精品解析：江西吉水县第二中学等校2025-2026学年高一下学期数学学科素养阶段训练

高一数学学科素养阶段训练 命题学校：新干二中 命题人：李强 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 化简 (    ) A. B. C. D. 2. 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（ ）. A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 将函数的图像上各点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图像，则函数（ ） A. B. C. D. 6. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知向量，且，若向量满足，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 二、选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. ，，，有一解 C. ，，，无解 D. ，，，有两解 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，在上的投影向量为 11. 已知函数且，，则（ ） A. B. 的值可能为 C. 的取值范围是 D. 关于x的方程至多有13个不同的根 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则________. 13. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量是______． 14. 已知点为的内心，，则__________． 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知 （1）求； （2）解关于的不等式． 16. 已知． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）若，求的周长； （2）求的最大值． 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式，并求出其对称轴； （2）若方程在上恰有三个不相等的实数根，，，求的取值范围和的值. 19. 在中，为的中点，在边上，交于；且，设，. （1）试用，表示； （2）已知，，. ①若，求的余弦值； ②已知在上，且，若，求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学学科素养阶段训练 命题学校：新干二中 命题人：李强 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 化简 (    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同角的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由题意， 选项A、B中，角度与弧度混用，单位不统一，故A、B错误； 选项C：与终边相同，含义相同，故C正确； 选项D：当时，与终边不同，故D错误. 故选：C 3. 在中，，，，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理求出的值，进而判断三角形的类型. 【详解】由余弦定理得， 又在中，，则为钝角， 所以为钝角三角形. 4. 为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（ ）. A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】先通过直角三角形的三角函数求出的长度，再在中用正弦定理即可求出. 【详解】在中，， 因为，所以米， 又因为，所以， 根据正弦定理：，即， 又因为，所以. 5. 将函数的图像上各点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图像，则函数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型函数的平移、伸缩变换法则求解即可. 【详解】将函数的图像上各点向左平移个单位可得， 将所得各点的横坐标缩短到原来的一半， 然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍可得. 故选：A. 6. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得. 【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上， 由，即的角平分线与边垂直， 所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形. 故选：B 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为4个. 故选：B. 8. 已知向量，且，若向量满足，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，平方得到，再结合数量积的定义得到求解即可. 【详解】因为，所以，又，所以 所以， 所以，所以， 所以（是向量与的夹角）. 所以， 所以， 所以， 所以的最大值为3. 故选：A. 二、选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. ，，，有一解 C. ，，，无解 D. ，，，有两解 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦定理，以及的值，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由正弦定理，可得， 因为，可得，则三角形有一解，故A错误； 对于B，因为，所以，则三角形有一解，故B正确； 对于C，因为，所以，则三角形无解，故C正确； 对于D，因为，所以，则三角形无解，故D错误. 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算求解判断A；根据向量垂直的坐标运算求解判断B；根据数量积的坐标运算求解判断C；根据投影向量公式求解判断D. 【详解】由，得，解得，A正确； 由，得，解得，B错误； 由，得，解得，所以，C正确； 当时，，， 所以在上的投影向量为，D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数且，，则（ ） A. B. 的值可能为 C. 的取值范围是 D. 关于x的方程至多有13个不同的根 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，的图象如图所示.由图可知，，A正确. 对于B，由图可知，，， 则，，当且仅当，时，等号成立. 因为，所以，B错误. 对于C，设，则.由，得，得， 因为，，所以的取值范围是，C正确. 对于D，令，则至多有5个不同的根，此时，有5个不同的根. 设这5个不同的根从小到大分别为，，，，，则. 由图可知，均有5个不同的根，，，均有1个根， 所以关于x的方程至多有13个不同的根，D正确. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据诱导公式，化简整理，即可得答案. 【详解】因为，所以. 13. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量是______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意， 所以在方向上的投影数量为：. 14. 已知点为的内心，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形内心向量性质得出向量关系，再根据向量表示唯一性确定值． 【详解】点为的内心，即为角平分线交点，如下图所示，的角平分线交于， 则， ，故， ， ， ， ． 故答案为：． 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知 （1）求； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，代入求解即可；（2）根据（1）中的及化简不等式得到，解三角不等式即可. 【小问1详解】 依题意，，且，所以， 又因为，，； ，； 所以； 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，； 所以； 又，所以，即， 解得，且； 所以原不等式的解集为且. 16. 已知． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，结合向量的模长公式求解即可； （2）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为，设，则，解得． 因此或． 【小问2详解】 由已知可得，因为， 则，可得， ． 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）若，求的周长； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式求得，再由余弦定理求出，即得周长； （2）由正弦定理求得，代入条件推得，利用正弦函数的值域求得的最大值，并验证即得. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 又，， 所以，即， 故的周长为． 【小问2详解】 由正弦定理得，所以， 又，， 所以． 当时，即，此时，， 解得，或，， 故时，取得最大值． 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式，并求出其对称轴； （2）若方程在上恰有三个不相等的实数根，，，求的取值范围和的值. 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象，求得，正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为函数与的图象在上有三个不同的交点，画出函数在上的图象，结合图象，得到得范围，且的值，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数的图象，可得，且，解得， 所以，即， 将点代入的解析式得，即， 可得，解得， 因为，可得， 所以. 令，则， 所以函数的对称轴为直线. 【小问2详解】 解：由方程在上恰有三个不相等的实数根， 即方程在上恰有三个不相等的实数根， 即函数与的图象在上有三个不同的交点， 设交点的横坐标分别为， 函数在上的图象，如下图所示： 由图象得，实数满足，即实数的取值范围为， 再由图像的对称性，可得， 故. 19. 在中，为的中点，在边上，交于；且，设，. （1）试用，表示； （2）已知，，. ①若，求的余弦值； ②已知在上，且，若，求的范围. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案. （2）①及已知条件，利用数量积的运算律及向量的夹角公式求解.②设，结合及数量积的运算律得，再列出不等式求出的范围即可. 【小问1详解】 由共线，得，则， 整理得， 由共线，得，则， 整理得，而不共线， 由平面向量基本定理，得，解得， 所以. 【小问2详解】 ①（1）得，， 由，得， 则， ， ， 所以. ②由（1）知，则， 由共线，设. 由，得，而，， 则，整理得， 即，显然，则， 由，得，则，解得， 所以的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $