第05讲 二倍角公式讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习三角函数（新高考通用）

该高中数学讲义聚焦二倍角公式这一三角恒等变换核心考点，系统梳理正弦、余弦、正切二倍角公式的正用、逆用及变形（降幂、升幂），结合高考分析明确选择填空及解答题考查要求。通过知识要点整合、12类题型分层归纳（含给值求值、综合应用等），配合高考真题示例与变式训练，构建“考点梳理-方法指导-真题演练”复习链，帮助学生突破角的范围限定、符号判断等难点。 讲义创新采用“定角→选公式→判符号→算结果”四步解题法，融入数学思维（逻辑推理）与数学语言（符号表达）培养，如在给值求值题中引导学生先通过角的范围缩小确定三角函数符号，再灵活选用余弦二倍角公式变形。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合易错点规避指导，确保学生高效掌握公式应用技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供精准教学支持。

第05讲 二倍角公式 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 进行处理 4 题型归纳 5 题型01：正弦二倍角公式的运用 4 题型02：正弦二倍角公式的逆用 8 题型03：余弦二倍角公式的应用 11 题型04：余弦二倍角公式的逆用 19 题型05：正切二倍角公式 20 题型06：正切二倍角逆用 22 题型07：公式得变用 26 题型08：化简求值 29 题型09：给值求值 35 题型10：二倍角公式的综合应用 36 题型11：证明 55 题型12：实际应用 56 巩固提升 61 一、定位与分值 二倍角公式是三角恒等变换的核心工具，每年必考，单独命题多为选择、填空（5分），在解三角形、三角函数图像与性质、向量等解答题中作为关键步骤，整体相关分值约5-10分，难度以中等偏易为主，偶与实际测量情境结合。 二、考查形式与热点 1. 题型分布 ◦ 选择/填空：多在第4-8题，考查公式正用、逆用、变形（如降幂、升幂），常见给值求值、角的范围限定下的符号判断，如2024新高考I卷第4题、2023新高考II卷第7题。 ◦ 解答题：常嵌入解三角形（如2022新课标I卷18题）、三角函数化简求解析式或性质，作为求角、求最值的中间环节。 2. 核心热点 ◦ 公式灵活应用：正弦、余弦（三种形式）、正切公式的直接与逆用，重点是余弦公式的降幂与升幂变形。 ◦ 角的代换与范围控制：给值求角时通过范围缩小答案。 ◦ 综合融合：与同角关系、辅助角公式、向量数量积结合，偶与三角测量、物理简谐运动等情境结合。 三、命题趋势与备考重点 1. 趋势：保持稳定，侧重“公式变形+角的构造+范围严谨性”，强调运算准确与逻辑严密，不考偏难公式（如积化和差）。 2. 备考重点 ◦ 熟记公式结构，明确余弦三种形式的适用场景，掌握正切公式的定义域限制◦ 强化降幂/升幂与逆用训练，养成“看角→定公式→判符号→算结果”的解题习惯。 ◦ 重视易错点：忽略角的范围导致符号错误，给值求角时未通过范围缩小答案，正切公式漏考虑定义域。 1. 基础目标 熟记正弦、余弦（三种形式）、正切的二倍角公式，明确各公式的结构特征与定义域限制，能区分余弦二倍角公式不同形式的适用场景。 2. 能力目标 掌握公式的正用、逆用及变形技巧（如降幂公式、升幂公式），能通过角的代换将单角与倍角进行灵活转化；结合同角三角函数关系，准确完成给值求值、给值求角类问题的计算，规避符号判断错误。 3. 综合目标 能将二倍角公式与两角和差公式、辅助角公式、解三角形定理等知识点融合，解决三角函数化简、求最值、解三角形等综合性题目；培养解题的严谨性，强化“先定角的范围，再判断三角函数符号”的解题意识。 知识点一：二倍角公式 （一）二倍角的正弦 S2α：sin2α＝2sinαcosα （二）二倍角的余弦 C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； （三）二倍角的正切 T2α：tan2α＝； 公式应用的条件：α≠且α≠kπ＋ (k∈Z)，当α＝kπ＋ (k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式 （四）二倍角公式的逆用、变形 1.逆用形式： 2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝sin2α；cosα＝；cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α； ＝tan2α． 2.变形用形式： 1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2； 1＋cos2α＝2cos2α； 1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝； sin2α＝． 知识二.升幂与降幂公式 1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. 2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α. 注意：倍角公式中的"倍角"是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，"倍"是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的. 一、通用解题步骤 1. 定角：观察已知角与目标角的倍数关系，将角进行转化 2. 选公式：根据已知三角函数类型和目标需求选公式，如遇平方优先用余弦降幂变形，遇正切直接用正切二倍角公式。 3. 判符号：根据角的范围确定三角函数值的符号，避免因符号失误出错。 4. 算结果：代入公式化简计算，涉及综合题时结合两角和差、辅助角公式进一步求解。 二、典型题型与技巧 1. 给值求值型 技巧：先由已知条件求单角三角函数值（注意角的范围），再代入二倍角公式； 2. 化简求值型 技巧：优先用降幂公式消去平方项，再结合诱导公式、两角和差公式化简，最终转化为单角三角函数式。 3. 综合应用（解三角形/函数性质） 技巧：在解三角形中，用二倍角公式转化角的关系，结合正弦定理、余弦定理求边或角； 三、易错点规避 1. 忽略正切二倍角公式的定义域限制，导致增根。 2. 用余弦二倍角公式时，未根据角的范围判断三角函数值的符号。 3. 降幂变形时混淆公式 题型01：正弦二倍角公式的运用 【典型例题1】在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则=（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直接利用任意角的三角函数定义,结合正弦二倍角公式求解即可. 由任意角三角函数定义得：,, 故选：A. 【典型例题2】已知满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用同角的平方和关系和二倍角公式即可. ，， 即， 故选:C． 【典型例题3】在平面直角坐标系中，若曲线与在区间上交点的横坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在区间上，联立，即可解出． 在上，由可得，而，所以，，即或，而，所以．故选：D． 【变式训练1-1】．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正切值求得正弦、余弦值，从而求得二倍角的正弦值. 由知，，或，， 则， 故选：B 【变式训练1-2】求的值. 【答案】 【解析】由正弦的二倍角公式及诱导公式化简即可得到结果. 【变式训练1-3】．若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由二倍角正弦公式和同角关系将转化为含的表达式，由此可得其值. ． 故选：A. 【变式训练1-4】．已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． ，． ，又，，又，，故选B． 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉． 【变式训练1-5】．若，则（       ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】将等式两边平方，再用正弦二倍角公式即可. 因为，所以，即，， 故选：D 【点睛】本题考查了同角三角函数中的平方关系和正弦二倍角公式，属于简单题，解题中需要注意正弦、余弦的和与积之间的互化方法. 【变式训练1-6】．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P（2，﹣1）在角α的终边上，则sin2α＝_____． 【答案】 【解析】由已知结合三角形函数的定义可求，然后结合二倍角的正弦公式即可求解． 解：由题意可得，，， 所以sin2α＝2sinαcosα． 故答案为：【点睛】本题考查三角函数中的倍角公式，属于简单题 【变式训练1-7】在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则 ． 【答案】 【解析】法一：利用三角函数的定义求出、的值，再利用二倍角的正弦公式计算可得结果； 法二：利用三角函数的定义求出的值，利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得所求代数式的值. 法一：由三角函数的定义可知，， 所以； 法二：因为角的终边经过点，所以， 所以． 故答案为：. 