第10章 分式（高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级下册

第10章 分式 教学 目标 1.构建完整的分式认知体系‌：从实际情境中抽象出分式模型，理解分式的定义，并掌握其有/无意义、值为零的条件。 2.掌握分式的基本性质与运算规则‌：理解“分子分母同乘（或除）同一个不等于零的整式，分式的值不变”的核心性质；能熟练进行分式的加、减、乘、除及乘方运算，强调“先因式分解 → 再约分 → 最后计算”的优化策略。 3.发展数学思想与思维能力‌：通过类比分数，迁移学习分式，强化“数式通性”意识；在运算和建模中渗透化归、分类讨论、符号意识等数学思想，提升抽象思维与逻辑推理能力。 4.掌握分式方程的解法与应用‌：会解可化为一元一次方程的分式方程，理解“去分母”可能产生增根的原因，5.掌握“去分母→解整式方程→检验→写结论”的标准流程；能列分式方程解决工程、行程等实际问题，发展数学建模能力。 教学 重难点 1. 重点 （1）分式运算的综合掌握‌：包括通分、约分、加减乘除运算，尤其是异分母分式加减和复杂分式乘除的规范计算，是本章知识的核心体现。 （2）分式方程的解法与检验‌：重点在于“去分母”的转化思想和‌检验环节的落实‌，确保学生形成严谨的解题习惯，避免因忽略增根而导致错误。 2. 难点 （1）分式运算中的符号与结构处理‌：当分子或分母为多项式时，学生在因式分解、找最简公分母、通分变形及约分过程中易出错，尤其涉及括号与符号变化时更易混淆。 （2）增根的理解与辨析‌：学生难以理解“增根”并非计算错误，而是代数变形中定义域扩大的结果，需通过具体反例帮助建立正确认知。 （3）实际问题中的建模能力‌：将文字语言转化为分式或分式方程模型，对学生的阅读理解、抽象概括能力要求较高，是常见的应用难点。 考点01 分式的概念 1）分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式（fraction），其中A为分子，B为分母，且B≠0。 2）分式的值：用具体的数值代替分式中的字母，那么分式就变成分数的算式，运算结果就是相应的分式值。 3）分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零；（2）分式无意义的条件是分母等于零； （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号；（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。 4）分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。 切记：“分母不为零”这个条件不能少。 【题型1】分式有/无意义/值为零的条件 1．（25-26八年级上·重庆·月考）根据下列表格信息，y可能是（　　） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．当时，分母，不合题意； B．当时，分母，当时，分子，符合题意； C．当时，分子，不合题意； D．当时，分母，不合题意；故选：B． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0； B．当时，有意义； C．无论为何值，的值不可能是正整数 D．无论为何值，总有意义 【答案】D 【详解】解：A、当时，分式无意义，故判断错误； B、当时，有意义，故判断错误；C、当时，的值是正整数3，故判断错误； D、由于，则无论为何值，总有意义，故判断正确；故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏·月考）若分式的值为，则等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，且，解得． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期末）关于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式有意义 B．当时，分式的值为 C．当时，分式没有意义 D．当时，分式的值为 【答案】B 【详解】、当时，，分式有意义，该选项说法正确，不合题意； 、当时，，有可能等于，故分式可能无意义，该选项说法错误，符合题意； 、当时，，分式没有意义，该选项说法正确，不合题意； 、当时，，，分式的值为，该选项说法正确，不合题意；故选：． 【题型2】分式值为正、负、整数的条件 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若分式的值为正数，则x的取值范围是______． 【答案】 【详解】分式 的分子为 1，是正数，因此分式值为正数时，分母 必须大于 0，即 ． 解得：．故答案为：． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式的值为负数，则x的取值范围是_______________． 【答案】 【详解】解：∵分式的值为正数，且分子，∴分母，解得， 又∵分母，即，而已满足此条件，故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数，∴为整数， ∴或，∴或2或5或1，故选：D． 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为______． 【答案】6或 【详解】解：， ∵分式的值是大于2的整数，且x是整数， ∴或，解得：或，故答案：6或． 5．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于真分式的是_____；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式；(3)若假分式的值是整数，求整数x的值． 【答案】(1)③(2)2+(3)整数x的值为或或或． 【详解】（1）根据真分式的定义，属于真分式的是③．故答案为：③； （2）解：； （3）解：由（2），得， ∵假分式的值是整数，∴是整数．∴或． ∴或或或．∴整数x的值为或或或． 【题型3】根据要求构造分式与分式的规律探究 1．（25-26八年级上·重庆·期中）请写出一个分式，使其只含有字母a，且无论a取何数分式都有意义：______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由于对于所有实数，有，因此， 所以无论取何实数，该分式都有意义．故答案为：． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）写一个分式同时满足：①只含一个字母x； ②当时，分式的值为0：_______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：“只含有字母，且当时分式的值为”的分式为，故答案为：（答案不唯一）． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）一组按规律排列的式子：，，，，，则第10个式子是___________． 【答案】 【详解】解：由题意可得：分子依次为2,，4，6，8，…，可表示为； 分母依次为，，，，，可表示为，因此第个式子为， 当时，分子为20，分母为，故第10个式子为，故答案为：． 4.（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，，，，（为正整数）．像，，，这样分子为1，分母是正整数的分数叫作单位分数．借助上述思路解决以下问题：对于任意正整数，将写成两个不同的单位分数相加，即___________．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：由已知条件中的等式 ，可得． 令，代入，得． ∴对于任意正整数 ，有 ．故答案为：． 5．（25-26七年级上·浙江金华·期中）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______． 【答案】 【详解】解：对于，分母，则第一个单位分数的分母为，第二个单位分数的分母为 ，故 ． 对于任意正整数，设分母 ，则第一个单位分数的分母为 ，第二个单位分数的分母为，故 ．故答案为：，． 6．（25-26八年级下·安徽·期中）观察下列分式：，，，，…．其中． (1)试写出第5个分式 ．(2)试写出第（为正整数）个分式． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：观察分式符号：第个正，第个负，第个正，第个负，规律为奇正偶负，第个为正； 分子中的指数：， 第个指数为；分母中的指数：，第个指数为，所以第个分式为． （2）解：符号：；分子的指数：；分母的指数：，故第个分式为． 考点02 分式的基本性质 1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 即： 或 ，其中A，B，C均为整式。 2）分式的约分：与分数的约分类似，根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以他们的公因式，叫作分式的约分（reduction of a fraction）。 3）最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这样的分式叫作最简分式（simplest fraction）。约分通常要把分式化成最简分式或整式。 4）分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫作分式的通分（reduction of fractions to a denominator）。变形后的分母叫作这几个分式的公分母。 5）最简公分母：如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数时）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫作这几个分式的最简公分母。 【题型1】分式的基本性质的运用 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵分式的分子、分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变， A选项：的分子、分母是加1，并非同乘除不为0的整式，无法约分为，例如取，时，，，故A错误，该选项不符合题意； B选项：∵，∴，变形符合分式基本性质，B正确，该选项符合题意； C选项：仅当或，时等于，一般情况不成立，例如取，时，，故C错误，该选项不符合题意； D选项：∵（平方差公式），且分式有意义时 ∴，故D错误，该选项不符合题意；故选：B． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】A 【详解】解：由题意，将原分式中x换为，y换为，===， ∴ 新分式的值是原分式值的2倍 ． 3．（25-26八年级上·河北唐山·月考）已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入_____． 【答案】/ 【详解】解：∵，均为非0常数，∴，故答案为：． 4．（25-26八年级上·广东珠海·期末）不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 【答案】 【详解】分子和分母中系数的分母分别为和，最小公倍数为，用同时乘分子和分母： 分子：；分母：；故答案为： ． 5．（25-26八年级下·江苏·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型2】约分与最简分式 1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A中，=，分子分母存在公因式，∴不是最简分式； ∵ 选项B中，=，分子分母存在公因式，∴不是最简分式； ∵ 选项C中，分子与分母没有除1以外的公因式，∴是最简分式； ∵ 选项D中，=，分子分母存在公因式，∴不是最简分式. 2．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）下列分式中，最简分式是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的分子分母有公因式，约分后为，∴不是最简分式； ∵，的分子分母有公因式，约分后为，∴不是最简分式； ∵在初中范围内无法分解因式，且与分母无公因式，∴是最简分式； ∵，的分子分母有公因式，约分后为，∴不是最简分式． 综上，选项C符合题意． 3．（25-26八年级上·广东东莞·期末）约分的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，分子分母同时除以，∴．故选：C． 4．（25-26八年级上·江西南昌·期末）约分：________． 【答案】 【详解】解：故答案为：． 【题型3】通分与最简公分母 1．（25-26八年级下·江苏常州·月考）分式，的最简公分母________． 【答案】 【详解】解：由题意得，分式与的最简公分母为． 2．（24-25九年级下·吉林长春·月考）分式与的最简公分母是______． 【答案】 【详解】解：，分式与的最简公分母是． 3．（25-26八年级下·广东·期中）对分式，，进行通分，通分的结果分别是_____． 【答案】 【详解】解：各分式的分母分别为，，，其中=，因此最简公分母为. 对于，分子和分母同乘，得;对于，分子和分母同乘，得; 对于，分母已是，保持不变，为.故答案为：，，. 4．（25-26八年级上·重庆·期中）通分： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)，(2)， (3)，， 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：，，． 考点03 分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 即：。 （2）异分母分式加减法法则：先通分，再加减。 即：。 【题型1】分式加减混合运算 1．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图：a、b分别表示图中线段和射线的条数，则代数式__________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：图中线段有3条，射线有6条，∴， ， 当时，原式．故答案为： 2．（2025·陕西榆林·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ． 4．（25-26七年级下·浙江·专题练习）计算：(1)；(2) (3)；(4)；(5)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 （4）解：原式； （5）解：原式． 【题型2】分式加减的运用-错题订正 1．（24-25九年级下·江西吉安·期中）小乐同学化简的过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 (1)小乐同学化简的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程中从第 步开始出现错误． (2)请你书写正确的化简过程和结果 【答案】(1)因式分解，三(2)过程见解析， 【详解】（1）解：小乐同学化简的第一步是因式分解；第三步出现错误，原因是去括号时，第二项没有变号；故答案为：因式分解，三； （2）解：原式． 2．（25-26九年级下·河北邯郸·月考）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式…………第一步 …………第二步 ．…………第三步 习题2：解方程 解：．…………第一步 …………第二步 ．…………第三步 检验：当时， 是原方程的增根， 原方程无解．…………第四步 (1)习题1的解答过程从第___步开始出现错误，习题2的解答过程从第___步开始出现错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，一(2)见详解 【详解】（1）解：根据完全平方公式判断习题1的第二步开始出现错误， 根据分式方程去分母这一步骤判断习题2的第一步出现错误． （2）解：习题1： 习题2： 检验：当时，是原方程的解． 3．（24-25八年级下·山西临汾·期末）（1）化简：； （2）下面是小明计算分式的过程，请认真阅读，完成下列任务： 解：原式    ……………………第一步         ……………………第二步         ……………………第三步 ．        ……………………第四步 任务一： ①第一步变形采用的方法是_________； ②第_________步开始出现错误； 任务二： ③请直接写出正确的结果，该结果是_________． 【答案】（1）（2）①因式分解②三③ 【详解】解：（1） ； （2）解： ， 任务一：①第一步变形采用的方法是因式分解；②第三步开始出现错误； 任务二：③请直接写出正确的结果，该结果是． 故答案为：①因式分解；②三；任务二：③． 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）小张同学在解答一道分式计算的作业题时，化简过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………………………………① …………………………………………② ……………………………………………………③ ……………………………………………………④ (1)上面的解题过程中从哪个步骤开始出现错误，这一步骤是______（填入编号）． (2)请完整地写出正确的解答过程． 【答案】(1)①(2)见解析 【详解】（1）原式，故选①， （2）原式． 【题型3】分式的整体求值问题 1．（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）若，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，∴，即，∴ ∵，∴．故答案为：． 2．（2026八年级·贵州遵义·培优）已知，则______． 【答案】 【详解】解：对通分，得，整理得 ， 所以． 3．（24-25七年级下·广西贵港·月考）已知，则的值为___________． 【答案】13 【详解】解：∵，∴，， 代入得：，整理得 ， 因此 ．故答案为：13． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知非零实数x，y满足，则的值等于______． 【答案】6 【详解】解：∵非零实数x，y满足， ∴，故答案为：6． 【题型4】分式加减的运用-实际应用与材料阅读 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数，那么称这个点为“正整点”．函数图像上“正整点”的坐标为_______． 【答案】 【详解】解：∵函数图像上“正整点”， ∴，为正整数， 当时，无意义，不符合题意； 当时，，即“正整点”的坐标为． 当时，为小于1的正分数，不可能为整数，不符合题意． 综上，函数图像上“正整点”的坐标为．故答案为：． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【答案】(1)，，，(2)小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元，小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：，而，，，所以 从而，即．因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 3．（25-26八年级上·上海·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； (3)已知分式、，且B与互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 【答案】(1)5(2)(3) 【详解】（1）解：，∴分式与互为“5阶分式”； （2）解：∵分式与A互为“4阶分式”，∴， ∴； （3）解：∵、，且B与互为“2阶分式”， ∴，即，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】（1），；（2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：；（3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时，，，甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，，乙船先返回A港． 【详解】解：（1）∵a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为， ∴再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． ∵， ∵，，∴，，， ∴，∴，∴由此我们可以得到一个不等式，故答案为：，； （2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：，理由如下： ∵， ∵，，∴，，，∴，∴； （3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时，∵，∴， 由（2）得，，∴，∴， ∵，，∴，甲船先返回A港， 当甲、乙两船返航时为顺流航行时，∵，∴， 由（1）得，，∴，∴， ∵，，∴，乙船先返回A港， 综上，当甲、乙两船返航时为逆流航行时，，甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，，乙船先返回A港． 考点04 分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；即：。 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；即：。 3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方；即：为正整数， 。 4）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算。 5）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的。 6）分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。 【题型1】分式乘除乘方混合运算 1．（25-26八年级上·北京通州·期中）计算： （1）．（2）．（3）． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1）解： （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 2．（25-26八年级上·四川南充·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4) (5)；(6) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算：（1）．（2） 【答案】（1）（2） 【详解】（1）解：． （2）解： ． 【题型2】分式加减乘除混合运算 1．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）化简：（1）．（2） 【答案】（1）．（2） 【详解】（1）解： ， 【详解】解： ， 3．（25-26八年级下·四川内江·月考）化简：（1）．（2） 【答案】（1），（2） 【详解】（1）解： （2）解： ， 【题型3】分式混合运算中的遮挡与错解问题 1．（25-26八年级上·广东湛江·期末）下面的分式化简题呈现了小明的正确的解答过程（部分），但部分式子被遮挡． 解： (1)请求出被遮挡部分的式子；(2)先补充化简，再求值，其中从2，5，7中取一个合适的数代入求值． 【答案】(1)(2)，12 【详解】（1）解：由题意可得， ∴，； （2）解：原式，，，， 要使分式有意义，则，∴且，∴当时，原式． 2．（25-26八年级上·广东·课后作业）计算：． 原式第一步 ．第二步 回答：(1)上述过程中，第一步使用的公式用字母表示为______________________________； (2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是__________； (3)以上两步中，第__________步出现错误，本题的正确答案是__________． 【答案】(1)，(2)约分(3)二， 【详解】（1）解：第一步使用的公式是完全平方公式和平方差公式， 即，； 故答案为：，； （2）解：第二步所使用的运算方法是约分；故答案为：约分； （3）解：第二步出现错误，， 故答案为：二，． 3．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下： 解：原式① ② ③ 这位同学的错误出现在第___________步．请你写出这道题的正确解答过程，并从，1，三个数字中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】②； 【分析】本题考查了分式的化简求值．根据分式混合运算的法则计算即可． 【详解】解：这位同学的错误出现在第②步， 原式， 要使分式有意义，不能取，1，取．当时，原式． 4．（24-25七年级上·广西南宁·月考）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”． 接力游戏 老师：化简：   甲同学：原式 乙同学： 丙同学： 丁同学： ． 规则如下：四位同学分别完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕． 请根据上表的“接力游戏”回答问题： (1)在“接力游戏”中，丁同学是依据______进行变形的． A．等式的基本性质B．不等式的基本性质C．分式的基本性质 D．乘法分配律 (2)在“接力游戏”中，该分式的化简结果______（ 填“正确”或“错误”），若化简结果错误，从______同学开始出现错误，并写出该分式化简的正确解答过程． 【答案】(1)C(2)错误，丙，见解析 【详解】（1）解：由题意得，丁同学是依据分式的基本性质进行变形的，故选；C； （2）解：观察解题过程可知，该分式的化简结果错误，从丙同学开始出现错误的，原因是第二个分式的分母应该是完全平方公式分解因式，而不是平方差公式分解因式， 正确过程如下：   原式 ． 【题型4】分式化简求值 1．（2026·陕西西安·三模）先化简：，再从，1，2中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【详解】解：原式； 由于，，当时，原式． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：； 当时，原式． 3．（2026·安徽合肥·一模）先化简，再求值： ，其中 【答案】，10 【详解】解：原式， 当，原式． 4．（2026·福建三明·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【详解】解：， ，当时，原式． 5．（2026·安徽合肥·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式， 当时，原式． 【题型5】分式混合运算综合运用（实际应用、新定义与阅读材料） 1．（2026·河南周口·一模）某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料和，原料的质量为（单位：），原料的质量为（单位：），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 2．（2025·江苏连云港·二模）2025年我国黄海休渔时间表：5月1日中午12点到9月16日中午12点．受休渔影响，“五一”期间皮皮虾的价格波动较大．小明家“五一”期间购买了两次皮皮虾，两次价格不同．现有两种购买方案，小明的购买方案：每次购买的总金额固定；小明妈妈购买方案：每次所购买的数量固定．若规定平均单价越低，则该购买方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（　　） A．小明妈妈方案实惠 B．小明方案实惠 C．两种方案一样实惠 D．哪种方案实惠需由两次单价决定 【答案】B 【详解】解：设两次购买的皮皮虾单价分别为a，，且， 小明方案：设购买的皮皮虾的总金额为W，则平均价格； 小明妈妈方案：设每次购买的数量为N，则平均价格， 则， ∵∴，，∴，∴，小明方案实惠．故选：B． 3．（24-25八年级上·河北邢台·期末）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，若将第2023次显示结果记为，2024次显示结果记为，则的值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：由题知，因为最初输入，所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为；第3次显示结果为；第4次显示结果为； ，由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，，则．故选：A． 4．（25-26七年级上·上海·期中）定义新运算，若，计算___________． 【答案】 【详解】解：∵；∴ ，∴ ∴ 故答案为：． 考点05 分式方程的概念 1）分式方程：等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程叫做分式方程（fractional equation）。 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数。 2）分式方程的解：使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解。 3）解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论。 （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解。 ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解。 所以解分式方程时，一定要检验。 4）增根：在分式方程变形为整式方程时，该整式方程有可能产生不适合原方程的根（即使原方程的最简公分母为零），这样的解称为原方程的增根。（extraneous root） 5）分式方程的应用 ①列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． ②要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【题型1】分式方程的解 1．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 分式方程的解是，∴ 将代入原方程，得 ， 整理得 ，交叉相乘，得 ，解得 ， 检验：当时，原方程分母，，符合分式方程要求，∴ 的值为，故选D． 2．（25-26八年级上·云南怒江·期末）若关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】解：由题意得,解得，故选：D． 3．（24-25八年级下·广东·期中）若关于的方程的解与方程的解相同，则等于（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：方程，去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解， 把代入得：，即 去分母整理得：，解得：，经检验是分式方程的解，故选：B． 4．（24-25七年级下·安徽·月考）关于x的分式方程. （1）若该方程的解为，则m的值为______； （2）若该方程的解为正数，则m的取值范围是______. 【答案】 且 【详解】（1）把代入原方程，可得，解得，故答案为：； （2）对于，去分母，得，解得， 因为方程的解为正数，∴，且，即，且，解得且； 故答案为：且. 【题型2】解分式方程（可化为一元一次方程） 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）解下列分式方程：(1)；(2) 【答案】(1)(2)无解 【详解】（1）解：方程两边同乘得， ， ， 检验：当时，， 原方程的解为； （2）解：方程两边同乘得， ， ， ， 检验：当时，， 是增根，原方程无解． 2．（24-25八年级下·山东青岛·月考）解方程：(1)；(2)． 【答案】(1)(2)无解 【详解】（1）解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： 解得 经检验，是增根， ∴原方程无解． 3．（25-26八年级上·山东泰安·月考）解方程：(1)；(2) 【答案】(1)(2)该分式方程无解 【详解】（1）解：， 两边同时乘以，得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 经检验，为原方程的解． （2）解：， 两边同时乘以，得， 化简得， 系数化为1得， 当时，， 故该分式方程无解． 4．（25-26八年级下·河南周口·月考）解方程：(1)；(2)． 【答案】(1)原方程无解.(2) 【详解】（1）解：方程两边同乘以， 得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 故原分式方程无解； （2） 解：方程两边同乘以， 得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， 故原分式方程的解为． 【题型3】分式方程特殊解法问题或分式方程错解问题 1．（25-26八年级上·广西来宾·期末）下面是小军求解分式方程的过程中存在的错误，请指出他从第几步开始出现错误．（　　） 方程两边都乘，得    第一步 解这个方程得：   第二步 检验：将代入第一步方程，左边=右边     第三步 所以，是原分式方程的解     第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】C 【详解】解：∵第一步方程两边同乘，得到，去分母操作正确，∴第一步无错误； ∵对整理计算，得，代数运算正确，∴第二步无错误； ∵分式方程检验需要将所得解代入原方程，判断原方程是否有意义． 当时，原方程分母，原方程无意义，是增根，小军错误地将解代入去分母后的方程检验，因此第三步开始出错． ∴错误从第三步开始． 2．（25-26八年级上·河南·期末）对于分式方程，小叶同学的求解过程如下． 解：第一步：方程两边乘，得． 第二步：． 第三步：． 第四步：检验：当时，． 所以，是分式方程的解． 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_________________________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一；去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母(2)无解，过程见解析 【详解】（1）解：小叶在第一步去分母时发生了错误， 去分母应把等式的两边同时乘以公分母， 小叶去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母； 故答案为：一，去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的增根，原分式方程无解． 3．（25-26八年级下·江苏南京·月考）形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题：(1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．(3)若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值． 【答案】(1)2；5(2)7(3)或或或 【详解】（1）解：∵，∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵十字分式方程的两个解分别为，，∴， ∴； （3）解：∵，∴，∴， 又∵，∴方程是“十字分式方程”， ∵关于x的方程的两个解是，， ∴，∴，∴， ∵是整数，∴是的整数，即是整数， 又∵k是整数， ∴或，∴或或或． 4．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于x的方程的解为，，反过来，关于x的方程的解为，，则也成立． (1)理解应用：方程的解为：________，________； (2)知识迁移，若关于x的方程的解为，，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，，求的值． 【答案】(1)5，；(2)43；(3)8． 【详解】（1）解：的解为，， 的解为或，故答案为：5，； （2）解：方程，根据题意设，，； （3）解：方程， 设，方程变形为，，， ，，又，，，， 或，，，，， ∴， 将，代入原式可得：． 【题型4】根据分式方程解的情况求参数值 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）若分式方程有增根，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵分式方程有增根，且分母为和，∴，∴增根为， 将原方程两边同乘去分母，得： 把代入整式方程，得：；解得． 2．（25-26九年级下·福建·开学考试）若关于的分式方程的解不小于2，求的取值范围． 【答案】且 【详解】解：，方程两边同乘以，得，解得，， ∵方程的解不小于2，且，解得且． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知关于x的方程的解为负数，求a的取值范围． 【答案】且 【详解】解：，移项得， 两边同乘最简公分母去分母得： 整理得：，解得 ∵方程的解为负数，因此，即：，解得 ∵分式方程分母不能为0，因此且； 若，则，解得，此时方程产生增根，无解，因此 综上，的取值范围是且． 4．（2026八年级下·山东·专题练习）已知解关于的方程时不会产生增根，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：解分式方程，变形右边： 两边同乘；去分母：；解得． 当，即时，分式方程有增根．把代入，得． 分式方程不会产生增根，． 5．（2026八年级下·成都·专题练习）若关于的分式方程有解，求的取值范围． 【答案】且 【详解】解：去分母，得，整理得，即， 当，即时，， 当且时，分式方程有解，解得：；则的取值范围是且． 6．（24-25八年级上·重庆期中）关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值；(2)若方程无解，求的取值；(3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 【答案】(1)或(2)或或(3)或 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得，移项、合并同类项，得， 当时，得，解得； 当时，得，解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵，∴当时原分式方程无解，∴， ∵当或时方程有增根，∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵，∴， ∵方程的解为整数，∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，；∴或． 【题型5】分式方程的实际应用（行程、工程、经济等问题） 1．（25-26九年级上·云南昆明·月考）从昆明站至丽江站，现有的动车线路里程大约为510公里．随着昆丽高铁（目前在建设中，预计将于2027年开通）的竣工，新线路的里程将缩减至约442公里．假设未来高铁的平均速度是目前动车平均速度的2倍，那么从昆明站到丽江站乘坐高铁所需的时间将比现在乘坐动车少1.7小时．求未来高铁的平均速度． 【答案】未来高铁的平均速度为340公里/小时． 【详解】解：设动车的平均速度为公里/小时，则未来高铁的平均速度为公里/小时， 依题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，∴. 答：未来高铁的平均速度为340公里/小时． 2．（25-26九年级上·重庆·期中）科技兴趣小组分别编制了甲、乙两款人工智能软件． (1)用甲软件解5个同等难度方程的时间与用乙软件解2个同等难度方程的时间之和为90秒，用甲软件解3个同等难度方程的时间与用乙软件解4个同等难度方程的时间之和为96秒．求甲、乙两款软件解一个同等难度方程所用的时间各是多少秒？ (2)科技小组对甲款软轨件进行了算法优化，优化后的软件解同一个方程所用时间为优化前的，用时96秒时，优化后的软件所解方程的个数比优化前的软件多2个，求甲软件优化前与优化后解一个同等难度方程所用的时间分别是多少秒？ 【答案】(1)甲软件解一个方程用12秒，乙软件用15秒(2)甲软件优化前解一个方程用12秒，优化后用秒 【详解】（1）解：设甲软件解一个方程所用时间为x秒，乙软件解一个方程所用时间为y秒， 根据题意，得解得， 所以甲软件解一个方程用12秒，乙软件用15秒； （2）解：设甲软件优化前解一个方程所用时间为t秒，则优化后所用时间为秒， 在96秒内，优化前软件解方程个数为，优化后为 根据题意，得，所以即解得 检验：是原分式方程的解，所以优化前用12秒，优化后用秒． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）“读万卷书，行万里路”，某中学组织学生赴三星堆旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到三星堆文化，研学基地特设了青铜器皿制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36件青铜器皿，已知乙队每小时比甲队多制作6件，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的倍． (1)求甲、乙两队每小时各制作多少件青铜器皿？ (2)制作活动开始1小时后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少件才能保证在乘车前完成任务． 【答案】(1)甲队每小时制作12件青铜器皿，乙队每小时制作18件青铜器皿(2)不能，12件 【详解】（1）解：设甲队每小时制作x件青铜器皿，则乙队每小时制作件青铜器皿， 根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 件 答：甲队每小时制作12件青铜器皿，乙队每小时制作18件青铜器皿； （2）解：第1小时甲、乙两队共制作：（件）， 总任务为（件），剩下的任务为（件）． 合作时，甲、乙两队每小时共制作（件）， 因为，所以他们不能在乘车前完成任务． 设两队合作后每小时需要多做件才能保证在乘车前完成任务， 根据题意得：，解得：．所以的最小值为12． 答：不能在乘车前完成任务，两队合作后每小时至少需要多做12件才能保证在乘车前完成任务． 4．（25-26九年级下·河北沧州·月考）项目学习方案： 项目情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用320元购买的A种花卉的数量为x枝，由题意得，方程：______①； 小组成员乙设______②，由题意得，方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己在单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求m的值 (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______；(2)完成任务二． 【答案】(1)；每枝A种花卉的价格为a元(2) 【详解】（1）解：根据题意，得． ，表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量， 即小组成员乙设每枝种花卉的价格为元．故答案为：；每枝A种花卉的价格为a元． （2）解：由题意得，解得，经检验，是原分式方程的解，∴． 5．（25-26八年级上·陕西延安·期末）2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件． (1)求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ (2)若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？ 【答案】(1)每件A款人形机器人售价为20万元.每件B款人形机器人售价为18万元 (2)最少预约销售了A款人形机器人10件 【详解】（1）解：设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，根据题意得，解得 ， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 则， 答：每件A款人形机器人售价为20万元，每件B款人形机器人售价为18万元； （2）解：设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据题意得 ，解得， 答：最少预约销售了A款人形机器人10件． 6．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：50L 电池容量： 油价：8元 电价：元 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：________元 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用________元．(2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】(1)(2)燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元 (3)每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低 【详解】（1）解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为（元）； （2）解：由题意得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意；，， ∴燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； （3）解：设每年行驶的里程为m千米，由题意得，，解得， 答：每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 分式 教学 目标 1.构建完整的分式认知体系‌：从实际情境中抽象出分式模型，理解分式的定义，并掌握其有/无意义、值为零的条件。 2.掌握分式的基本性质与运算规则‌：理解“分子分母同乘（或除）同一个不等于零的整式，分式的值不变”的核心性质；能熟练进行分式的加、减、乘、除及乘方运算，强调“先因式分解 → 再约分 → 最后计算”的优化策略。 3.发展数学思想与思维能力‌：通过类比分数，迁移学习分式，强化“数式通性”意识；在运算和建模中渗透化归、分类讨论、符号意识等数学思想，提升抽象思维与逻辑推理能力。 4.掌握分式方程的解法与应用‌：会解可化为一元一次方程的分式方程，理解“去分母”可能产生增根的原因，5.掌握“去分母→解整式方程→检验→写结论”的标准流程；能列分式方程解决工程、行程等实际问题，发展数学建模能力。 教学 重难点 1. 重点 （1）分式运算的综合掌握‌：包括通分、约分、加减乘除运算，尤其是异分母分式加减和复杂分式乘除的规范计算，是本章知识的核心体现。 （2）分式方程的解法与检验‌：重点在于“去分母”的转化思想和‌检验环节的落实‌，确保学生形成严谨的解题习惯，避免因忽略增根而导致错误。 2. 难点 （1）分式运算中的符号与结构处理‌：当分子或分母为多项式时，学生在因式分解、找最简公分母、通分变形及约分过程中易出错，尤其涉及括号与符号变化时更易混淆。 （2）增根的理解与辨析‌：学生难以理解“增根”并非计算错误，而是代数变形中定义域扩大的结果，需通过具体反例帮助建立正确认知。 （3）实际问题中的建模能力‌：将文字语言转化为分式或分式方程模型，对学生的阅读理解、抽象概括能力要求较高，是常见的应用难点。 考点01 分式的概念 1）分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式（fraction），其中A为分子，B为分母，且B≠0。 2）分式的值：用具体的数值代替分式中的字母，那么分式就变成分数的算式，运算结果就是相应的分式值。 3）分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零；（2）分式无意义的条件是分母等于零； （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号；（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。 4）分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。 切记：“分母不为零”这个条件不能少。 【题型1】分式有/无意义/值为零的条件 1．（25-26八年级上·重庆·月考）根据下列表格信息，y可能是（　　） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0； B．当时，有意义； C．无论为何值，的值不可能是正整数 D．无论为何值，总有意义 3．（24-25八年级下·江苏·月考）若分式的值为，则等于（   ） A．3 B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期末）关于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式有意义 B．当时，分式的值为 C．当时，分式没有意义 D．当时，分式的值为 【题型2】分式值为正、负、整数的条件 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若分式的值为正数，则x的取值范围是______． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式的值为负数，则x的取值范围是_______________． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为______． 5．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于真分式的是_____；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式；(3)若假分式的值是整数，求整数x的值． 【题型3】根据要求构造分式与分式的规律探究 1．（25-26八年级上·重庆·期中）请写出一个分式，使其只含有字母a，且无论a取何数分式都有意义：______． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）写一个分式同时满足：①只含一个字母x； ②当时，分式的值为0：_______． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）一组按规律排列的式子：，，，，，则第10个式子是___________． 4.（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，，，，（为正整数）．像，，，这样分子为1，分母是正整数的分数叫作单位分数．借助上述思路解决以下问题：对于任意正整数，将写成两个不同的单位分数相加，即___________．（结果用含的代数式表示） 5．（25-26七年级上·浙江金华·期中）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______． 6．（25-26八年级下·安徽·期中）观察下列分式：，，，，…．其中． (1)试写出第5个分式 ．(2)试写出第（为正整数）个分式． 考点02 分式的基本性质 1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 即： 或 ，其中A，B，C均为整式。 2）分式的约分：与分数的约分类似，根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以他们的公因式，叫作分式的约分（reduction of a fraction）。 3）最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这样的分式叫作最简分式（simplest fraction）。约分通常要把分式化成最简分式或整式。 4）分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫作分式的通分（reduction of fractions to a denominator）。变形后的分母叫作这几个分式的公分母。 5）最简公分母：如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数时）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫作这几个分式的最简公分母。 【题型1】分式的基本性质的运用 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 3．（25-26八年级上·河北唐山·月考）已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入_____． 4．（25-26八年级上·广东珠海·期末）不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 5．（25-26八年级下·江苏·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【题型2】约分与最简分式 1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）下列分式中，最简分式是 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东东莞·期末）约分的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江西南昌·期末）约分：________． 【题型3】通分与最简公分母 1．（25-26八年级下·江苏常州·月考）分式，的最简公分母________． 2．（24-25九年级下·吉林长春·月考）分式与的最简公分母是______． 3．（25-26八年级下·广东·期中）对分式，，进行通分，通分的结果分别是_____． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）通分： (1)；(2)；(3)． 考点03 分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 即：。 （2）异分母分式加减法法则：先通分，再加减。 即：。 【题型1】分式加减混合运算 1．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图：a、b分别表示图中线段和射线的条数，则代数式__________． 2．（2025·陕西榆林·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）计算：(1)；(2)． 4．（25-26七年级下·浙江·专题练习）计算：(1)；(2) (3)；(4)；(5)． 【题型2】分式加减的运用-错题订正 1．（24-25九年级下·江西吉安·期中）小乐同学化简的过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 (1)小乐同学化简的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程中从第 步开始出现错误． (2)请你书写正确的化简过程和结果 2．（25-26九年级下·河北邯郸·月考）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式…………第一步 …………第二步 ．…………第三步 习题2：解方程 解：．…………第一步 …………第二步 ．…………第三步 检验：当时， 是原方程的增根， 原方程无解．…………第四步 (1)习题1的解答过程从第___步开始出现错误，习题2的解答过程从第___步开始出现错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 3．（24-25八年级下·山西临汾·期末）（1）化简：； （2）下面是小明计算分式的过程，请认真阅读，完成下列任务： 解：原式    ……………………第一步         ……………………第二步         ……………………第三步 ．        ……………………第四步 任务一： ①第一步变形采用的方法是_________； ②第_________步开始出现错误； 任务二： ③请直接写出正确的结果，该结果是_________． 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）小张同学在解答一道分式计算的作业题时，化简过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………………………………① …………………………………………② ……………………………………………………③ ……………………………………………………④ (1)上面的解题过程中从哪个步骤开始出现错误，这一步骤是______（填入编号）． (2)请完整地写出正确的解答过程． 【题型3】分式的整体求值问题 1．（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）若，则的值为______． 2．（2026八年级·贵州遵义·培优）已知，则______． 3．（24-25七年级下·广西贵港·月考）已知，则的值为___________． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知非零实数x，y满足，则的值等于______． 【题型4】分式加减的运用-实际应用与材料阅读 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数，那么称这个点为“正整点”．函数图像上“正整点”的坐标为_______． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 3．（25-26八年级上·上海·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； (3)已知分式、，且B与互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 考点04 分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；即：。 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；即：。 3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方；即：为正整数， 。 4）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算。 5）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的。 6）分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。 【题型1】分式乘除乘方混合运算 1．（25-26八年级上·北京通州·期中）计算： （1）．（2）．（3）． 2．（25-26八年级上·四川南充·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4) (5)；(6) 3．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算：（1）．（2） 【题型2】分式加减乘除混合运算 1．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1)；(2)；(3)． 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）化简：（1）．（2） 3．（25-26八年级下·四川内江·月考）化简：（1）．（2） 【题型3】分式混合运算中的遮挡与错解问题 1．（25-26八年级上·广东湛江·期末）下面的分式化简题呈现了小明的正确的解答过程（部分），但部分式子被遮挡． 解： (1)请求出被遮挡部分的式子；(2)先补充化简，再求值，其中从2，5，7中取一个合适的数代入求值． 2．（25-26八年级上·广东·课后作业）计算：． 原式第一步 ．第二步 回答：(1)上述过程中，第一步使用的公式用字母表示为______________________________； (2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是__________； (3)以上两步中，第__________步出现错误，本题的正确答案是__________． 3．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下： 解：原式① ② ③ 这位同学的错误出现在第___________步．请你写出这道题的正确解答过程，并从，1，三个数字中选择一个合适的数作为的值代入求值． 4．（24-25七年级上·广西南宁·月考）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”． 接力游戏 老师：化简：   甲同学：原式 乙同学： 丙同学： 丁同学： ． 规则如下：四位同学分别完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕． 请根据上表的“接力游戏”回答问题： (1)在“接力游戏”中，丁同学是依据______进行变形的． A．等式的基本性质B．不等式的基本性质C．分式的基本性质 D．乘法分配律 (2)在“接力游戏”中，该分式的化简结果______（ 填“正确”或“错误”），若化简结果错误，从______同学开始出现错误，并写出该分式化简的正确解答过程． 【题型4】分式化简求值 1．（2026·陕西西安·三模）先化简：，再从，1，2中选一个合适的数代入求值． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）先化简，再求值：，其中． 3．（2026·安徽合肥·一模）先化简，再求值： ，其中 4．（2026·福建三明·一模）先化简，再求值：，其中． 5．（2026·安徽合肥·一模）先化简，再求值：，其中． 【题型5】分式混合运算综合运用（实际应用、新定义与阅读材料） 1．（2026·河南周口·一模）某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料和，原料的质量为（单位：），原料的质量为（单位：），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏连云港·二模）2025年我国黄海休渔时间表：5月1日中午12点到9月16日中午12点．受休渔影响，“五一”期间皮皮虾的价格波动较大．小明家“五一”期间购买了两次皮皮虾，两次价格不同．现有两种购买方案，小明的购买方案：每次购买的总金额固定；小明妈妈购买方案：每次所购买的数量固定．若规定平均单价越低，则该购买方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（　　） A．小明妈妈方案实惠 B．小明方案实惠 C．两种方案一样实惠 D．哪种方案实惠需由两次单价决定 3．（24-25八年级上·河北邢台·期末）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，若将第2023次显示结果记为，2024次显示结果记为，则的值为（　　） A． B．1 C． D． 4．（25-26七年级上·上海·期中）定义新运算，若，计算___________． 考点05 分式方程的概念 1）分式方程：等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程叫做分式方程（fractional equation）。 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数。 2）分式方程的解：使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解。 3）解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论。 （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解。 ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解。 所以解分式方程时，一定要检验。 4）增根：在分式方程变形为整式方程时，该整式方程有可能产生不适合原方程的根（即使原方程的最简公分母为零），这样的解称为原方程的增根。（extraneous root） 5）分式方程的应用 ①列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． ②要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【题型1】分式方程的解 1．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南怒江·期末）若关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 3．（24-25八年级下·广东·期中）若关于的方程的解与方程的解相同，则等于（   ） A．3 B． C．2 D． 4．（24-25七年级下·安徽·月考）关于x的分式方程. （1）若该方程的解为，则m的值为______； （2）若该方程的解为正数，则m的取值范围是______. 【题型2】解分式方程（可化为一元一次方程） 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）解下列分式方程：(1)；(2) 2．（24-25八年级下·山东青岛·月考）解方程：(1)；(2)． 3．（25-26八年级上·山东泰安·月考）解方程：(1)；(2) 4．（25-26八年级下·河南周口·月考）解方程：(1)；(2)． 【题型3】分式方程特殊解法问题或分式方程错解问题 1．（25-26八年级上·广西来宾·期末）下面是小军求解分式方程的过程中存在的错误，请指出他从第几步开始出现错误．（　　） 方程两边都乘，得    第一步 解这个方程得：   第二步 检验：将代入第一步方程，左边=右边     第三步 所以，是原分式方程的解     第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 2．（25-26八年级上·河南·期末）对于分式方程，小叶同学的求解过程如下． 解：第一步：方程两边乘，得． 第二步：． 第三步：． 第四步：检验：当时，． 所以，是分式方程的解． 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_________________________； (2)请写出正确的解答过程． 3．（25-26八年级下·江苏南京·月考）形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题：(1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．(3)若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值． 4．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于x的方程的解为，，反过来，关于x的方程的解为，，则也成立． (1)理解应用：方程的解为：________，________； (2)知识迁移，若关于x的方程的解为，，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，，求的值． 【题型4】根据分式方程解的情况求参数值 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）若分式方程有增根，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级下·福建·开学考试）若关于的分式方程的解不小于2，求的取值范围． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知关于x的方程的解为负数，求a的取值范围． 4．（2026八年级下·山东·专题练习）已知解关于的方程时不会产生增根，求的取值范围． 5．（2026八年级下·成都·专题练习）若关于的分式方程有解，求的取值范围． 6．（24-25八年级上·重庆期中）关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值；(2)若方程无解，求的取值；(3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 【题型5】分式方程的实际应用（行程、工程、经济等问题） 1．（25-26九年级上·云南昆明·月考）从昆明站至丽江站，现有的动车线路里程大约为510公里．随着昆丽高铁（目前在建设中，预计将于2027年开通）的竣工，新线路的里程将缩减至约442公里．假设未来高铁的平均速度是目前动车平均速度的2倍，那么从昆明站到丽江站乘坐高铁所需的时间将比现在乘坐动车少1.7小时．求未来高铁的平均速度． 2．（25-26九年级上·重庆·期中）科技兴趣小组分别编制了甲、乙两款人工智能软件． (1)用甲软件解5个同等难度方程的时间与用乙软件解2个同等难度方程的时间之和为90秒，用甲软件解3个同等难度方程的时间与用乙软件解4个同等难度方程的时间之和为96秒．求甲、乙两款软件解一个同等难度方程所用的时间各是多少秒？(2)科技小组对甲款软轨件进行了算法优化，优化后的软件解同一个方程所用时间为优化前的，用时96秒时，优化后的软件所解方程的个数比优化前的软件多2个，求甲软件优化前与优化后解一个同等难度方程所用的时间分别是多少秒？ 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）“读万卷书，行万里路”，某中学组织学生赴三星堆旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到三星堆文化，研学基地特设了青铜器皿制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36件青铜器皿，已知乙队每小时比甲队多制作6件，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的倍．(1)求甲、乙两队每小时各制作多少件青铜器皿？(2)制作活动开始1小时后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少件才能保证在乘车前完成任务． 4．（25-26九年级下·河北沧州·月考）项目学习方案： 项目情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用320元购买的A种花卉的数量为x枝，由题意得，方程：______①； 小组成员乙设______②，由题意得，方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己在单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求m的值 (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______；(2)完成任务二． 5．（25-26八年级上·陕西延安·期末）2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件． (1)求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ (2)若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？ 6．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：50L 电池容量： 油价：8元 电价：元 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：________元 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用________元．(2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $