6.2.4组合数1课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

温州科技高级中学 张明 6.2.4组合数 1 如何计算组合数？ 分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案， 在第1类方案中有 m1 种不同的方法， 在第2类方案中有 m2 种不同的方法， 那么完成这件事共有 种不同的方法。 … … 在第n类方案中有mn种不同的方法， 分步乘法计数原理 那么完成这件事共有 种不同的方法。 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1 种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， … … 做第n步有mn种不同的方法， 两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意点 用来计算“完成一件事”的方法种数 每类方案中的每一种方法都能______ 完成这件事 每步_________才算完成这件事情 （每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 类类相加 步步相乘 类类独立 步步相依 独立 依次完成 不重不漏 步骤完整 分类完成 分步完成 思路：第一步：做什么事；第二步：怎么做？ 解答计数问题的一般思维过程： 完成一件什么事 （第一步：做什么事） 如何完成这件事 （第二步: 怎么做？） 利用加法原理进行计数 方法的分类 过程的分步 利用乘法原理进行计数 课堂总结 同学们，“怎么做”千奇百态；“做什么”简单明白。为了知道这件事怎么做，你可以先列出一种结果分析出这件事怎么做。我们要慢慢积累如何做的经验，在以后的学习中灵活运用，把考题解出。 其实一个人的人生意义也是知道自己做什么事，然后通过怎么做来实现人生理想。但一个人要知道自己这一生该做什么，却是很不简单的。有人说：“教育的本质，是找到一个人内心想成为的样子，然后帮助他成长为那个样子。” 所以不管是当国家领导人还是校长还是普通老师，只要他是幸福的完整的人，那他就知道自己这一生该做什么事，也在努力的寻找此事该如何做，且也努力的完成此事。 比如我就觉得教书很有意思。我的人生使命就是认真教书再写写书，然后开创一个教学流派。 引入 我们知道第一步做什么事很容易知道，第二步怎么做很难知道。于是数学家研究事情该怎么做，发现许多事情有相同的做法。这许多事情有个共同的模型。我们只要研究这个共同的模型，当我们计数时分析出怎么做时只需把这个模型套用一下就行。 排列与组合的关系 组合 (Combination) abc · abd · acd · bcd 从 4 个元素 (a, b, c, d) 中选出 3 个的所有组合 排列 (Permutation) abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca bcd cbd dbc bdc cdb dcb 🤔 你发现了什么？ 结论：从 4 个元素中选出 3 个，1 个组合恰好对应着6 个不同的排列。 思考：如果不一一列举所有排列，我们怎么计算组合的种数？ 1.7.2013 我们来看这个表格。左边列出了从 a,b,c,d 四个字母中选出三个字母的所有组合，一共是四种：abc, abd, acd, bcd。 右边则展示了，如果我们把每一个组合里的三个字母，进行全排列，能得到多少种结果？ 大家可以看到，每一个组合，比如 abc，都对应了6个不同的排列。abd, acd, bcd也是一样的。这揭示了一个非常关键的数量关系： 在这个例子中，排列的总数，等于组合的数量，乘以每一组元素的全排列数。这也给了我们一个非常重要的启发：如果我们知道了排列数，又知道每一组元素的全排列数，那是不是就能反过来求出组合数了呢？ 这就是我们接下来推导组合数公式的核心逻辑。 ‹#› 学习新知：组合数公式 排列与组合看似不同，实则紧密联系。我们可以通过将“求排列数”拆解为两个步骤，利用分步乘法计数原理，推导出组合数的计算公式。 STEP 01 先“选” 从 个不同元素中，取出 个元素组成一个组合。这一步对应的数量就是我们要求的组合数。 STEP 02 后“排” 对每一个已选出的组合，进行全排列，得到排列数。这一步对应的数量是全排列数 (即 )。 根据分步乘法计数原理 变形得到组合数公式 注：公式中 为自然数，且满足 。这是计算组合数最基础的方法。 1.7.2013 根据我们刚才的分析，求排列数可以分成两步：先选组合，再对组合内的元素进行排列。根据分步乘法计数原理，排列数就等于组合数乘以m个元素的全排列数。由此我们就可以推导出组合数的计算公式：组合数等于排列数除以m的阶乘。这个公式非常重要，请大家务必掌握。 ‹#› 例题讲评 计算 (1) 与 (2) (1) = 7! / (4! × 3!) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) =35 (2) = 7! / (3! × 4!) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) =35 计算 (3) 与 (4) (3) = 10! / (7! × 3!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) =120 (4) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) =120 追问：分别观察例中 (1) 与 (2)，(3) 与 (4) 的计算结果，你发现了什么规律？你能由此提出一个关于组合数性质的猜想吗？ 1.7.2013 我们来看几个计算例子。计算C₇⁴和C₇³，结果都是35。计算C₁₀⁷和C₁₀³，结果都是120。大家观察一下这两组结果，有没有发现什么规律？是不是Cₙᵐ等于Cₙ^(n-m)？这就是组合数的一个重要性质。 ‹#› 例题讲评 例2. 证明：组合数性质= 角度一：公式推导 直接利用组合数的定义公式展开，化简即可得到结论： = = = ∴ = 成立 角度二：实际意义理解 从 个元素中选出 个组成一组，相当于同时从 个元素中把剩下的 个排除在外。 “选出个” 与 “排除个”是同一件事的两种描述方式，因此这两种操作对应的组合数必然相等。 1.7.2013 刚才我们通过计算发现了一个规律，现在我们来严格证明它。证明这个性质有两种方法。第一种是代数方法，直接利用组合数公式展开，我们可以发现 C(n, n-m) 的表达式和 C(n, m) 是完全一样的。第二种是从实际意义上来理解，选m个和排除(n-m)个是同一件事的两种说法，所以它们的组合数必然相等。这个性质非常有用，希望大家能理解并记住。 ‹#› 巩固练习 01. 快速计算 (1) 计算组合数： (2) 计算组合数： (3) 计算组合数： 02. 方程求解 若组合数满足等式： 试求正整数 n 的值。 1.7.2013 现在我们来做几道巩固练习，检验一下大家对组合数性质的掌握情况。第一题，请大家快速计算这三个组合数。第二题是一个方程，已知 C_n^3 = C_n^7，求n的值。大家可以利用我们刚刚学的性质来解决。 ‹#› 例题讲评 例 4一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球。 (1)从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解题思路与步骤 解 (1)：从 8 个球中任取 3 个，即求组合数 。= 8! / (3! × 5!) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) =56 (种) 解 (2)：“含1个黑球”：先取黑球 ，再从7个白球取 2 个 。 × = 1 × 21 =21 (种) 解 (3)：“不含黑球”：即从 7 个白球中取 3 个，求 。 = 7! / (3! × 4!) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) =35 (种) 1.7.2013 我们再来看一个更复杂的例子。口袋里有7个白球1个黑球。第一问，随便取3个，就是从8个球里选3个，用组合数C83计算。第二问，要求必须有1个黑球，那么我们先把黑球拿出来，再从剩下的7个白球里选2个，用分步乘法，就是C11乘以C72。第三问，要求不含黑球，那就相当于从7个白球里选3个，用C73计算。 ‹#› 学习新知：组合数的性质 我们发现：= 为什么呢？从8个球中取出3个，可分为两类：一类含有1个黑球（取法为），一类不含有黑球（取法为）。根据分类计数原理，上述等式成立。 组合数性质： 💡 公式特征： 下标相同、上标差1的两数之和，等于“下标加1、上标取大”的一个组合数。 🔑 主要作用： 用于组合数的恒等变形和简化运算，是后续学习“二项式定理”的重要基础。 1.7.2013 观察例4的结果，我们发现C₈³等于C₇²加上C₇³。这并不是巧合。从8个球里取3个，可以分成两类：包含黑球的和不包含黑球的。包含黑球的取法是C₇²种，不包含黑球的取法是C₇³种。根据分类加法原理，总数就是它们的和。这就引出了组合数的另一个重要性质：Cₙ^(m-1) + Cₙᵐ = C_(n+1)ᵐ。这个性质在以后学习二项式定理时非常有用。 ‹#› 例题讲评 例3. 求证： 证明思路(略） 这个性质也被称为组合数的“杨辉三角”性质。 相比繁琐的代数推导，我们更推荐从实际意义的角度来直观理解它的本质逻辑。通过“分类”的思想，把复杂的问题拆解为简单的两类。 实际意义拆解 要从 个元素中取出 个，我们锁定一个“特定元素 A”，将所有取法分成两类： ① 包含 A：只需从剩下 个中再取 ) 个 → ② 不包含 A：直接从剩下 个中取 个 → 根据分类加法计数原理 ➔ 两者之和 为总数 1.7.2013 接下来，我们学习组合数的另一个非常重要的性质：C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1}。这个性质在杨辉三角中体现得淋漓尽致。我们可以不从代数角度证明，而是从实际意义来理解。想象一下，我们要从n+1个元素里选m个。我们可以把其中一个元素标记为A，那么所有选法可以分成两类：包含A的和不包含A的。包含A的选法，相当于从剩下的n个里选m-1个；不包含A的选法，相当于从剩下的n个里选m个。两者相加，就是总的选法数。这样是不是很好理解？ ‹#› 例题讲评：组合问题的实际应用 题目：在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件。求下列不同情况的抽法数量。 （1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ (1) 总的不同抽法 分析：即从100件中任抽3件，是单纯的组合问题。 解：抽法总数 = = (100 × 99 × 98) ÷ (3 × 2 × 1) =161,700 (种) (2) 恰好1件是次品 分析：分两步，“选1件次品”与“选2件合格品”，用乘法原理。 解：抽法种数 = × = 2 × [(98 × 97) ÷ 2] = 98 × 97 =9,506 (种) (3) 至少有1件是次品 方法一 (直接法):1件次品 + 2件次品= 9,506 + (1 × 98) =9,604 方法二 (间接法):总抽法 - 全是合格品=- =161,700 - 152,096 =9,604 (种) 1.7.2013 现在我们来看一个综合应用题。这是一个典型的产品抽样问题。第一问，求总的抽法，就是简单的组合问题。第二问，恰好有1件次品，需要分步考虑：先选次品，再选合格品，用乘法原理。第三问，“至少有1件次品”，这种问题通常有两种解法。直接法是把情况分成“1件次品”和“2件次品”两类，然后相加。间接法是用总的抽法减去“全是合格品”的抽法。两种方法都可以，大家可以根据自己的习惯选择。 ‹#› 本节小结： 1、解决组合数问题的关键在于灵活运用组合数的计算公式与数学性质。不要盲目直接展开计算，而是要多观察题目给出的数字特征，选择最优的公式进行转化，从而大大简化计算步骤。 2、当 大于 时，利用性质 = 将其转化为计算量更小的形式，避免大数阶乘带来的繁琐计算。 3、解决组合恒等式证明的关键在于：虽然解决问题的“做法”可以有很多种，但最终都是在做“同一件事”。 例如，恒等式的左边和右边，只是切入角度不同，但其描述的组合意义和最终计算结果必然一致。学会从不同视角拆解同一个计数问题，是掌握组合学的精髓。 从此节《6.2.4组合数1》我们可以看出： “做什么”通俗易懂，但真正上手解题时，“怎么做”却常常让人觉得“伤心伤肺”。 1.7.2013 通过刚才的练习，我们可以总结出解决组合数问题的核心思路：灵活运用组合数的计算公式和我们刚刚学过的性质，比如 C(n, m) = C(n, n-m)。有时候直接计算会很麻烦，但利用性质可以大大简化计算过程。希望大家在解题时，能多思考，多观察，选择最优的方法。 ‹#› $