精品解析：上海市新场中学2025-2026学年高一第二学期期中教学质量检测数学试题

上海市新场中学2025学年第二学期期中教学质量检测试题 高一年级数学学科 一、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分） 1. 函数的最小正周期为___________. 2. 若角的终边经过点，则______. 3. 已知函数,，则函数的最小值为___________________ 4. 函数的值域为___________ 5. ______ . 6. 已知向量，且．则实数为___________． 7. 已知，，则的值为___________． 8. 已知，则___________． 9. 方程的解集为___________ 10. 如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 11. 若、为锐角，，，则___________． 12. 函数的最大值与最小值之和为___________． 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 已知，则角的终边所在的象限为第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 14. 函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 15. 在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 16. 某美妙音乐的模型函数为有如下四个结论： ①是偶函数； ②在区间单调递增 ③在上有个实数解； ④最小正周期是 其中所有正确的结论的编号是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ①③ 三、解答题（本大题共5小题，满分52分）解答下列各题，必须写出必要步骤． 17. 已知向量． （1）求： （2）求与的夹角大小． 18. 在中，已知． （1）求的值； （2）若，且，求的面积． 19. 已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点，作扇形的内接矩形．记，矩形的面积为． （1）若时，求矩形的面积； （2）求与之间的函数关系式：当取何值时，最大？并求出的最大值． 20. 已知函数的图象，如图所示： （1）求的函数解析式； （2）将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到函数的图象，求函数的单调增区间． 21. 已知函数． （1）将函数化为的形式； （2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； （3）若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市新场中学2025学年第二学期期中教学质量检测试题 高一年级数学学科 一、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分） 1. 函数的最小正周期为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦型函数周期公式计算作答. 【详解】 故答案为： 2. 若角的终边经过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，即可求解. 【详解】由题意，角的终边经过点，可得， 根据三角函数的定义，可得. 故答案为：. 3. 已知函数,，则函数的最小值为___________________ 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数的单调性可得结果. 【详解】因为函数在上为增函数，故该函数的最小值为. 4. 函数的值域为___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的有界性可得出函数的值域. 【详解】因为，故函数的值域为. 5. ______ . 【答案】 【解析】 【详解】． 试题分析： 考点：倍角的正切． 6. 已知向量，且．则实数为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题可知：，则，解得：. 7. 已知，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方关系得出，可得出，于是得出，再利用平方关系可求得的值. 【详解】因为，则，在等式两边平方得， 所以，故，所以， 故，故. 8. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由诱导公式可得：，， ，， 原式可化简为：， 分子分母同除以得：，代入， 得： 9. 方程的解集为___________ 【答案】 【解析】 【详解】由可得：，解得， 即方程的解集为. 10. 如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 【答案】 【解析】 【详解】在平行四边形中，，对角线交点是中点， 因此， 因为是的中点，所以， ， ，得，，因此. 11. 若、为锐角，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】由题意可知、，所以， 故， ， 所以 . 12. 函数的最大值与最小值之和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过换元将三角函数转化为二次函数，结合二次函数的对称轴与区间的位置关系，判断函数在闭区间上的单调性，从而由端点取得最值. 【详解】令，已知，由正弦函数的性质可得： 在该区间的最小值为，最大值为，因此， 故原式化为：，开口向上，对称轴为，因此函数在上单调递增， 时，，时， 最大值与最小值之和为：. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 已知，则角的终边所在的象限为第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【详解】由象限角的三角函数符号可知， ，角的终边在第二或第四象限， ，角的终边在第一或第二象限， 综上可知当时，角的终边所在的象限为第二象限. 14. 函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 【答案】A 【解析】 【详解】由诱导公式可得：， 则原式可化简为：，函数定义域为， 且满足， 故函数为奇函数. 15. 在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】在中，已知、、，且为锐角，若有两解，则，逐项判断即可. 【详解】在中，已知、、，且为锐角，如下图所示： 由图可知，若有两解，则， 对于A选项，，，，则， 所以，此时不存在，A不满足要求； 对于B选项，，，，因为，故只有一解，B不满足要求； 对于C选项，，，，则，所以， 故有两解，C满足要求； 对于D选项，，，，则，所以， 故只有一解，D不满足要求. 16. 某美妙音乐的模型函数为有如下四个结论： ①是偶函数； ②在区间单调递增 ③在上有个实数解； ④最小正周期是 其中所有正确的结论的编号是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的性质与正弦函数的单调性、周期性，结合选项逐一分析. 【详解】结论①：根据偶函数定义，对任意，，因此是偶函数，①正确； 结论②：当时，，此时，故； 而在上单调递减，因此在该区间单调递减，②错误； 结论③：方程等价于，得，即， ，即，化简得， 整数可取，对应个不同解，③正确； 结论④：带绝对值的正弦函数的最小正周期为，， 因此最小正周期为，不是，④错误； 综上，正确结论为①③. 三、解答题（本大题共5小题，满分52分）解答下列各题，必须写出必要步骤． 17. 已知向量． （1）求： （2）求与的夹角大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 设两向量夹角为，，， ， 因此，结合的范围得. 18. 在中，已知． （1）求的值； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）分析可得，利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理可得， 又因为，故. 【小问2详解】 因为，则，故的面积为. 19. 已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点，作扇形的内接矩形．记，矩形的面积为． （1）若时，求矩形的面积； （2）求与之间的函数关系式：当取何值时，最大？并求出的最大值． 【答案】（1） （2）;当时取最大值 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义，将矩形边长用半径和角表示，其中对边用正弦、邻边用余弦，再根据等腰直角三角形的性质得出另一段长度，从而用边长乘积建立面积表达式并代入角度求值； （2）用二倍角公式与降幂公式将面积表达式化为正弦、余弦的一次式，再用辅助角公式合并成单一正弦函数形式，最后根据定义域确定相位角的范围，利用正弦函数的有界性求出面积最大值及对应的角. 【小问1详解】 由题意，，则：，， 因为，，，为等腰直角三角形， 故，因此矩形的长， 矩形面积， 代入，，：. 【小问2详解】 由题可得的取值范围为， 矩形面积： ， 即与的函数关系式为：， 因为，所以， 的最大值为，当且仅当，即时取最大值， 此时的最大值为：. 20. 已知函数的图象，如图所示： （1）求的函数解析式； （2）将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到函数的图象，求函数的单调增区间． 【答案】（1） （2）的单调增区间为：. 【解析】 【分析】（1）根据图象得到和最小正周期，从而得到，代入，求出，得到函数解析式； （2）根据伸缩变换和平移变换得到，利用整体法得到函数的单调递增区间． 【小问1详解】 由图像可知函数最大值为，最小值为，且，因此， 观察图像得，最低点横坐标为，下降零点横坐标为， 因此，得周期，故， 此时，将点代入得： 即，解得， 结合，得， 即. 【小问2详解】 右移个单位得：， 横坐标缩短到原来的倍得：， 由余弦函数单调减区间得：， 故的单调增区间为：. 21. 已知函数． （1）将函数化为的形式； （2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； （3）若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换可化简函数的解析式； （2）由可得，令，其中，则实数的取值范围即为函数在区间上的值域，利用正弦型函数的基本性质求解即可； （3）求出函数，由可求得，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由可得，可得， 令，其中， 由题意可知，实数的取值范围即为函数在区间上的值域， 由可得，所以， 故，故实数的取值范围是. 【小问3详解】 ， 当时，，且， 因为正弦函数在上从小到大的第一个最小值点为，第二个最小值点为， 因为有且只有一个，使得函数取得最小值， 则，解得， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $