专题5.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换核心考点，按“基础关系—诱导化简—恒等变换—综合应用”逻辑架构知识点，通过命题规律分析、方法技巧总结、分层题型训练（7类题型含例及变式）、高考真题演练四环节，帮助学生系统构建知识网络，突破化简求值难点。 资料以“数学思维”培养为核心，创新设计角的变换专项训练（如拆角凑角技巧）和辅助角公式应用模型，通过“知识点—题型—真题”三阶递进练习，强化符号判断、公式逆用等关键能力，助力学生在有限时间内提升解题效率，为教师精准把控复习节奏提供清晰教学路径。

专题5.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换 三角函数是高考的重点、热点内容，同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容之一。从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、三角函数的化简求值等内容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三角函数、解三角形的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、合并化简等内容，此时试题难度中等，需要灵活求解。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 同角三角函数基本关系式及诱导公式 全国乙卷（文数）：第4题，5分 全国乙卷（文数）：第14题，4分 全国甲卷（理数）：第7题，5分 新课标I卷：第4题，5分 新课标Ⅱ卷：第13题，5分 全国甲卷（文数）：第9题，5分 全国甲卷（理数）：第8题，5分 全国二卷：第8题，5分 三角恒等变换 新课标I卷：第8题，5分 新课标Ⅱ卷：第7题，5分 全国乙卷（文数）：第4题，5分 新课标I卷：第4题，5分 新课标Ⅱ卷：第13题，5分 全国甲卷（文数）：第9题，5分 全国甲卷（理数）：第8题，5分 全国一卷：第11题，6分 全国二卷：第8题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，本节内容的考情将继续维持稳定态势。同角三角函数基本关系式、三角恒等变换依旧是考查核心，大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察，分值稳定在5分左右。核心考点聚焦同角三角函数关系式与三角恒等变换的结合考查，难度不大；也可能结合解三角形模块在选择题、解答题中考查，涉及到同角三角函数基本关系式、三角恒等变换的化简，此时难度中等，要学会灵活求解。 知识点1 同角三角函数基本关系式的应用技巧 1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧 (1)利用可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化. (2)形如等类型可进行弦化切. 2．注意公式的逆用及变形应用： . 3．应用公式时注意方程思想的应用： 对于这三个式子，利用，可以知一求二. 知识点2 诱导公式的应用的解题策略 1．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2．含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如. 知识点3 同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略 1．化简、求值 利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响. 2．用诱导公式求值 用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等. 知识点4 三角恒等变换的应用技巧 1．两角和与差的三角函数公式的应用技巧 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 3．辅助角公式的运用技巧 对asinx+bcosx化简时，辅助角的值如何求要清楚. 4．角的变换问题的解题策略： (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (3)常见的角变换：，，， ，等. 知识点5 三角恒等变换几类问题的解题策略 1．给角求值型问题的解题思路 给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解. 2．给值求值型问题的解题思路 给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可. 3．给值求角型问题的解题思路 给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角. 4．三角恒等变换的综合应用的解题策略 三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题. 【方法技巧与总结】 1．同角三角函数关系式的常用变形： 2．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化. 3．降幂公式：，. 4．，，. 【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】 【例1】（2025·甘肃武威·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·河南信阳·模拟预测）若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 诱导公式的应用——化简、求值】 【例2】（2025·广东·模拟预测）设，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·甘肃·模拟预测）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 同角三角函数关系式与诱导公式的综合应用】 【例3】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·浙江温州·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·广东茂名·模拟预测）已知，且，求的值为（   ） A． B． C．0 D． 【题型4 三角恒等变换的化简问题】 【例4】（2025·广东佛山·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．7 【变式4-1】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·广东深圳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 【题型5 同角三角函数关系式与三角恒等变换的综合应用】 【例5】（2025·四川资阳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．7 【变式5-1】（2025·海南·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高三上·山东临沂·期中）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·湖南永州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 与解三角形有关的化简问题】 【例6】（2025·河南·模拟预测）在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式6-1】（2025·云南·模拟预测）在中，角所对的边分别为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（2025·四川成都·一模）已知在中，，. (1)求，； (2)若，求的面积. 【变式6-3】（2025·河北沧州·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且. (1)证明：； (2)若，求的面积. 【题型7 三角恒等变换的综合应用】 【例7】（2025·河北·模拟预测）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·福建·模拟预测）已知函数，则下列选项不正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点中心对称 C．函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于轴对称 D．函数在上不单调，则的取值范围为 【变式7-2】（2025·四川泸州·一模）已知函数的图象经过点. (1)求； (2)求函数的单调递减区间. 【变式7-3】（2025·安徽·二模）已知函数. (1)求函数的对称轴方程； (2)若，，求的值． 考点一 同角三角函数基本关系式及诱导公式 一、单选题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 二、填空题 3．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 4．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则 ． 三、解答题 5．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 考点二 三角恒等变换 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2025·上海·高考真题）已知，则 ． 8．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 四、解答题 10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 11．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换 三角函数是高考的重点、热点内容，同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容之一。从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、三角函数的化简求值等内容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三角函数、解三角形的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、合并化简等内容，此时试题难度中等，需要灵活求解。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 同角三角函数基本关系式及诱导公式 全国乙卷（文数）：第4题，5分 全国乙卷（文数）：第14题，4分 全国甲卷（理数）：第7题，5分 新课标I卷：第4题，5分 新课标Ⅱ卷：第13题，5分 全国甲卷（文数）：第9题，5分 全国甲卷（理数）：第8题，5分 全国二卷：第8题，5分 三角恒等变换 新课标I卷：第8题，5分 新课标Ⅱ卷：第7题，5分 全国乙卷（文数）：第4题，5分 新课标I卷：第4题，5分 新课标Ⅱ卷：第13题，5分 全国甲卷（文数）：第9题，5分 全国甲卷（理数）：第8题，5分 全国一卷：第11题，6分 全国二卷：第8题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，本节内容的考情将继续维持稳定态势。同角三角函数基本关系式、三角恒等变换依旧是考查核心，大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察，分值稳定在5分左右。核心考点聚焦同角三角函数关系式与三角恒等变换的结合考查，难度不大；也可能结合解三角形模块在选择题、解答题中考查，涉及到同角三角函数基本关系式、三角恒等变换的化简，此时难度中等，要学会灵活求解。 知识点1 同角三角函数基本关系式的应用技巧 1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧 (1)利用可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化. (2)形如等类型可进行弦化切. 2．注意公式的逆用及变形应用： . 3．应用公式时注意方程思想的应用： 对于这三个式子，利用，可以知一求二. 知识点2 诱导公式的应用的解题策略 1．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2．含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如. 知识点3 同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略 1．化简、求值 利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响. 2．用诱导公式求值 用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等. 知识点4 三角恒等变换的应用技巧 1．两角和与差的三角函数公式的应用技巧 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 3．辅助角公式的运用技巧 对asinx+bcosx化简时，辅助角的值如何求要清楚. 4．角的变换问题的解题策略： (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (3)常见的角变换：，，， ，等. 知识点5 三角恒等变换几类问题的解题策略 1．给角求值型问题的解题思路 给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解. 2．给值求值型问题的解题思路 给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可. 3．给值求角型问题的解题思路 给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角. 4．三角恒等变换的综合应用的解题策略 三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题. 【方法技巧与总结】 1．同角三角函数关系式的常用变形： 2．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化. 3．降幂公式：，. 4．，，. 【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】 【例1】（2025·甘肃武威·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据同角三角函数的基本关系求出，从而求出，即可得解. 【解答过程】因为，则， 所以，则. 故选：C. 【变式1-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分子分母为一次齐次式，分子分母同除以转化为的表达式，代入求解即可. 【解答过程】因为，分子分母同除， ， 故选：D. 【变式1-2】（2025·河南信阳·模拟预测）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据同角三角函数的关系，已知，，可求，然后代入计算即可. 