江西吉安市永丰县第三中学、吉安长田学校2024-2025学年高一下学期期中考试联考数学试卷

**基本信息** 高一下学期期中联考数学卷，覆盖必修二向量、三角函数、解三角形等核心内容，解答题如信号塔测量（第14题）体现实际应用，钝角三角形存在性探究（第19题）突出逻辑推理与创新意识，适配学段检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数求值、向量投影、函数单调性|基础概念辨析，如第5题向量夹角锐角条件判断| |多选题|3/18|三角形性质、向量运算|多维度推理，如第9题结合正弦定理与三角形解的个数| |填空题|3/15|扇形弧长、解三角形应用|实际情境转化，如第14题方位角与仰角测量问题| |解答题|5/77|三角恒等变换、向量与三角函数综合|分层探究，如第19题三问递进考查钝角三角形判定与求值|

吉安市永丰县三中、吉安长田学校2024-2025学年高一下学期 期中考试联考数学试卷 考试范围：必修第二册第一至第三章 试题满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则（       ） A． B． C． D． 2．设，，，则，，大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 3．已知点，，，则向量在方向上的投影向量为（       ） A． B． C． D． 4．函数的单调递减区间为（       ） A． B． C． D． 5．已知为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 6．在中，下列说法中错误的是（       ）． A． B． C． D．，则为锐角三角形 7．已知：，，，，则（       ） A． B． C． D． 8．在菱形中，，点在菱形所在平面内，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（       ） A．若，则该为等腰三角形 B．若，则 C．若，，，则符合条件的三角形有两个 D．若的面积，，则的最大值为1 10．已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（       ） A． B．直线不过边的中点 C． D．若，则 11．已知函数，则下列结论正确的是（       ） A．若对于任意的，都有成立，则 B．若对于任意的，都有成立，则 C．当时，若在上单调递增，则的取值范围为 D．当时，若对于任意的，函数在上至少有两个零点，则的取值范围为 第II卷（非选择题） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．扇形的周长是4，面积是1，则扇形的圆心角的弧度数是___________. 13．在中，若，则___________. 14．如图所示，是一座垂直于地面的信号塔，O点在地面上，某人（身高不计）在地面的C处测得信号塔顶A在南偏西方向，仰角为，他沿南偏东方向前进10到点D处，测得塔顶A的仰角为，则塔高为___________. 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知为锐角， (1)求；(2)求. 16．已知，，，点D是BC上一点，且的面积是面积的． (1)求的重心G的坐标； (2)求点D的坐标． 17．已知向量，，，且函数的最小正周期为. (1)求的值；(2)将函数按得函数，求当上单调区间和最大值，最小值. 18．在中，分别为内角的对边，若. (1)求；(2)若，求周长的取值范围. 19．在中，角所对的边长分别为，若 (1)是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(2)若，求的值；(3)在（2）的条件下，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 期中考试联考数学试卷参考答案 一、单选题 1．A 因为，, 所以.故选：A 2．A 由于， ， ，由于在单调递增，故，故.故选：A 3．B 由，，，得，.所以在方向上的投影向量为.故选：B 4．C 因为，令解得：Z，故f（x）的单调递减区间为.故选：C 5．B 因为，所以，因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，解得，当时，则，即，解得，当时，与共线且同向，所以的取值范围为，故选：B 6．D 对于A，在三角形中，，所以，故A正确； 对于B，，则，且，在上递减，所以即，故B正确； 对于C，在三角形中，，由正弦定理得：，所以，故C正确； 对于D，得：，则 ，则，则，所以角为锐角，三角形不一定是锐角三角形，所以D错误.故选：D. 7．C 因为，可得，又因为，可得，因为，可得，又因为，可得，由 .故选：C. 8．C 由菱形中，，可得且，设交于点，以为坐标原点，直线分别为轴，轴建立直角坐标系，如图， 取中点，则，，设， 则 ，所以当，时，取得最小值.故选：C． 二、多选题 9．BCD 对于A：因为，所以或，所以或，故为等腰三角形或直角三角形.知A错误；对于B：在中，由正弦定理得：.因为，所以,知B正确；对于C：因为，，，所以,所以，所以符合条件的三角形有两个，知C正确；对于D：三角形面积且可得.因为，所以,故所以.因为，所以.由正弦定理可得：. 因为，所以，所以，所以，当且仅当时,等号成立,知选项D正确.故选：BCD. 10．BCD 对于A：，因，， ，即，则，可得，A不正确；对于B：设的中点为D，则，若直线过的中点，则存在实数满足，由选项A知，，而与不共线，则有且，无解，即不存在，AO不过BC中点，B正确； 对于C：取点，，使得，，，则，即点O为的重心，如图，则， 而，同理可得：，因此，， C正确；对于D：由，得，而，则，解得，所以 ，D正确.故选：BCD 思路点睛：用向量基本定理解决问题，选择一组基底，运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 11．ACD 对于A，对于任意的，都有成立，所以恒成立，又，，∴，故A正确；对于B，由题可得是函数的周期，但不能推出函数的最小正周期为，故B错误；对于C，当时，当时，，则，，故，故C正确； 对于D，当时，当时，，由在上至少有两个零点，则，即，故D正确.故选：ACD. 三、填空题 12．2 设扇形的半径为，扇形的弧长为，因为扇形的周长是4，面积是1，所以，因此扇形的圆心角的弧度数是，故答案为：. 13．(或填也行) 因为，有正弦定理可得：，令，，，有余弦定理可知，， 又因为，所以.故答案为：. 14．10 设米，在中，，所以，在中，，所以，则由题意可得，在中，由余弦定理得，即， 得，解得或，所以塔高为10米，故答案为：10. 四、解答题 15．(1)；(2). 解析:(1).为锐角，， 又在上单调递减，，，  . (2)， 为锐角，，. 16．(1)；(2). 解析:(1)因为是的重心，所以，，所以． (2)由题意，所以，，所以点坐标为，即． 17．(1)；(2)单调递增区间为，单调递减区间为，，. 解析：(1)因为，，所以， 所以，所以 ；即，又函数的最小正周期为，所以，解得 (2)由（1）可得，将函数按得函数，因为，所以，所以，即，即当时，当时， 令，解得，即函数在上的单调递增区间为， 令，解得，即函数在上的单调递减区间为. 18．(1)；(2). 解析：(1)由及正弦定理得：，又，所以，所以，又，所以. (2)由正弦定理可得，所以，，所以的周长 ，因为，所以，所以, 所以，即，所以周长的取值范围为． 19．(1)或；(2)；(3). 解析：(1)假设存在正整数，使得为钝角三角形，∵，∴ ， ∴ ，∴ ∠C为钝角，,又，， ∴，∴；∴，又为正整数，， ∴或，当时，，，，符号要求，当时，，,，符合要求，∴或. (2)由正弦定理，又，∴，又，∴，，，∴，又，∴ ， 则. (3)由(2)，∴， ∴. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $