6.2.4组合数及性质课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2 排列和组合 6.2.4 组合数 学习目标 掌握组合数公式和组合数的性质. 能运用组合数的性质进行计算. 会用组合数公式解决一些简单的组合问题. 组合的定义： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 并成一组 排列数的定义： 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 排列的个数 复习回顾 概念形成 类比排列数，我们引进组合数概念： 组合数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. 取出元素个数 元素总数 “组合”的首字母 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 符号 中的C是英文combination(组合) 的第一个字母.组合数还可以用符号 表示. 例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为 ; 从4个不同元素中任取3个元素的组合数为 . 思考：组合和组合数有什么区别？ “组合”是指“从 n 个不同元素中取 m (m≤n)个元素作为一组”， 它不是一个数，而是具体的一件事； “组合数”是指“从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有 不同组合的个数”，它是一个数. 概念讲解 上节课已知“从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动”，通过列举数数知，有 3 种组合方式： 甲、乙； 甲、丙； 乙、丙. 若“从 50 名同学中选择 2 名同学参加一项活动，求有多少种组合方式”？上述方法是否便捷？ 复习回顾 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动： 组合： 甲乙 甲丙 乙丙 有 3 种 有 6 种 甲乙 甲丙 乙丙 排列： 乙甲 丙甲 丙乙 排列数也可以看作由以下两个步骤得到： 第①步，从3个不同元素中取出2个元素作为一组，共有 种不同的取法； C3 2 第②步，将取出的2个元素作全排列，共有 种不同的排法. A2 2 根据分步乘法计数原理，有 新知探究 组合 abc 排列 abd acd abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb 新知探究 应用同样的方法，求“从 a、b、c、d 元素中取出3个元素的排列数 .” 问题2 你能类比“从4个不同元素中取出3个元素排列数”描述“从个元素中取出个元素的排列数”？ 第1步 , 从n个元素中取出m个元素作为一组 , 共有种不同的取法； 第2步, 将取出的m个元素做全排列, 共有种不同的取法; 于是，根据分布乘法计数原理有 所以 新知探究 组合数公式： 这里m，n∈N* ；并且 m≤n . 另外，我们规定 所以上面的公式还可以写成 归纳小结 例6 计算： 解： 典例分析 思考 此关系是否具有一般性？ 性质1 组合数的性质 问题3 对于组合数的这个性质你能给出证明与解释吗？ 性质1 证明： 解释： 该性质反映了组合数的对称性. 其组合意义是从n个不同的元素中任取m个元素的组合与任取(n-m)个元素的组合是一一对应(一种取法对应一种剩法). 因为从n个不同元素中取出m个元素后，就剩下(n-m)个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的方法，与从n个不同元素中取出(n-m)个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出(n-m)个元素的唯一的一个组合，反过来也一样. 即从n个不同元素中取出m个元素的组合数 等于从n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数 ，也就是 . 新知探究 解释： 该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从(n+1)个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能. 如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素，所以共有 种取法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有 种取法. 由分类加法计数原理，得 . 性质2 1. 计算： 追问：你有什么发现和猜想？ 组合数的性质 新知探究 1. 计算： 3. 2. 4或7 1330 小试牛刀 例2 在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 分析：(1)从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；(2)可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题； (3)从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题． 典例分析 例2 在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法？ 解：(1) 所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为 分析：(1)从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题； 典例分析 例2 在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ 分析：(2)可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题； (2) 从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 典例分析 例2 在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 (3)方法1(直接法)： 抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即 方法2(间接法)： 分析：(3)从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题． 典例分析 解： 1. 计算： 课本P25 巩固练习 证明： 2. 求证： 课本P25 巩固练习 解： 解： 巩固练习 3. 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩. (1) 共有多少种不同的选法? (2) 如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法? (3) 如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法? 解： 课本P25 巩固练习 1.组合数的定义和表示 把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，并用符号 表示. 2.组合数的公式 3.组合数的性质 性质1 性质2 课堂小结 $