【解答过程】由题知，，解得， 则， 故选：A. 【变式1-3】（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【解答过程】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 【题型2 诱导公式的应用——化简、求值】 【例2】（2025·广东·模拟预测）设，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用诱导公式化成同名三角函数值，再利用，结合的范围即可得解. 【解答过程】诱导公式有， 故或，其中， 分别解得或． 由于，故只能是取的情形，即． 故选：D． 【变式2-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用诱导公式直接求解即可. 【解答过程】． 故选：D. 【变式2-2】（2025·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由，应用诱导公式及已知即可求解. 【解答过程】由， 所以 . 故选：B. 【变式2-3】（2025·甘肃·模拟预测）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据三角函数诱导公式计算即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：D. 【题型3 同角三角函数关系式与诱导公式的综合应用】 【例3】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用诱导公式可得，根据同角三角关系运算求解即可. 【解答过程】因为，则，即 且，即，可得， 且为第二象限角，则， 可得， . 故选：A. 【变式3-1】（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用诱导公式及、弦化切，把所给式子化简，将代入可得答案. 【解答过程】. 故选：D. 【变式3-2】（2025·浙江温州·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可. 【解答过程】由，可得，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 【变式3-3】（2025·广东茂名·模拟预测）已知，且，求的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解题思路】由，结合的范围求出的值，再利用诱导公式将化简，即可得解. 【解答过程】， ，． ． 故选：A. 【题型4 三角恒等变换的化简问题】 【例4】（2025·广东佛山·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．7 【答案】D 【解题思路】结合角的范围，根据二倍角公式计算出角的正、余弦值及正切值，再利用正切的差角公式计算. 【解答过程】，. 又，， ，，. . 故选：D. 【变式4-1】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据诱导公式和两角和的正弦公式即可得到答案. 【解答过程】 . 故选：D. 【变式4-2】（2025·广东深圳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用差角的正切公式及二倍角的正切公式求解. 【解答过程】由，得，解得， 所以. 故选：B. 【变式4-3】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用两角差的余弦公式展开已知条件中的，通过移项化简得到的值，再利用余弦的二倍角公式即可求解. 【解答过程】由题知， 所以，即， 所以. 故选：B. 【题型5 同角三角函数关系式与三角恒等变换的综合应用】 【例5】（2025·四川资阳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．7 【答案】B 【解题思路】先根据同角三角函数的基本关系求得，再根据两角和的正切公式求解即可. 【解答过程】由，，则， 所以， 则. 故选：B. 【变式5-1】（2025·海南·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据二倍角公式求得答案. 【解答过程】因为， 所以， 故， 故选：D. 【变式5-2】（25-26高三上·山东临沂·期中）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用两角差的正弦公式和切化弦可求得，，进而利用两角和的正弦公式可求得值. 【解答过程】因为， 所以， 又， 所以， 所以，， 所以， 故选：C. 【变式5-3】（2025·湖南永州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由条件利用同角关系化简可得，由条件，结合两角和正弦公式可得，再根据两角差的正弦公式求出结果即可. 【解答过程】由题意得，即，即， 得，又因为， 所以， 因此. 故选：B. 【题型6 与解三角形有关的化简问题】 【例6】（2025·河南·模拟预测）在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解题思路】分析可知、都为锐角，再利用两角和的正切公式推导出，由此可得出结论. 【解答过程】在中，内角、满足， 由于中至少有两个锐角，则、中至少有一个锐角， 不妨设为锐角，则，从而，故为锐角， ， 故角为锐角，从而可知为锐角三角形， 故选：A. 【变式6-1】（2025·云南·模拟预测）在中，角所对的边分别为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】根据正弦定理边化角，结合二倍角公式、诱导公式，可得角A和角B的关系，结合充分、必要条件的定义，即可得答案. 【解答过程】在三角形中，由，根据正弦定理得， 所以， 因为，，所以或， 即或； 由，因为，所以， 则，所以， 由，可得或， 解得或， 故“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 【变式6-2】（2025·四川成都·一模）已知在中，，. (1)求，； (2)若，求的面积. 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）应用辅助角公式有得，再由三角形内角和的性质、诱导公式、二倍角公式得，即可得； （2）由（1）知，再由正弦定理求边长，最后应用三角形面积公式求的面积. 【解答过程】（1）由，得，即， 因为，所以，所以，所以， 由，且，得， 则，即， 因为，则，所以； （2）由（1）可得，记的内角，，的对边分别为，，， 由， 因为，由正弦定理，得， 所以. 【变式6-3】（2025·河北沧州·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且. (1)证明：； (2)若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理和两角差的余弦公式即可得证； （2）利用诱导公式得，进而得，又，即得，进而得，又由结合正弦定理得，最后利用三角形的面积公式即可求解. 【解答过程】（1）证明：因为， 由正弦定理有：，即， 所以，所以，又， 所以， 所以. （2）因为，所以， 所以，即，又， 所以， 由（1）知， 所以，所以，即， 又， 所以，， 所以， 由正弦定理得， 所以的面积为. 【题型7 三角恒等变换的综合应用】 【例7】（2025·河北·模拟预测）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用倍角公式以及辅助角公式化简，再求出，结合正弦函数图象即可得出. 【解答过程】， 又，，所以， 又，的图象如下图所示： 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 即使得在区间恰有三个极值点、两个零点， 则，解得. 则正实数的取值范围是. 故选：C. 【变式7-1】（2025·福建·模拟预测）已知函数，则下列选项不正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点中心对称 C．函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于轴对称 D．函数在上不单调，则的取值范围为 【答案】D 【解题思路】由三角恒等变换化简函数.求出函数的周期判断A选项；求出函数对称中心判断B选项；由函数的平移得到平移后的函数解析式，从而知道函数的对称性判断C选项；求出其导函在对应区间上的值域，由题意建立不等式组，解得的取值范围判断D选项. 【解答过程】函数， 对于A选项：∵，∴，A选项正确； 对于B选项：令，解得，∴是函数的一个对称中心，B选项正确； 对于C选项：平移后的函数，函数图象关于轴对称，C选项正确； 对于D选项：，当时，， ∴，要想函数不单调，则，∴，D选项不正确. 故选：D. 【变式7-2】（2025·四川泸州·一模）已知函数的图象经过点. (1)求； (2)求函数的单调递减区间. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意代入点运算求解即可； （2）利用三角恒等变换可得，以为整体，结合正弦函数单调性运算求解. 【解答过程】（1）因为函数的图象经过点， 则，解得. （2）由（1）可知：， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 【变式7-3】（2025·安徽·二模）已知函数. (1)求函数的对称轴方程； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据降幂公式及辅助角公式化简，再整体代入法求对称轴方程即可； （2）由，得到，结合角的范围求得，再利用正弦倍角公式求解即可． 【解答过程】（1）， 令， 解得， 故函数的对称轴为直线. （2）因为，即， 且，则， 可得，则， 则 ， 所以． 考点一 同角三角函数基本关系式及诱导公式 一、单选题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【解答过程】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 2．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解题思路】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【解答过程】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B. 二、填空题 3．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 【答案】 【解题思路】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【解答过程】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 4．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则 ． 【答案】 【解题思路】先利用余弦定理求得，再利用同角三角函数关系式求得. 【解答过程】， A为的内角， . 故答案为:. 三、解答题 5．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得； (2)由题意可得，则，据此即可求得的面积. 【解答过程】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 考点二 三角恒等变换 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【解答过程】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【解答过程】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 3．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【解答过程】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【解答过程】因为，而为锐角， 解得： ． 故选：D． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【解答过程】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B. 二、多选题 6．（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项. 【解答过程】，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确； 由诱导公式，， 展开可得， 即， 下证. 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 方法二：边角转化 时，由，则， 于是， 由正弦定理，， 由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 方法三：结合射影定理（方法一改进） 由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是， 则，可同方法一种讨论的角度，推出， 方法四：和差化积（方法一改进） 续法三： ，可知同时为或者异号，即，展开可得， ， 即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知. 由，由，则，即， 则，同理，由上述推导，，则， 不妨设，则，即， 由两角和差的正弦公式可知，C选项正确 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误. 故选：ABC. 三、填空题 7．（2025·上海·高考真题）已知，则 ． 【答案】 【解题思路】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可. 【解答过程】由可得， 所以， 故答案为：. 8．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【解题思路】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【解答过程】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2. 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【解题思路】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【解答过程】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 四、解答题 10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【解答过程】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为， 由已知的面积为，可得， 所以. 11．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【解答过程】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $