，故， 于是，由，知. 存在使等价于关于的方程在有解， 由，当且仅当时取等号，所以的取值范围是. 故答案为： 5.（2025高三·全国·专题练习）在 中， ，则 ______． 【答案】2 【分析】由两角和的正切公式变形得恒等公式：，将题中已知条件代入恒等公式并化简即可得，求得值，结合在 中，角的正切的范围即可从而得出结论. 【详解】解：由两角和的正切公式变形得： ， ∴ 将 代入恒等公式并化简：   解得 ，或 因为在中，故角的正切不为0，舍去； 有正切的负值最多有一个，否则角度和超过π，舍去．故 故答案为：2 【题型9 和差化积，积化和差】 规律与方法 和差化积公式： ， ， ， 积化和差公式：， ， ， . 1．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D．【答案】D 【分析】先利用两角和的正弦公式求出，再根据结合两角和差的余弦公式化简即可得解. 【详解】， ， 所以. 故选：D. 2.（2024·广东·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用余弦的二倍角及积化和差公式，得到，从而得到，即可求出结果. 【详解】因为， 得到，又，所以， 所以， 故选：B. 3．（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为，所以， 即 ， ， 所以，， 因为、的终边不重合，则，则， 所以，则，所以， 因此，. 故选：D. 4.（2025·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件求出，然后可得答案. 【详解】因为，所以， 由和差化积公式可得， 因为，所以， 由， 可得，所以. 故选：C 5.（2022·浙江·模拟预测）已知，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由变形，利用积化和差得到，进而得到，然后展开，利用商数关系求解. 【详解】因为， 由积化和差公式可知， 则， 所以，即， 即，即， 解得， 所以的最大值为， 故选：C. 【题型10 三角函数综合化简】 规律与方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等． 1.化简：＝________． 解析：＝＝＝4sin α. 答案：4sin α 2．（22-23高三上·河北张家口·期中）等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由 故选：A 3．（22-23高三上·江苏南京·期末）若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以， 又， 所以即， 所以， 所以即， 又，所以， 所以，所以， 所以即， 又易知，所以，即，故选：A 4．（2024高三·江苏·专题练习）求值: . 【答案】 【解析】不妨设所求的值为,则, 由正弦的二倍角公式逆用有, 由诱导公式、二倍角公式及其逆用得 , 由两角和差的正弦公式得 . 5.（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若，则________. 【答案】 【分析】将已知条件化为，再由诱导公式、二倍角余弦公式求值即可. 【详解】由，即， 所以，则， 所以，而 . 故答案为： 课后作业： 1．(2026·黑龙江大庆·模拟)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，所以.故选：B 2．（2026·山东滨州·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、判断命题的必要不充分条件 【详解】若，则，又，所以或，则， 所以当时，“”推不出“”； 若，，则，可得，则， 所以当时，“”可以推出. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3．（2024·四川·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为．故选:D． 4．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】利用正弦的差角公式展开后两边平方即可得出答案. 【详解】由题意，即，两边平方得，所以. 故选：D 5.（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由两角和的正切公式进行求解． 【详解】， ， 即， ， 同理可得． ． 故选：B． 6．（2026·宁夏银川·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式、两角和差的正弦公式、辅助角公式、二倍角公式化简求值即可. 【详解】因为 ， 所以. 则 . 7．（2026·云南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】给值求值型问题、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】将已知等式两侧平方相加，应用差角正弦公式化简得，从而有，代入整理得，并将化为求，即可得. 【详解】由题设，则， 所以，可得， 由，则，故， 代入，则， 所以，则， 所以， 所以. 8.（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【分析】根据两角和差的余弦可得，再由同角三角函数的基本关系式得，故可求，从而求得. 【详解】因为 ， 又因为，且，, 所以，故， 又由于，所以， 由于， 故选：A． 9.（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故，故D正确. 故选：ACD. 10.（多选 25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】二倍角的正弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角的正弦公式，可求，判断A的真假；根据所给的角的取值范围，判断角的三角函数的符号，再结合同角三角函数的基本关系，可判断B的真假；利用同角三角函数的基本关系，可求，判断C的真假；结合两角差的余弦公式，可求的值，判断D的真假. 【详解】由，得：，即，所以，所以A正确； 又，，所以，则，所以，所以B错误； 联立，解得：，，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：AC 11.（多选 24-25高三上·四川眉山·月考）计算下列各式的值，其结果为2的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】给角求值型问题 【分析】利用和角公式可求值验证A项；运用辅助角公式和诱导公式可得B项；运用两角和的正切公式可以验证C项；利用倍角公式和诱导公式可以判定D项. 【详解】对于选项A： ，故A正确； 对于选项B： ，故B错误； 对于选项C： ，故C正确； 对于选项D： ，故D错误. 故选：AC. 12.（多选）已知，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由已知，得，， 两式分别平方相加，得，， 整理得，∴，∴A正确； 同理由，，两式分别平方相加，易得，∴B正确； 由，，两式分别平方相加，易得． ∵，∴，∴， ∴，∴C正确，D错误. 13.（2025·广东梅州·模拟预测）已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 【答案】4 【分析】利用扇形的面积公式建立方程，求解圆心角即可. 【详解】设扇形的圆心角为，且半径为的扇形面积为6， 由扇形的面积公式得，解得，则扇形的圆心角为. 故答案为：4 14.（25-26高三上·天津·期中）在平面直角坐标系中，已知向量，且，则的值为______. 【答案】1 【分析】利用平面向量平行的充要条件、同角三角函数的商数关系、诱导公式化简计算即可. 【详解】由题意可知，即， 所以 . 故答案为： 15.（24-25高三上·江苏扬州·月考）已知的角，，满足，其中符号表示不大于的最大整数，若，则______． 【答案】5 【分析】先证明，记，，，结合条件得，，必为整数，分为钝角三角形与锐角三角形讨论求得，，的值即可. 【详解】由， 得. 记，，， 由已知得，因为，所以，，必为整数． 如果为钝角三角形，则，即， 则、均为锐角，从而、为正整数， 因为正切函数在单调递增，且，所以， 于是，这时有，矛盾． 于是只能是锐角三角形， 因为正切函数在单调递增，且，所以， 又， 若，则，从而不能成立； 若，则，，由，得； 若，则，，由，得，与矛盾. 所以，，，即，，， 所以. 故答案为：5. 16.（2026·河北沧州·二模）已知，，若，，则______. 【答案】 【分析】借助同角三角函数基本关系计算可得，再结合角的范围，利用两角和的正切公式计算即可得. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，又，所以， 又因为，所以，所以， 又， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $