第10章 分式 单元复习分层讲义2025-2026学年苏科版数学八年级下册

分式单元复习——构建完整知识体系，攻克分式全章难点 ——苏科版数学八年级下册 第10章《分式》单元复习分层讲义 讲解目录 章节 内容 一 单元知识图谱（知识框架总览） 二 单元复习目标 三 考点一：分式的概念——基础打底，零失误 四 考点二：分式的基本性质——变形依据，理解透彻 五 考点三：分式的运算——熟练掌握，灵活运用 六 考点四：分式方程——解法规范，验根必做 七 考点五：分式的应用与创新——学以致用，思维提升 八 分层巩固练习（24题） 九 答案解析 一、单元知识图谱 分式全章知识结构如下： 分式 ├── 分式的概念 │ ├── 分式的定义（形式，B含字母） │ ├── 分式有意义的条件（分母≠0） │ ├── 分式的值为零的条件（分子=0且分母≠0） │ └── 分式的值及其实际意义 ├── 分式的基本性质 │ ├── 基本性质（分子分母同乘除，值不变） │ ├── 约分与最简分式 │ ├── 通分与最简公分母 │ └── 符号法则（改二不变） ├── 分式的运算 │ ├── 分式的乘除（乘方） │ ├── 分式的加减（同分母/异分母） │ └── 分式的混合运算 └── 分式方程 ├── 分式方程的定义 ├── 解分式方程（去分母→解整式→检验） ├── 增根的概念与判定 └── 分式方程的应用（工程/行程问题等） 二、单元复习目标 1. 理解分式的定义，掌握分式有意义、无意义、值为0的条件；会求分式的值，能根据条件确定字母的取值范围。 2. 掌握分式的基本性质，能利用性质进行约分、通分；能熟练进行分式加、减、乘、除及其混合运算。 3. 会解可化为一元一次方程的分式方程（分式不超过两个），理解增根的含义，会检验分式方程的根，能根据实际问题列分式方程，并检验解的合理性。 三、考点一：分式的概念——基础打底，零失误 ◆ 知识要点 1. 分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。 2. 判断分式的三要素：①具有的形式；②分母B中含有字母；③A、B都是整式。 3. 分式有意义的条件：分母≠0。 4. 分式值为零的条件：分子=0且分母≠0（双条件，缺一不可！）。 5. 特别提醒：π是常数，不是字母。判断分式要看初始形式，不要先化简。 解法口诀：一看形式，二看分母字母否，三看初始态，切勿先化简！ 有意义分母不为零，值为零双条件记心间！ 例题 1（基础）——分式概念综合判断 题目：（2025苏州相城段考）下列代数式中，是分式的为（ ） A. 　　B. 5a　　C. 　D. 【答案】D 变式训练 1-1 （2025无锡江阴期中）给出下列各式：，，，，，其中分式的个数为（ ） A. 5　　B. 4　　C. 3　　D. 2 【答案】D 变式训练1-2 （2025常州溧阳期末）下列各式 ，，，-7a 中，分式有（ ） A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个 【答案】B 变式训练1-3 （2025淮安）要使分式有意义，则 a 的取值范围是__________。 【答案】a ≠ 1 四、考点二：分式的基本性质——变形依据，理解透彻 知识要点 1. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 用字母表示：= ；= （C ≠ 0） 2. 约分：把分式的分子与分母的公因式约去。约分的目的是化为最简分式（分子分母无公因式）。 3. 通分：把几个异分母的分式化为同分母的分式。关键是找最简公分母。 4. 符号法则：分式的分子、分母和分式本身，任意改变其中两者的符号，分式的值不变。 解法口诀：分子分母同乘除，非零整式是前提。约分先分解因式再约公因式，通分先定最简公分母。符号改两不变，改一或三值反号。 例题 2（基础）——分式基本性质的应用 题目：（2025江苏南京期中）下列等式一定成立的是（ ） A. 　　B .= C. . = 　D.. = 【答案】C 变式训练 2-1 （2025宿迁宿城期末）下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. 　B. 　C. 　D. 【答案】C 变式训练2-2 （2025南通海安模拟）不改变分式的值，将分式 中分子与分母的各项系数化为整数，结果正确的是（ ） A.　　B. C. 　D. 【答案】C 变式训练2-3 （2025淮安清江浦期末）分式 和的最简公分母是__。 【答案】6x²y² 五、考点三：分式的运算——熟练掌握，灵活运用 知识要点 1. 分式的乘除： (1)乘法法则：分子乘分子，分母乘分母。即× = (2)除法法则：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。即÷ = (3)乘方法则：（n为正整数）。 2. 分式的加减： (1)同分母分式相加减：分母不变，分子相加减。 (2)异分母分式相加减：先通分，化为同分母后再加减。 3. 混合运算：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号。运算结果要化为最简分式。 解法口诀：乘除直接算，除变乘倒数；加减先通分，分母统一再加分子；混合运算按顺序，最后结果要最简。 例题 3（中等）——分式的加减运算 题目：计算 的结果是（ ） A. 　 B.　C. 　　D. 0 【答案】A 变式训练3-1 （2025盐城东台期中）若 ，则分式的值为__________。 【答案】 5。 变式训练3-2 化简：的结果是__________。 【答案】x 六、考点四：分式方程——解法规范，验根必做 知识要点 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程。 2. 解分式方程的一般步骤：①去分母（同乘最简公分母）；②解整式方程；③检验（代入最简公分母，若为0则是增根，舍去）；④写出结论。 3. 增根：去分母时，整式方程的解使最简公分母为0，该解即为增根。 4. 分式方程无解：①整式方程本身无解；②整式方程的解全是增根。 解法口诀：一化二解三检验，四步缺一都危险。增根出自去分母，使得分母为零值。检验必做不能省，增根舍去才是真。 例题 4（中等）——解分式方程 题目：（2025无锡江阴期中）解下列方程： 【第一步：化】 最简公分母为 (x-1)(x+1)。 方程两边同乘 (x-1)(x+1)： 3(x+1) = 2(x-1) 【第二步：解】 3x + 3 = 2x - 2 3x - 2x = -2 - 3 x = -5 【第三步：检验】 将 x = -5 代入最简公分母：(x-1)(x+1) = -6×（-4) = 24 ≠ 0， 所以 x = -5 不是增根。 【第四步：结论】 原方程的解为 x = -5。 变式训练 4-1 （2025宿迁宿城期末）若分式方程无解，则实数m的值是（ ） A. -6　　B. 3　　C. -6或3　　D. -6且m≠3 【答案】A 【解析】去分母：2x+m = x-3 ,x = -m-3。若此解为增根，则 x=3（使分母为零），令 -m-3 = 3，得 m = -6。整式方程总有解，故无解即 m = -6。 变式训练4-2 （2025泰州兴化期中）解分式方程： 【解析】 最简公分母为 (x-2)。 两边同乘 (x-2)：x = 1 + 3(x-2) x = 1 + 3x - 6 x - 3x = -5 -2x = -5 x = 检验：x = 时，x-2≠ 0，是原方程的解 【答案】x = 变式训练4-3 （2025连云港海州期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. m < 3　　B. m > 3　　C. m < 3且m ≠ 2　　D. m > 3且m ≠ -1 【答案】C 七、考点五：分式的应用与创新——学以致用，思维提升 知识要点 1. 列分式方程解应用题的步骤： 审（找等量关系）→ 设（设未知数）→ 列（列出分式方程）→ 解（解方程）→ 验（检验合理性和实际意义）→ 答。 2. 常见类型：工程问题（总量为“1”，效率=1/时间）、行程问题（路程=速度×时间）、销售问题（单价=总价/数量）。 3. 分式求值技巧：整体代入法、设k法（比例连等）、倒数法（含形式）、赋值法。 解法口诀： 工程总量设为1，效率时间互倒数。行程速度时间乘积，抓住相等列等量。求值常用整体代，比例连等k法快。最后一关是检验，实际意义要记牢。 例题 5（提优）——分式求值的技巧 题目：（2025江苏扬州期中）已知 ，求分式 的值。 【解析】【设k法】设 = k（k ≠ 0），则 x = 2k，y = 3k，z = 4k。 原式 = ) = = 【答案】 变式训练 5-1 （2025扬州期末）已知，则分式 的值是___。 【答案】 变式训练 5-2 已知 ，求分式的值。 【答案】 变式训练 5-3 （2025南通通州月考）下列变形中，正确的是（ ） A. 　　B. = -1 C. 　　D. 【答案】B 八、分层巩固练习（共24题） ★ 基础巩固 第1题（2025扬州梅岭中学期中）下列式子是分式的是（ ） A. x　　B. 　　C. 　　D. x²+1 第2题（2025宿迁）要使分式有意义，则x的取值范围是__________。 第3题 若分式 的值为零，则x的值为__________。 第4题 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. 　　B. 　C. 　　D. 第5题 约分：= __________。 第6题 下列从左到右的变形一定正确的是（ ） A. =　B. = （c ≠ 0）C. =　　D. = 第7题 通分：与 ,最简公分母是__________。 第8题 计算： = __________。 第9题 计算：结果为__________。 第10题（2025苏州四市期中）若分式 有意义，则x的取值范围是（ ） A. x ≠ 0　　B. x ≠ 1　　C. x > 1　　D. x < 1 第11题（2025连云港新海初中期中）下列代数式中，是分式的是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. x² 第12题（2025淮安）计算： = __________或约简形式。 ★★ 能力进阶 第13题 解分式方程： 第14题 解分式方程： 第15题（2025泰州泰兴期末）若分式 的值为0，则a，b满足的条件是（ ） A. a = b　　B. a + b = 0　　C. a = b 或 a + b = 0　　D. a + b = 0 且 a - b ≠ 0 第16题（2025镇江句容期末）若将分式中的a和b都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变　　B. 扩大到原来的3倍　　C. 缩小到原来的　　D. 缩小到原来的 第17题（2025南通海安期末）若分式 的值为8，当a，b都扩大为原来2倍后，所得分式的值是__________。 第18题（2025湖南）将分式方程 去分母后得到的整式方程为（ ） A. 1 = 2(x+1)　　B. x+1 = 　　C. 1 = 2x+2　　D. x+1=2 第19题 若关于x的分式方程有增根x=2，则m的值为__________。 第20题（2025南通如皋二模）已知关于x的方程 的解大于1，则a的取值范围是__________。 ★★★ 思维拓展 第21题 已知 ，求分式的值。 第22题（2025无锡滨湖二模）先化简，再求值：()÷ ，其中 x = 3。 第23题 某校八年级学生去距学校30千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了0.5小时后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑自行车学生速度的3倍，求骑自行车学生的速度。（列分式方程并求解） 第24题 已知= 4，求分式的值。 九、答案 基础巩固答案 第1题 C 第2题 x ≠ 3 第3题 x = -2 第4题 C 第5题 x-2 第6题 B 第7题 x(x+1)(x-1) 第8题 第9题 或通分后简化形式 第10题 B 第11题 C 第12题 能力进阶答案 第13题 【解析】最简公分母为 (x+2)(x-2)。 两边同乘：5(x-2) = 3(x+2) 5x - 10 = 3x + 6 → 2x = 16 → x = 8 检验：x = 8 时，(x+2)(x-2) = 10×6 = 60 ≠ 0，是原方程的解。 【答案】x = 8 第14题 【解析】最简公分母为 (x-1)(x+1)。 两边同乘：x(x+1) - 2(x-1) = (x-1)(x+1) x² + x - 2x + 2 = x² - 1 x² - x + 2 = x² - 1 -x + 2 = -1 x = 3 检验：x = 3 时，(x-1)(x+1) = 2×4 = 8 ≠ 0，是原方程的解。 第15题 D 第16题 A 第17题 4 第18题 A 第19题 m = -8 或 m = 0 第20题 a < 1。 思维拓展答案 第21题 第22题 , 第23题 自行车速度 20 千米/时，汽车速度 60 千米/时 【解析】设骑自行车学生的速度为 x 千米/时，则汽车速度为 3x 千米/时。 x = 40（千米/时） 检验：x = 40 0， 答：汽车速度为120 千米/时。） 第24题 【解析】由 ，得 ，即 y-x = 4xy，x-y = -4xy。 分子 = 2x + 3xy - 2y = 2(x-y) + 3xy = 2(-4xy) + 3xy = -8xy + 3xy = -5xy 分母 = x - 2xy - y = (x-y) - 2xy = -4xy - 2xy = -6xy 原式 = = 教师寄语： 恭喜同学们完成了分式单元的全面复习！从分式概念到基本性质，从分式运算到分式方程，每一步都是数学思维的重要训练。分式之所以“难”，在于它要求我们比整式多一分细心和严谨——分母不为零是一条贯穿始终的红线。单元复习不是知识的简单重复，而是体系的建立和深化。希望同学们在反复练习中，不仅掌握解题技巧，更能体会分式的本质规律，为后续的函数、方程学习打下坚实基础。数学之路漫长而精彩，愿你们每一步都走得踏实而坚定！ 学科网（北京）股份有限公司 $