题型02：正弦二倍角公式的逆用 【典型例题1】求下列式子的值：（1）sin cos ；（2）sin 22.5°cos 202.5°；（3）sin 15°sin 75°； （4）； 【答案】 【解析】(1)原式＝×2sin cos ＝sin ＝. （2）　sin 22.5°cos 202.5°＝sin 22.5°·(－cos 22.5°)＝－sin 45°＝－. （3）原式＝sin 15°cos 15°＝(2sin 15°cos 15°)＝sin 30°＝. （4） ， 故答案为： 【典型例题2】设，则“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】利用正弦二倍角公式得到，求出或，从而得到故“”是“，”的必要不充分条件. ，故，故或，解得：或， 故“”是“，”的必要不充分条件. 故选：B 【变式训练2-1】2．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于(　　) A. B. C. D．1＋ 【答案】C 【解析】　原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝. 【变式训练2-2】要得到函数图象，只需把函数的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】A 【解析】利用二倍角的正弦公式化简目标函数解析式，利用三角函数图象变换可得出结论. 因为， 为了得到函数图象，只需把函数的图象向右平移个单位， 故选：A. 【变式训练2-3】=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系，以及降幂公式即可求得答案. 原式=. 故选：D. 【变式训练2-4】求下列式子的值： （1）cos 20°cos 40°cos 80°；（2）； （3）；（4）的值. 【答案】见解析 【解析】（1）原式＝＝＝＝＝＝. （2）∵cos＝－cos，cos＝－cos， ∴coscoscos＝coscoscos＝＝＝＝ ＝－. （3） . 故答案为：. （4） 【变式训练2-5】设，则（    ） A．- B．- C．- D． 【答案】D 【解析】根据二倍角公式可将化简成，代入计算即可求得结果. 由可得 ； 所以. 故选：D 【变式训练2-6】彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案､彝族漆器图案､彝族银器图案等．其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象后得到图2，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】根据图示可得，利用二倍角公式和诱导公式即可计算的出结果. 根据图2可知，动点将圆周九等分，所以， 所以； 则 将代入可得， 即. 故答案为： 题型03：余弦二倍角公式的应用 【典型例题1】．若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据二倍角余弦公式，代入数据即可得答案. 由二倍角公式得， 故选：A 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，属基础题. 【典型例题2】．已知，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用同角公式化正弦为余弦，求出的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得. 依题意，原等式化为：，整理得：， 因，则，解得：， 所以. 故选：B 【典型例题3】．式子的值等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据余弦的倍角公式，结合诱导公式，即可化简. ， 故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式，余弦的倍角公式，属于容易题. 【典型例题4】．（多选）计算下列各式的值，其结果为1的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由商数关系、诱导公式、和差角公式及倍角公式依次化简求值即可求解. 对于A， ，A正确； 对于B，，B错误； 对于C， ，C正确； 对于D， ，D正确.故选：ACD. 【变式训练3-1】．若，，则（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知等式平方后应用二倍角公式得，同时判断出，可再利用平方关系求得，从而可得，代入即得结论． ∵，① ∴，即， ∴． ∵，且，∴，， ∴． 变形得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查二倍角公式、同角间的三角函数关系，解题中应用平方关系时要注意确定函数值的符号，确定解的情况． 【变式训练3-2】．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据角终边上点的坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值． 因为终边上点，所以， 所以 故选：B． 【变式训练3-3】．若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用二倍角的余弦公式结合弦化切可求得的值，再利用诱导公式可求得所求代数式的值. 由题可得，解得. ，，因此，. 故选：B. 【变式训练3-4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据三角恒等变换公式求解. 所以， 所以 故选:B. 【变式训练3-5】已知，，则cos2α＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据余弦二倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 因为， 所以， 故选：B 【变式训练3-6】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据二倍角的余弦公式以及充分条件、必要条件的概念即可得结果. 若，则． 若，则或． 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 【变式训练3-7】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到，结合得到，求出. 因为， 所以， 整理得：， ， ， 因为， 所以， 所以， 解得： 故选：D. 【变式训练3-8】已知函数，若方程在上恰有四个不同的解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，将问题转化为与有两个交点，注意正弦函数值对应自变量的个数确定a的范围. 由题设在上恰有四个不同的解， 令，则与有两个交点，而， 注意：时，则对应在上有一个解； 或时在只有一个对应值，则对应在上有两个解； 时或，对应在上有三个解； 时在只有两个对应值，此时对应在上有四个解； 综上，.故选：C 【变式训练3-9】（多选）由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n(n∈N*)多项式使得Pn(t)＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋antn(a0，a1，a2，…，an∈R)，使得cosnx，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P．L．Tschebyscheff)多项式．则（    ） A．P3(t)＝4t3－3t B．当n≥3时， C． D． 【答案】AD 【解析】根据题目定义以及二倍角公式即可判断A正确，令，可得，可判断出B错误，令可得，结合可判断出C错误，根据二倍角公式可知，D正确． 因为， 所以，即，故选项A正确； 令，则，则，则，即选项B错误； 令，则，可得，由B知，所以选项C错误； 因为，所以， 由A可得， 而，故即， 所以（负根舍去）即选项D正确． 故选：AD． 【变式训练3-10】已知，则______． 【答案】## 【解析】根据二倍角公式展开，然后化为齐次式，分子分母同时除以即可得出关于的式子，代入已知条件即可得出答案. 因为 ，又， 所以，. 故答案为：. 【变式训练3-11】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边落在第三象限内，且，则__. 【答案】## 【解析】根据三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式求解. 由，得，即. 所以. 故答案为: . 【变式训练3-12】．已知，，则的值为 . 【答案】 【解析】根据二倍角的余弦公式，结合角的范围，即可求得结果． 因为，所以，即， 又，所以. 故答案为：. 【变式训练3-13】已知向量，，函数 (1)当m=0时，求的值 (2)若f(x)的最小值为-1，求实数m的值， 【答案】(1) (2) 【解析】先把函数解析式化简得到. （1）直接带入求解；（2）对m分类讨论，分别求出对应的最小值，即可求出m. (1) 因为，，所以，， 所以 因为，所以，所以. 所以. 当m=0时，. (2) 令，则，则 当时，，无解； 当时，，解得：； 当时，不能取得，无解；综上所述：. 【变式训练3-14】由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式． (1)试用表示 (2)求的值 (3)已知方程在上有三个根，记为，，，求证：． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）利用两角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式展开整理即可证明； （2）利用第（1）问的结论对进行代换得到关于的方程，解出即可，最后注意检验. （3）利用（1）中结论得到，再得到三根代入式子化简即可. （1） 解：（1）因为， （2）所以， 因为， 因为， ， 即 因为，解得（已舍）. （3）因,故可令， 故由可得: 由（1）得:，因，故， 故,或,或 即方程的三个根分别为， 又，故， 于是， 【点睛】本题需要对两角和差的余弦即二倍角的余弦公式运用熟练，推导出三倍角的余弦公式，再利用此公式进行应用证明后面的结论，计算和迁移应用要求高.一定要抓住第（1）问所证明的结论去证明. 题型04：余弦二倍角公式的逆用 【典型例题1】求下列各式的值：(1)2cos2－1；(2)cos2－sin2；(3)sin4－cos4; (4); 【答案】见解析 【解析】(1)原式＝cos ＝cos＝cos ＝. (2)原式＝cos ＝. (3)原式＝·＝－＝－cos ＝－. (4)原式＝cos2－sin2＝cos ＝. 【典型例题2】函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 【答案】A 【解析】利用降幂公式化简函数解析式，再根据余弦函数的图像与性质即可逐项分析求解. ， 故f(x)的最小正周期为π，为偶函数. 故选：A. 【变式训练4-1】已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 【变式训练4-2】（多选）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．图象关于直线轴对称 C．在上单调递减 D．图象关于点中心对称 【答案】BD 【解析】首先根据二倍角公式得，再利用整体代入的方法，判断函数的性质. ，所以函数的最小正周期，故A错误； B.，故B正确； C.当时，，在，函数单调递减，在，函数单调递增，故C错误； D.，故D正确. 故选：BD 【变式训练4-3】．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据二倍角公式、降次公式求得正确答案. 依题意， 所以. 故选：B 【变式训练4-4】．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用降幂公式，化简求值. ，解得：. 故选：B 题型05：正切二倍角公式 【典型例题1】．已知是第二象限角，且，则的值为______． 【答案】 【解析】根据同角三角函数的基本关系求出，再由二倍角的正切公式求解. ，是第二象限角， ， ， 故答案为： 【典型例题2】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据向量数量积的坐标表示，结合题意整理可得，再代入二倍角的正切公式运算求解． 由题意可得：，整理得，即 ∴ 故选：C． 【变式训练5-1】已知，，则______． 【答案】 【解析】根据诱导公式以及同角关系可得，由正切的二倍角公式即可代入求解. 由得，由可得，故 ， 由二倍角公式得， 故答案为： 【变式训练5-2】．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先利用倍角变形求得，再利用二倍角的正切公式求即可. 即， ，， ，即 . 故选：C 【变式训练5-3】已知，则________． 【答案】 【解析】由两角差的正弦公式展开，由商数关系求得，然后由二倍角的正切公式计算． ， ，． 故答案为：． 【变式训练5-4】如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，设四边形的对角线交于点O，若，则___________________． 【答案】## 【解析】设，利用正切的二倍角公式可得，再由商数关系得到及可得答案. 都为直角三角形， ，∴，， ，解得， ∴， ∴． 故答案为：. 题型06：正切二倍角逆用 【典型例题1】求下列式子的值：(1)；(2)；（3）；(4); 【答案】见解析 【解析】（1）原式＝＝2×＝2×＝2. (2)原式＝tan 30°＝. （3）. (4) ； 故答案为： . 【典型例题2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知利用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简已知等式可得，结合，利用二倍角公式可求出. ， ， 得， 得， 可得， ，，， 又， 得， 解得. 故选：A 【变式训练6-1】已知，求的值（用表示），王老师得到的结果是，叶老师得到的结果是，对此你的判断是（    ） A．王老师对、叶老师错 B．两人都对 C．叶老师对、王老师错 D．两人都错 【答案】B 【解析】利用，展开可验证王老师正确.由求得，再由二倍角公式求得，由可验证叶老师正确. ，所以王老师正确. ， ，所以叶老师正确. 故选：B 【变式训练6-2】设则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可. 解：， ， ， 因为在上单调递增， 所以， 所以. 故选：C 【变式训练6-3】【多选题】下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A选项，由正切的和角公式化简得到答案；B选项，由余弦二倍角公式求出答案；C选项，由正切二倍角公式进行求解；D选项，通分后，利用辅助角公式，倍角公式和诱导公式求出答案. A选项，，即， 化简得：，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 【变式训练6-4】计算： (1)求值； (2)已知，，求的值 【答案】(1)(2) 【解析】（1）利用两角和的余弦、正弦、诱导公式化简计算可得出所求代数式的值； （2）利用诱导公式、二倍角的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得的值，再利用诱导公式可求得的值. （1）解：原式 . （2）解：原式， 即， 因为，则，所以，，则， 因此，. 【规律方法】 当出现（或可化成）公式右端结构形式时，注意“逆用”公式，简化解题过程. 题型07：公式得变用 【典型例题1】（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】利用两角和与差的余弦公式将转化为，进行展开，对于分子则是结合二倍角正弦公式及完全平方式进行化简，最后再约分即可. 故选：D. 【典型例题2】求证： ． 【答案】证明见解析. 【解析】由二倍角公式，可得左边，通分后即可证明左边等于右边. 证明：因. 则， . 故左边 右边. 【变式训练7-1】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)(2) 【解析】第（1）问中，利用二倍角公式即可求出，从而求得. 第（2）问中，利用降幂公式及和差化积的正弦公式，即可求解. （1）因为，，且， 得，，，，， 从而． （2）． 【规律方法】 公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2,1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝，sin2α＝． 【变式训练7-2】．若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由商数关系及二倍角正余弦公式得，结合已知列方程求得，再根据平方关系求. 因为，且， 所以，得， 所以.故选：A 【变式训练7-3】．已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用两角差的正弦、余弦公式化简，再利用诱导公式、二倍角公式求解即可. 故选：D. 【变式训练7-4】．若，则 A． B． C． D．-1 【答案】C 【解析】利用诱导公式化简得到，再结合二倍角的余弦公式即可求解. ，即 所以 故选C 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题. 【变式训练7-5】．已知过点的直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于A，B两点，当最小时，直线l的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】．B 【解析】由题意结合三角函数的知识可得，，结合正弦的二倍角公式可得，求出后即可得直线的斜率，再由点斜式即可得解. 设，如图： 则，， 所以， 所以当即时，最小， 此时，直线的倾斜角为，斜率， 所以直线l的方程为即. 故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数、三角恒等变换的应用，考查了直线方程的求解，关键是合理转化条件，属于中档题. 题型08：化简求值 【典型例题1】．若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用余弦、正弦的二倍角公式及其逆用结合角的范围将目标式子化简，然后结合正弦、余弦的齐次式，将之化为正切的式子，然后将条件代入即可得出答案. 因为，，所以，， 所以 ．故选: C． 【典型例题2】．若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据二倍角公式，结合同角三角函数的关系求解即可 因为，显然，故， 故选：A 【变式训练8-1】．角的终边经过点，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据余弦值的定义可得，再根据诱导公式与二倍角公式求解即可 由题意可得，所以 故选：C 【变式训练8-2】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，利用同角三角函数的平方式以及二倍角公式，化简等式，联立平方式，求得正弦与余弦的值，利用二倍角公式，化简代入，可得答案. ，由，得，，所以，即， 联立，解得，， 所以. 故选：D. 【变式训练8-3】在平面直角坐标系中，已知角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点，角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据三角函数定义求，利用两角和的余弦公式求出，再由二倍角公式即可求角. 由，可知 因为， 所以， 即， 所以, 故选：A 【变式训练8-4】化简：(1)π<α<，＋; (2) (0<θ<π)；(3) (0<θ<π)； （4）化简. 【答案】见解析 【解析】(1)原式＝＋，∵π<α<，∴<<， ∴cos<0，sin>0.∴原式＝＋＝－＋＝－cos. (2)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos >0，∴＝＝2cos . 又(1＋sin θ＋cos θ)(sin －cos )＝(2sin cos ＋2cos2)(sin －cos )＝2cos (sin2－cos2)＝－2cos cos θ.故原式＝＝－cos θ. (3)∵0<<，∴＝2sin ，又1＋sin θ－cos θ＝2sin cos ＋2sin2＝2sin (sin ＋cos )∴原式＝＝－cos θ. （4），故， 又，故 【变式训练8-5】化简： (1); (2); (3); (4); (5); 【答案】见解析 【解析】(1)原式＝＝－＝＝－1. (2). 故答案为：. (3)， 故答案为： (4)＝＝＝1. (5) . 故答案为：. 【变式训练8-6】．若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用二倍角公式化简，再结合的范围确定和的符号即可求解. 由二倍角公式可知，，， 从而， 又因为，所以，， 从而. 故选：D. 【变式训练8-7】．计算：___________. 【答案】## 【解析】先切化弦，再根据二倍角的正弦公式、诱导公式、两角差的余弦公式化简即可得解. . 故答案为： 【变式训练8-8】．已知，求的值． 【答案】 【解析】根据诱导公式和二倍角公式，化简已知为，将所求式中的2，用替换，整理化为齐二次分式，分子、分母同除以，化弦为切，即可求解 解：因为 ， 所以 ． 【点睛】本题考查已知三角函数值求值问题，解题的关键是化简，涉及到诱导公式、二倍角公式，以及齐次分式化弦为切的方法，属于中档题 【变式训练8-9】化简：__． 【答案】 【解析】利用倍角公式与同角三角函数关系式即可求解. 依题意， ． 故答案为：. 【变式训练8-10】化简并求值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）根据给定条件，利用切化弦、二倍角公式、辅助角公式化简计算作答. （2）根据给定条件，利用切化弦、诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化简计算作答. （3）根据给定条件，利用特殊角的三角函数值、二倍角公式、凑角的思想结合和差角的正弦化简计算作答. 1） . （2） . （3） . 【规律方法】 1.三角公式化简求值的策略 (1)使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律． (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系． (2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式． 题型09：给值求值 【典型例题1】．已知是第二象限角，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】．B 【解析】利用同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式可求得的值. 因为是第二象限角，且，则， 因此，. 故选：B. 【变式训练9-1】．已知，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先将转化为，再将未知角向已知角转化，根据倍角公式求出的值. 因为， 所以， 所以. 故选：C. 【变式训练9-2】．已知，且是第二象限角，则（       ） A． B． C． D． 【答案】．B 【解析】由同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简求解. 由题意得，则． 故选：B 题型10：二倍角公式的综合应用 【典型例题1】．已知＝，则sin2x＝________． 【答案】 【解析】利用诱导公式、二倍角余弦公式得sin2x＝2cos2－1，结合已知求值即可. ∵sin2x＝cos＝cos2＝2cos2－1， ∴sin2x＝2×－1＝－1＝． 故答案为： 【典型例题2】．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据三角函数的定义可得，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解. 解：因为角的终边经过点，所以， 故. 故选：A. 【典型例题3】．若，且，则____ 【答案】 【解析】利用诱导公式、二倍角正弦公式，将题设条件转化为，结合角的范围求值，再应用二倍角正切公式求即可. ∵， ∴或，又， ∴，则． 故答案为： 【典型例题4】．已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先根据诱导公式进行化简，然后利用二倍角的余弦公式求解出结果. 因为，所以， 又因为， 所以， 故选：D. 【典型例题5】．若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合诱导公式和二倍角的正切公式化简求值即可. 由，得， 则． 故选：B． 【典型例题6】锐角满足，则 . 【答案】 【解析】利用二倍角公式和诱导公式实现角之间的转化，代入数值即可求得结果. 由题意可知，， 又，且为锐角，所以， 即. 故答案为： 【典型例题7】已知，则的值为 ． 【答案】 【解析】根据利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得. 因为， 所以 . 故答案为： 【典型例题8】．已知不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数：___________. ①定义域为R；②；③；④. 【答案】（答案不唯一） 【解析】根据，可得，进而联想到二倍角的余弦公式，再根据，可得函数的周期，然后根据得到答案. 由，得， 联想到，可推测， 由，得，则， 又，所以（，为偶数，且）， 则当k=2时，. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式训练10-1】．已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先用诱导公式化为，再用二倍角公式计算． . 故选：D 【变式训练10-2】若，则＝（    ） A．－ B． C．－ D． 【答案】C 【解析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答. 依题意，，所以. 故选：C 【变式训练10-3】．已知角的终边经过点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据终边上的点确定角的正余弦值，再利用诱导公式及二倍角正弦公式即得. 由题知， 所以， ∴. 故选：A. 【变式训练10-4】．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据所求先利用诱导公式转化为，由于有正切值，无角度范围，结合平方公式，将所求化为分式齐次式，同除，转化为只含的式子，即可求解. 解： 故选：C. 【变式训练10-5】已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】根据二倍角正弦公式和正余弦齐次式的求法可构造方程求得可能的取值，结合的范围可求得结果. ，或， ，，则. 故选：B. 【变式训练10-6】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据，结合二倍角的余弦公式及诱导公式计算即可. 解：因为， 所以， 所以. 故选：B. 【变式训练10-7】（多选）下列选项中其值等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】根据诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式计算各选项即可得答案． ，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确． 故选：BD. 【变式训练10-8】1．（多选））下列各式中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由二倍角的余弦公式可得，由二倍角的正切公式可判断A；由二倍角的正弦公式可判断B；由两角差的余弦公式可判断C；由同角三角函数的基本关系、诱导公式及二倍角的余弦公式可判断D. ， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D正确. 故选:ACD. 【变式训练10-9】设则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可. 解：， ， ， 因为在上单调递增， 所以， 所以. 故选：C 【变式训练10-10】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由二倍角公式，诱导公式，正弦函数的性质比较大小，再利用三角函数线证明为锐角时，，从而可比较大小，得出结论． ， 又，所以， 即， 利用三角函数线可以证明为锐角时，， 如图，在单位圆中，以为始边，为顶点作出角，其终边与单位圆交于点，过单位圆与轴正半轴交点作轴的垂线，角的终边与这条垂线交于点， 则，劣弧的长为， 扇形的面积为，面积为， 由图形，易知，即，所以， 【变式训练10-11】下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】结合二倍角、辅助角及和差角公式对选项进行化简，再计算周期比较即可. 对于选项A，，∴ 选项B：且，∴ 对于选项C，，∴ 对于选项D，，∴, 故选：C. 【变式训练10-12】．已知，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题首先可根据得出，然后根据诱导公式以及二倍角公式即可得出结果. ，即， ，， 则， 故选：B. 【变式训练10-13】．，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用二倍角余弦公式求，再由求即可. 由，得， ∴， 故选：C． 【变式训练10-14】．已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】．C 【解析】求出函数在上的值域后可求实数m的取值范围. , 当时，，所以， 故的值域为， 因为在上有解即在上有解， 故即， 故选：C. 【变式训练10-15】．若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 【变式训练10-16】．若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】．B 【解析】由可求得 ，根据二倍角公式化简计算即可得出结果. , . 故选：B 【变式训练10-17】在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A，由三角形大边对大角和正弦定理可判断； 对于选项B，由余弦函数单调性可判断； 对于选项C，由正弦的二倍角公式可判断； 对于选项D，由余弦的二倍角公式可判断 在中，若，由三角形中大边对大角，可得，又由正弦定理，可知，故A选项正确； 又由余弦函数在上单调递减，可知，故B选项正确； 由和，当时，，所以，故C选项错误； 由，，由A选项可知正确，故D选项正确. 故选：ABD 【变式训练10-18】给出下列说法，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的最小值为2 D．若，则的最小值为2 【答案】AC 【解析】A、B利用二倍角余弦、正切公式求值判断；C、D根据的区间单调性求最小值即可判断. A：，正确； B：因为，所以或，错误； 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为2，当时，的最小值为，C正确，D错误. 故选：AC 【变式训练10-19】若函数，则（    ） A．函数的一条对称轴为 B．函数的一个对称中心为 C．函数的最小正周期为 D．若函数，则的最大值为2 【答案】ACD 【解析】根据三角函数的同角关系和二倍角的正、余弦公式化简可得，结合余弦函数的性质依次判断选项即可. 由题意得， . A：当时，，又， 所以是函数的一条对称轴，故A正确； B：由选项A分析可知，所以点不是函数的对称点，故B错误； C：由，知函数的最小正周期为，故C正确； D：，所以，故D正确. 故选：ACD． 【变式训练10-20】已知复数，，下列说法正确的是（    ） A．若纯虚数，则 B．若为实数，则， C．若，则或 D．若，则m的取值范围是 【答案】ABC 【解析】根据复数的相关概念，列出相应的等式或方程，求得参数，即可判断答案. 对于A，复数是纯虚数，则，A正确； 对于B，若为实数，则，则，，B正确； 对于C，若，则，则， 解得或，C正确； 对于D，若，则，且，则，D错误， 故选：ABC 【变式训练10-21】已知函数，则（    ） A．的最大值为3 B．的最小正周期为 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减 【答案】BC 【解析】首先利用诱导公式和二倍角公式、辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质逐一检验四个选项的正误即可求解. 所以的最大值为，故选项A不正确； 的最小正周期为，故选项B正确； 因为，解得：，所以直线是的图象的对称轴，故选项C正确； 令，解得：， 所以在区间和单调递减，在上单调递增，故选项D不正确， 故选：BC. 【变式训练10-22】已知函数，则（    ） A．与均在单调递增 B．的图象可由的图象平移得到 C．图象的对称轴均为图象的对称轴 D．函数的最大值为 【答案】AD 【解析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称性、换元法逐一判断即可. ， 当时，，，显然、都是的子集，所以函数与均在单调递增，因此选项A正确； 函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，因为左右、上下平移不改变正弦型函数的最小正周期，故选项B不正确； 由，所以函数的对称轴为， 函数的对称轴为， 显然当为奇数时，图象的对称轴不为图象的对称轴，因此选项C不正确； 令， 所以，因为， 所以当时，该函数有最大值，因此选项D正确， 故选：AD 【变式训练10-23】．函数的最大值为（       ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】利用诱导公式及二倍角公式可得，令，将函数转化为，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值，即可得解； 解：因为 所以 令 则 则 令，得或 当时，；时 所以当时，取得最大值，此时 所以 故选：B 【点睛】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值 【变式训练10-24】．已知函数，则（       ） A．函数在区间上为增函数 B．直线是函数图像的一条对称轴 C．函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D．对任意，恒有 【答案】ABD 【解析】首先利用二倍角的正弦与余弦公式可得，根据正弦函数的单调递增区间可判断A；根据正弦函数的对称轴可判断B；根据三角函数图像的平移变换的原则可判断C；代入利用诱导公式可判断D. . 当时，，函数为增函数，故A中说法正确； 令，，得，， 显然直线是函数图像的一条对称轴，故B中说法正确； 函数的图像向右平移个单位得到函数 的图像，故C中说法错误； ，故D中说法正确. 故选：ABD. 【点睛】本题是一道三角函数的综合题，考查了二倍角公式以及三角函数的性质、图像变换，熟记公式是关键，属于基础题. 【变式训练10-25】．在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论成立的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】．ABC 【解析】根据大边对大角以及正弦定理即可判断A；根据余弦函数的单调性以及可判断B；利用正弦定理化边为角以及同角三角函数商数关系可得即可判断C；利用正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可得进而可得或即可判断D，进而可得正确选项. 对于A：因为，所以，由正弦定理可得（是外接圆的半径），所以，故选项A正确； 对于B：因为在上单调递减，且，所以，故选项B正确； 对于C：因为，由正弦定理化边为角可得， 又因为，所以，所以，故选项C正确； 对于D：利用正弦定理化边为角可得，所以，所以或，故选项D错误． 故选：ABC． 【变式训练10-26】在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答. 已知角a是第一象限角，且___________. (1)求的值； (2)求的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）选①：因为，求得，结合角是第一象限角，得到，进而求得的值. 选②：化简得到，结合角是第一象限角，进而得到的值. （2）化简得到，结合，代入即可求解. （1）解：选①：因为，所以，所以， 因为角是第一象限角，所以，则. 选②：因为，所以， 解得或， 因为角是第一象限角，所以. （2）解：由 因为，所以， 即. 所以． 故选：D． 【变式训练10-27】．已知sinα，且α为第二象限角． （1）求sin2α的值； （2）求tan（α）的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角正弦公式即可求出结果； （2）根据（1）的结果求出tan，利用两角和正切公式，即可求出结果. （1）∵sinα，且α为第二象限角，∴cos， ∴sin2α＝2sinαcosα； （2）由（1）知tan， ∴tan（α）． 【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系式、正弦倍角公式和两角和的正切公式，属于基础题目. 【变式训练10-28】．在中，已知，且. （1）求的面积； （2）若，求. 【答案】（1）2；（2）. 【解析】（1）利用对数运算得到，利用二倍角公式求得得到,进而利用三角形面积公式计算； （2）利用余弦定理计算即得. （1）由，得.∵，∴，∴.∴. （2）对于，又，由余弦定理得，∴. 【变式训练10-29】．已知，． （1）求，的值； （2）求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）首先利用同角三角函数关系求出，从而得到，再利用正弦二倍角公式计算即可. （2）利用正弦两角差公式展开计算即可得到答案. （1）因为，，所以， 所以，. （2）. 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查同角三角函数关系，属于简单题. 【变式训练10-30】中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的值. 【答案】．(1)(2) 【解析】（1）由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，即可得到，从而求出，即可得解； （2）用同角三角函数的基本关系求出，即可求出、，再根据两角差的正弦公式计算可得. （1）由余弦定理，则， 又，所以，即， 由正弦定理可得，因为， 所以，则，又，所以. （2）因为，，所以， 所以，， 所以 【变式训练10-31】．（1）设坐标平面内三点､､，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数m的值； （2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率. 【答案】（1）1或2；（2）. 【解析】（1）由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果. （2）根据斜率与倾斜角关系，应用倍角正切公式求直线的斜率. （1）由，即，解得或， 经检验均符合题意，故m的值是1或2； （2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为. 由已知，，则直线的斜率为. 【变式训练10-32】．在中，角的对边分别为，. (1)若，求； (2)若，点在边上，且平分，求的面积. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）利用两角和、差的余弦公式求出，由诱导公式求出，即可求出，最后由计算可得； （2）利用二倍角公式求出，再由求出，最后由面积公式计算可得. （1）因为， 则，， 又，，则， 又，所以， 则. （2）由（1）知，则， 由得， 即， 则，即，解得， 所以的面积. 题型11：证明 【典型例题1】证明：； 【答案】证明见解析 【解析】利用诱导公式和二倍角的正弦公式即可化简证明. 证明： ， 故成立. 【变式训练11-1】 求证： 【答案】证明见解析 【解析】利用二倍角正余弦公式化简左侧，即可证结论. 由 ，得证. 【变式训练11-2】 (1）化简：； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）根据题意，由正余弦的和差角公式，代入计算，化简即可得到结果； （2）根据题意，由二倍角公式，代入分别计算，即可证明. （1） ． （2）证明： 左边 右边． 所以． 【总结提升】 三角恒等式的证明方法 (1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目． (2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子． (3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立． 提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号． 题型12：实际应用 【典型例题1】如图，屋顶的断面图是等腰三角形，其中，横梁的长为8米，，为了使雨水从屋顶（设屋顶顶面为光滑斜面）上尽快流下，则的值应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据物体受力分析，利用二倍角的正弦公式化简后，由正弦函数的性质求出雨水流下时间的最小值对应的值. 设雨水的质量为，下滑加速度为，，取的中点，连接. 则,且. 因为，所以； 在直角三角形中， 所以 当,即时等号成立， 故选：B. 【典型例题2】十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作砖石”，黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金中，，根据这些信息可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出辅助线，先求出，再用倍角公式求出. 取BC的中点D，连接AD，则由三线合一知：， 且，， 由余弦的二倍角公式得：. 故选：A 【变式训练12-1】需要从一块宽为6米、长不限的矩形钢板上截取一块直角梯形模板（、分别在、上），且满足腰上存在点，使得≌．设，米． (1)请用表示； (2)当的长为多少时，模板的面积最小，并求这个最小值． 【答案】(1)，；(2)当为2米时，模板的面积最小值为平方米. 【解析】（1）根据已知图形关系，将BM用t表示出来，再由可将用表示； （2）利用（1）中的，将AE，BN用表示，再利用基本不等式求解即可. (1)因为≌，所以，， 所以， 在中， 在中，， 由得， 所以， (2)由（1）得，在中， ， 在中， （或直接使用万能公式得到结果） ， 所以直角梯形的面积 ， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 当时，（米），此时取得最小值为平方米． 答：当为2米时，模板的面积最小值为平方米． 【变式训练12-2】《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔.”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，结合正切的二倍角公式进行求解即可. 由题意可知：，， 所以. 故选：A. 【变式训练12-3】．小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB，AC和优弧BC围成，其中BC连线竖直，AB，AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为，竖直高度为，根据题意求得，由切线的性质和正弦函数的定义可得，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果. 设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如下图所示 易知“水滴”的水平宽度为，竖直高度为， 则由题意知，解得， AB与圆弧相切于点B，则， ∴在中，， 由对称性可知，，则， ∴， 故选：A． 【变式训练12-4】．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．则（       ） A． B．当时， C． D． 【答案】ACD 【解析】根据题目定义以及二倍角公式即可判断A正确，令，可得，可判断出B错误，令可得，结合可判断出C正确，根据二倍角公式可知，D正确． 因为， 所以，即，故选项A正确；令，则，则，则，即选项B错误；令，则，可得，所以，则选项C正确；设，则，将代入，方程成立，即选项D正确． 故选：ACD． 一、单选题 1．（2023·江苏·高一专题练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把已知等式平方化简即得解. 两边平方得 故选： 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解. 由已知，化简得． 平方得， 所以． 故选：A． 3．已知为任意角，若满足，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将看成一个整体，化简，即可根据正切的二倍角公式求出． 由， 可得 . 故选：B. 4．若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】结合倍角公式、三角函数在对应象限的符号、辅助角公式化简即可. ，. 故选：D 5．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，再表达出，从而根据诱导公式与二倍角公式求解即可 设，则，故，故，则 故选：D 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】结合三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，化简，代入即可求解. 由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，可得 . 故选：C. 7．已知，且，则（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【解析】将两边平方，可求出，结合，可得，利用求出，利用平方差公式求出，从而可求出. 因为，所以，所以， 所以， 因为，所以， 又，所以，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：D 8.已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到，结合得到，求出. 因为， 所以， 整理得：， ， ， 因为， 所以， 所以， 解得： 故选：D. 二、多选题 9．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】利用两角和差公式和二倍角公式依次判断各个选项即可． 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确.另外可由解出，舍去增解. 故选：AD. 10．已知，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】根据正弦和余弦的二倍角公式，以及，逐个选项进行化简，然后判断，即可得答案. 根据题意，，两边平方，得，所以，，故A错误； 又因为，所以，，故B正确； ，故C正确； ，故D正确； 故选：BCD 三、填空题 11．___________. 【答案】 【解析】利用倍角公式及辅助角公式变形计算即可. . 故答案为：. 12.若，则_____． 【答案】 【解析】由二倍角公式，平方关系变形可得． ，则，所以，， ． 故答案为：． 四、解答题 13．已知，. (1)求； (2)求. 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)利用二倍角的正切公式求解； (2)利用弦化切的方法求解. （1）因为， 所以解得或， 因为，所以. （2）. 14．（1）已知，求的值； （2）已知，，则． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据题设条件利用倍角公式整理得，再根据齐次式问题化简求值； （2）先根据运算求解，注意符号的判断，再结合倍角公式公式化简求解. （1）∵，则，即， ∴． （2）∵，则， 整理得， 所以， 又∵，则，且， 则，即， ∴， 故． 15．已知向量，其中，且． (1)求和的值； (2)若，且，求角的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由得，化简可求，结合万能公式可求； （2）采用整体法，由，结合角度范围，分别求出，进而得解. （1）因为，所以，即； ； （2）由（1）得，， ， 因为，，所以， 因为，所以，， 所以， 所以. 16．已知向量，，． (1)若时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由求出，进行弦化切，代入求解； （2）由求出，得到，利用和差角公式直接求解． (1) （1）时，， 因为， 所以，， ． (2) 因为，所以， 所以，，所以，所以， 所以. 所以， ． 所以 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $第05讲二倍角公式 目录 思维导图… 2 高考分析。 2 学习目标… 3 知识要点… .3 进行处理… .4 题型归纳. .5 题型01：正弦二倍角公式的运用… …4 题型02：正弦二倍角公式的逆用 …6 题型03：余弦二倍角公式的应用. .8 题型04：余弦二倍角公式的逆用. 11 题型05：正切二倍角公式. 12 题型06：正切二倍角逆用.… .13 题型07：公式得变用… .15 题型08：化简求值. .16 题型09：给值求值… .18 题型10：二倍角公式的综合应用 18 题型11：证明… .25 题型12：实际应用. …26 巩固提升… .28 思维导图 一：正余弦正切二倍角公式 五：给值求值 二：正余弦正切二倍角公式逆用 六：证明 二倍角公式 三：正余弦正切二倍角公式的变用 七：二倍角公式的综合应用 四：化简求值 高考分析 一、定位与分值 二倍角公式是三角恒等变换的核心工具，每年必考，单独命题多为选择、填空(5分)，在解三角形、三角 函数图像与性质、向量等解答题中作为关键步骤，整体相关分值约5-10分，难度以中等偏易为主，偶与实际测量 情境结合。 二、考查形式与热点 1.题型分布 。选择/填空：多在第4-8题，考查公式正用、逆用、变形（如降幂、升幂），常见给值求值、角的范围限 定下的符号判断，如2024新高考1卷第4题、2023新高考‖卷第7题。 。解答题：常嵌入解三角形（如2022新课标1卷18题）、三角函数化简求解析式或性质，作为求角、求最 值的中间环节。 2.核心热点 。公式灵活应用：正弦、余弦（三种形式）、正切公式的直接与逆用，重点是余弦公式的降幂与升幂变形。 。角的代换与范围控制：给值求角时通过范围缩小答案。 。综合融合：与同角关系、辅助角公式、向量数量积结合，偶与三角测量、物理简谐运动等情境结合。 三、命题趋势与备考重点 1.趋势：保持稳定，侧重“公式变形+角的构造+范围严谨性”，强调运算准确与逻辑严密，不考偏难公式 (如积化和差)。 2.备考重点 。熟记公式结构，明确余弦三种形式的适用场景，掌握正切公式的定义域限制强化降幂/升幂与逆用训练， 养成“看角→定公式→判符号→算结果”的解题习惯。 。重视易错点：忽略角的范围导致符号错误，给值求角时未通过范围缩小答案，正切公式漏考虑定义域。 学习目标 1.基础目标 熟记正弦、余弦（三种形式）、正切的二倍角公式，明确各公式的结构特征与定义域限制，能区分余弦二倍角 公式不同形式的适用场景。 2.能力目标 掌握公式的正用、逆用及变形技巧（如降幂公式、升幂公式），能通过角的代换将单角与倍角进行灵活转化； 结合同角三角函数关系，准确完成给值求值、给值求角类问题的计算，规避符号判断错误。 3.综合目标 能将二倍角公式与两角和差公式、辅助角公式、解三角形定理等知识点融合，解决三角函数化简、求最值、解 三角形等综合性题目；培养解题的严谨性，强化“先定角的范围，再判断三角函数符号”的解题意识。 知识要点 知识点一：二倍角公式 （一)二倍角的正弦 S20:sin2a=2sinacosa (二)二倍角的余弦 C2a:cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a; (三)二倍角的正切 T2a:tan2a=; kπ，元 π π 公式应用的条件：a≠24且a≠+2(k∈Z,当a=km+2(kEZ)时，tana不存在，求tan2a的 值可采用诱导公式 (四)二倍角公式的逆用、变形 1.逆用形式： 2sinacosa=sin2a;sinacosa=sin2a;cosa=;cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos2a; =tan2a. 2.变形用形式： 1±sin2a=sina+cos2a±2 sinacosa=(sina±cosa2; 1+cos2a=2cos a; 1-cos2a=2sin2a;cos2a=; sina=. 知识二升幂与降幂公式 1.降幂公式：cos2a=,sin2a=. 2.升幂公式：1+cos2a=2cos2a,1-cos2a=2sin2a 注意：倍角公式中的倍角"是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如60是3a的2倍，3a是3 的2 倍.这里蕴含着换元思想.这就是说，"倍"是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的 解题策略 一、通用解题步骤 1.定角：观察已知角与目标角的倍数关系，将角进行转化 2.选公式：根据已知三角函数类型和目标需求选公式，如遇平方优先用余弦降幂变形，遇正切直接用正切二 倍角公式。 3.判符号：根据角的范围确定三角函数值的符号，避免因符号失误出错。 4.算结果：代入公式化简计算，涉及综合题时结合两角和差、辅助角公式进一步求解。 二、典型题型与技巧 1.给值求值型 技巧：先由已知条件求单角三角函数值（注意角的范围），再代入二倍角公式； 2.化简求值型 技巧：优先用降幂公式消去平方项，再结合诱导公式、两角和差公式化简，最终转化为单角三角函数式。 3.综合应用（解三角形/函数性质） 技巧：在解三角形中，用二倍角公式转化角的关系，结合正弦定理、余弦定理求边或角； 三、易错点规避 1.忽略正切二倍角公式的定义域限制，导致增根。 2.用余弦二倍角公式时，未根据角的范围判断三角函数值的符号。 3.降幂变形时混淆公式 题型归纳 题型01：正弦二倍角公式的运用 【典型例题1】在平面直角坐标系xOy中，角a以x轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点 ,3.1), 2’2 则sin2a=() A. c.-3 D.2 2 【答案】A 【解析】直接利用任意角的三角函数定义，结合正弦二倍角公式求解即可. 1-2 3 由任意角三角函数定义得： 1 sina= 'cos a= 3 2 2 + ,133 sin2=2 sin a cosa=2×三× 22-2 故选：A. 3,则sin2a=d() 【典型例题2】已知a满足sina+cosa= A.-B. c.-8D 2 8 D. 3 9 9 【答案】C 【解析】利用同角的平方和关系和二倍角公式即可. sinacossin cos 1 9 8 即sin2a=2 sin a cosa=- 9’ 故选：C 【典型例慝3】在平面直角坐标系x0y中，若曲线y=sn2x与y=anX在区间名，)止交点的横坐标为，则 的值为（) A B. 2I C.3n D.5I 3 4 6 【答案】D 【解折】在区间哈上，联立，即可解出。 在x∈gm上，由8可得2 2sinxc0sx= 3×sinx, 2cosx’ ?而sinx≠0，所以，cosX=4’即COSX= 2 3 COSX=- ,∈（石，匹)，听以+一5双 石故适：D. 1 【变式训练1-1】.已知tana=3,则sin2a-（） 3 3 1 A.5 B.5 C.10 D.10 【度式训陈121求血后如没如 18的值. 速式训练13.若m92,则s加0c沁9) 2 6 B C.5 D.-g π 【变式训练1-4】·已知a∈(0,2)，2sin2a=cos2a+1,则sina= A. B, 5 2V5 C.3 D.5 【变式训练1-5】.若sina+cosa=√ ,则sin2a=( 5 A. v② B.2 C.2 D.1 【变式训练1-6】·已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P(2,-1)在角a的 终边上，则sin2a=一. 【变式训练1-7】在平面直角坐标系0中，角9的终边经过点L,2,则©0s20+sin20= 题型02：正弦二倍角公式的逆用 【典型例题1】求下列式子的值：(1)sin cos;(2)sin22.5°cos202.5°；(3)sin15°sin75°； (4)sin5 π c0524 24 (答案)2+1 4 【解析】(1)原式=×2 sin cos=sin=. (2)sin22.5°cos202.5°=sin22.5°·(-cos22.5°)=-sin45°=-. (3)原式=sin15°cos15°=(2sin15°c0s15°)=sin30°=. 4s加27osZ7=sn日+引kas2-snco2+os8sm27-cws7是 24 24 6 24 24 cos2”+3sin P 2421 sincos I+cos 240242×24 1221 12 6+2sin+马}=2+×2-2+1， 421 612422 4 2+1 故答案为： 4 【典型例题2】设a∈R,则“sin a cosa= 3,是“a=+km,k∈Z”的（） 4 6 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 6 C.充要条件D,既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】利用正弦二倍角公式得到sin2a= V3 未曲=君kLk,∈乙或a=号+kk,∈乙，从而得到放“ 2 sin a cosa=- 3”是“=+km,k∈Z”的必要不充分条件. 4 6 sin a cosa= 6n2-长，敌sn2,数2c+2kkEZ成2a四+2kkEZ,解得图 1 3 3 a=+k,元，k∈Z或=+k,几，k2∈Z, 6 3 故“sin a cosa= 3m是“=+km,kEZ”的必要不充分条件个 故选：B 【变式训练2-1】2.c0s275°+c0s215°+c0s75°c0s15°的值等于() A.B.C.D.1+ 【变式训练2-2】要得到函数y=4sinx- π。T -C0SX-。 图象，只需把函数y=2sin2x的图象() 6 6 A,向右平移。个单位B。向左平移写个单位 6 C.向右平移写个单位D。向左平移写个单位 【变式训练2-3】sin236°+sin54°+sin15°cos15°=() A9®+里c品 5 2 4 D.4 【变式训练2-4】求下列式子的值： 3π。5π (0）c0s20cos40°e0s80；(2)c0s号c0s 7 COS- 7 ③s10sn30'sin50sn70:(4)sin8in5rsin7g的值 18 【变式训练2.51设f.X=co0 0兰c0s草c0sZ产 2n-1,则f 4π =i() 3 32 16 【变式训练2-6】彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史.按照图案的载体大致分为彝族服 饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等.其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺 线”是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象后得到图2，若 ∠AOC=,则cos a cos2a&Cos4a的值为 > 图1 图2 题型03：余弦二倍角公式的应用 【典型例题1】.若cosa=3,则cos2a=（） A. 9 B.6 C.3 D. 0 【答案】A 【解析】根据二倍角余弦公式，代入数据即可得答案. 由二倍角公式得0s2a=2cos3a-1=2x1上，7 故选：A 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，属基础题. 【奥典型例愿2】.已知ae(号孕，且12sina-5osa=9,则cos2a-（） 1 7 A.3 B.-9 1 D.8 【答案】B 【解析】利用同角公式化正弦为余弦，求出cos的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得. 依题意，原等式化为： 12(1-cos2 a)-5cosa=9 整理得：(4cosa+33c0sa-)=0 因as(←交，乃 23,则cosa>0,解得：cosa= 3, 所以cos2a=2cos2a-1=2× 1 故选：B 1+cos260 【典型例题3】.式子V 2 的值等于() A.sin40 B. cos40 C.cos130 D. -cos150 【答案】A 【解析】根据余弦的倍角公式，结合诱导公式，即可化简。 1+cos260 2 1+2cos2130-1-V00s2130=cos130=c0s50=sin40 2 故选：A. 【点晴】本题考查诱导公式，余弦的倍角公式，属于容易题 【典型例题4】·（多选）计算下列各式的值，其结果为1的有() 1 1 3 A.cos40°1+3tan10B. 2 cos 80 sin 80 C.sin140°3-tan190°D.4sin18°·sin54 【答案】ACD 【解析】由商数关系、诱导公式、和差角公式及倍角公式依次化简求值即可求解 对于A,cos40°1+3tan10°=cos40 3sin 10" 1+ =cos40.c0s10^+3sin10 cos 10 c0s109 co40.2sin002sin40'cos40sin0 sin90°-10 c0s10 cos 10% c0s10° c0s10 cos10=1,A正确； C0s10° 1 3 对于B, 1 1,sin80°-3cos80°_2sin80°-60 2sin20 2 =2,B错误； c0s80 ”sin80 2 sin80°cos80 sin 160 sin180°-20° 对于C,sin140°V3-tan190=sin140° V3- sin190° =sin140.23cos190-sin190 c0s190° c0s190° 6sn140.20osl30+190=sin140.2cos1360-140 2sin140°cos140° cos 190 c0s190 c0s190 乙sin280-sin190+901=cos190=1,c正确； cos 190 c0s190° c0s190 对于D,4sin18·sin54=4sin90°-72sin90°-36=4cos72°·cos36 4c0s72·cos36sin36_2cos72:sin72_sin144_-sin180-361=sin36=1,D正确.故选： sin 36 sin 36 sin 36 sin36 sin 36 ACD. 9 【变式训练3-1】.若sina+cosa=3)0<a<元，则sin2a+cos2a=（）· -8-17 -8±17 -8+√17 8+√7 A.9 B. 9 9 D.9 【变式训练3-2】，已知角“的顶点为坐标原点，始边与*轴的非负半轴重合，终边经过点P-3,4),则 cos2a () 7 24 24 A.25 B.25 C.25 D.-25 sin a 式训33】.若（小2a3则+ () 25 3 4 4 A.-4 B.4 C.3 D.3 变式训练41已知nQ-引升+cosa- ,则2+() 7 24 24 A.-25 B. C. 25 D.25 【变式训练3-5】已知a∈0，，ana= ,则cos2a=() 3 12 A.5 B.5 c.5 D. 25 变式训练3-6“sinc=)”是“cos2a=”的( 2 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【变式训练3-7】已知0°<a<90°，且sin18°1+sin2a=2cos29°cos2a,则a=((） A.9°B.18°C.27°D.36 【变式训练3-8】已知函数f(x)=2x2-3x+1,若方程f(sinx)=a+cos2x在x∈乙上恰有四个不同的解，则实 数a的取值范围是() A.-3<a<1 4 B.4 a<1 c.<s1D.6≤0s1 【变式训练3-9】（多选）由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.一般地， 10