2026年陕西中考数学26题隐圆中的最大张角几何模型

**基本信息** 以米勒定理为核心，通过构造相切圆系统解决动态张角最值问题，融合圆的性质与几何直观，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |最大张角|11题（含足球射门等实际场景）|米勒定理应用：过两定点作与定直线相切的圆，切点为张角最大点，结合切线性质、勾股定理计算|圆的切线性质→圆周角定理→米勒定理→实际问题模型化|

最大张角 · 切割线定理 =PA (PC是切线) + PC是的切线 = = =PA · 最大张角（经常搭配切割线定理一起用） 对于线段 AB 和直线 l（A,B 不在 l 上且位于同侧），l 上使 APB 最大的点 P，是过 A,B 且与 l 相切的圆的切点。 = = = 1．如图，点A是射线上的动点，，点D在边上，且，连接，，当最大时，的长为________． 2．．“已知，点A，B是边上不重合的两个定点，点C是边上的一个动点，当的外接圆与边相切于点C时，的值最大．”这是由德国数学家米勒提出的最大角问题，我们称之为米勒定理．已知矩形，，点E是射线上一点，点F是射线上的一动点．当时，则的值最大为（    ） A． B． C． D． 3.如图1，球员射中球门的难易程度与他所处的位置C对球门的张角（）有关．当球员在C，D处射门时，则有张角．如图2，若，米，A是的中点，球员在射线上的P点射门时的最大张角为，则的长度为________． 4．如图，在四边形中，，，点、在边上，，，点是射线上的动点，连接、，当最大时，的长为_______． 5.（1）如图1，为的弦，为的切线，为切点，连接．试比较与的大小，并说明理由． 问题解决 （2）如图2，在中，为边上任意一点，连接，为的中点，连接，试探究的度数是否存在最大值．若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 6.(1)如图1，在中，点是优弧上一点，点在外，且、在直线的同侧，则与的大小关系为______（填“”“”或“”）； (2)如图2，在中，，，点是的中点．若点是边上一点，试求的最小值； (3)如图3，社区便民步道与主干道相交于点，步道入口到的距离为，到主干道的距离为．步道上有一休息椅，它到点的距离为．现需要在主干道上设置一段长的便民服务宣传栏，为节约成本，需使步道入口到、休息椅到的路程和最短（即最小），且居民在步道上散步时，希望在点处能以最佳视角（即最大）看清宣传栏上的内容，求点到路口的距离. 7.（1）如图，是的弦，点是上的一点，点是外一点，则______（填“”“”或“”），请说明理由． （2）如图，五边形是一块小型湿地，，，，米，米，米为了进一步满足当地市民和游客的观景需求，计划在该湿地修建观景步道和相关设施，部分设计方案如下：①点为入口，点为出口，在湿地边缘的中点修建观景台，在湿地边缘上修建洗手间；②修建观景步道，即线段、、，为了尽可能保护生态，要使所修观景步道的长度最短；③在湿地边缘上选一点安装监控装置，用来监控步道，为了保证监控效果最佳，要使监控视角最大， 请问：是否存在满足要求的点和点？若存在，请求出此时的长及最大视角的正弦值即；若不存在，请说明理由步道的宽忽略不计 8．（1）如图1，在中，，，，求的长（结果保留根号）． （2）如图2是某机器人研发公司搭建的一个测试场地． 场地布局如下： 四边形，，，，米，米．在边上设置一个固定检测点G，米． 测试要求如下： ①在边上设置一个检测点M，要求机器人的视角达到最大值； ②轨道从边出发，沿射线方向平移m米．在上放置标志物P，同时要求机器人观测P的视角等于视角的最大值； ③为了保证测试安全，需要使四边形的面积最大． 问题：是否存在满足所有上述条件的平移距离m？如果存在，求出具体的m值；如果不存在，请说明理由． 9.【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】 （1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______， ，，______射门好； 【理解应用】 （2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 10.问题发现 （1）如图1，是的弦，直线交于点，在直线上找一点，使得，请画出满足条件的一个． 问题探究 （2）如图2，已知射线、，，点、在射线上，点是射线上一动点，，，当最大时，请求出此时的长． 问题解决 （3）如图3，某公园准备修建一室外儿童游乐园，地面道路边的段为儿童游乐园的入口，安全管理部门准备在与地面道路夹角为的射线方向上确定一点，并架设横杆，使得且，在点处安装一摄像头，对入口段实施监控（点、、、、、、在同一平面内）．已知，，．调研发现，当最大时监控效果最好．请问能否找到一个点，从而确定点，使得达到最大？如果存在，请确定点的位置，并求出此时的值；如果不存在，请说明理由． 11．问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 答案参考 1. 【分析】作过、且与相切的，切点使最大；过作，由垂径定理得是中点，结合已知算；由切线和垂直关系证四边形是矩形，得；在中用勾股定理算，进而得 ． 【详解】解：作经过点、且与射线相切的，切点为．连接、、，、、，与交于点，连接， ∵、、、共圆， ∴， ∵是的外角， ∴ ．   ∴，即切点对应的最大 ．   ∴当点在点时，最大． 过点作于点， 因为， ∴点是的中点． ∵，， ∴， ∴，． ∵与射线相切于， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． 在中，，， 根据勾股定理得． ∴． 【点睛】本题考查圆的切线性质、垂径定理、矩形判定与性质及勾股定理，解题关键是利用圆的性质确定最大时的位置（作过、且与相切的圆，切点为使最大的点）． 2．A 【分析】由米勒定理可知，最大时，的外接圆与射线相切于点，过点作，则，可证得四边形是矩形，，进而可知是等边三角形，可得，由圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：由米勒定理可知，最大时，的外接圆与射线相切于点，如图， 过点作，则，， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵与射线相切于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，则， ∴，则， ∴，则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即：的值最大为， 故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，矩形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，作出图形，利用切线的性质，矩形的判定及性质证得是等边三角形是解决问题的关键． 3．9米 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理、切线的性质等知识点，根据题意、正确画出图形是解题的关键． 如图，过点B作交于点P，以的中点为圆心、为半径画圆，连接，可得为等腰直角三角形，且，进而得到，即得，得到，又由直角三角形的性质可得，可得点A在上，由与射线相切，可知此时球员在射线上的点射门时的张角最大，且最大张角为，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，过点B作交于点P，以的中点为圆心、为半径画圆，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， ∵点A是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴点A在上， ∵与射线相切，， ∴可知此时球员在射线上的P点射门时的张角最大，且最大张角为， ∵， ∴， ∴米． 故答案为：9米． 4． 【分析】解题关键在于利用圆外角小于圆周角这一性质：当过定点、的圆与射线相切时，切点即为使最大的点．随后证明三角形相似，求出切线长，最后结合等腰直角三角形的边长关系求得． 【详解】解：由题意可得，，， 延长、交于点， 则，， ∴，，， 在中，． 作经过点、且与相切的，切点为，与交于点， 连接、、，易得， 当点与点重合时， 最大，此时． 由切线的性质可得， 则， ∴， 即， ∴， 则， 即最大时，的长为． 5.（1）．理由见解析；（2）存在． 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，根据同弧所对的圆周角相等得出，即可求解； （2）过点P作，垂足为D，设．勾股定理求得，进而求得，取的中点，连接．得出为的中位线，过点作，垂足为．则为的中位线，记所在的直线为，则点在直线上，且直线与的间距为．设过点，，的圆为，由（）可知当与直线相切时，最大．基恩人求得，进而得出，根据，即可求解． 【详解】解：（1）． 理由：如图1，设与的交点为，连接． ，， ． （2）存在． 如图2，过点作，垂足为，设． 在中，，，， ， 即， 解得， ． 取的中点，连接． 为的中点， 为的中位线． 过点作，垂足为． ， ， ∴， 即， 为的中位线， ． 记所在的直线为，则点在直线上，且直线与的间距为． 设过点，，的圆为，由（）可知当与直线相切时，最大． 当与直线相切时，，此时， 为的中点，即． 又， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的外角的性质，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，中位线的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6.(1) (2) (3)点到路口的距离为 【分析】（1）令与的交点为，连接，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据外角的性质可得，即可得出； （2）作关于直线的对称点，连接，，，交于，根据对称的性质得出，推得当点，，三点共线时，的值最小，最小值为的长度，根据等腰直角三角形的性质得出，根据中点的定义得出，结合对称的性质和勾股定理求得，即可求解； （3）根据勾股定理求出，过点作且，过点作的对称点，交于点，过点作交于点，过点作的延长线于点，连接，与交于点，连接，结合三角形中位线的定义求出，，，，，根据三角形的三边关系得出，推得当点、、三点共线时，取最小值，结合相似三角形的判定和性质求出；结合（1）得出满足最大，则需要点、、三点在同一个圆上，据此过弦确定圆，与相切于点，连接、、，过点作交于点，结合垂直平分线的性质求出，根据勾股定理推得，即可求出符合条件时，点到路口的距离． 【详解】（1），理由如下： 令与的交点为，连接，如图： ∵， ∴， 在中，， 即， ∴． （2）作关于直线的对称点，连接，，，交于，如图： ∵，关于直线对称， ∴， ∴， 当点，，三点共线时，的值最小，最小值为的长度， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，关于直线对称， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为；． （3）根据题意可得，，，，， 故点是的中点，， 过点作且，过点作的对称点，交于点，过点作交于点，过点作的延长线于点，连接，与交于点，连接．如图： 则，四边形是矩形，四边形是平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴， 故是的中位线， ∴，， ∴，， ， ∵， 在中，， ∴， 故当点、、三点共线时，取最小值． ∵， ∴， ∴， ∴． 由第小问可得，满足最大，则需要点、、三点在同一个圆上， 过弦确定圆，与相切于点，连接、、，过点作交于点，如图： 则垂直平分，，． 在中，， 在中，， 即， 又∵， 整理可得； 在中，， 即， ∴． 故符合条件时，点到路口的距离为． 【点睛】在第二问中，对于求线段和的最小值问题，一般根据“将军饮马”的方法来求最值，在第三问中，借助对称的特征和两点之间线段最短确定点的位置，根据相似三角形的判定和性质求出的长是解题的关键． 7.（1），见解析；（2）米，存在， 【分析】（1）设与的交点是，连接，； （2）延长至，使米，连接，交于，则最小，过，作，且与相切于，则最大，根据可求得米，米，从而得出，米，可求得，从而，设，可表示出，，在中根据勾股定理得出，求得的值，进一步得出结果． 【详解】解：（1）如图， 设与的交点是，连接， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图， 延长至，使米，连接，交于， 则最小， 过，作，且与相切于， 则最大， ， ， ， 米， 米，米， ，米， ， 垂直平分， ， ， 设， ，， 在中，由勾股定理得， ， ， ，舍去， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 8.（1）；（2）m的值为米 【分析】（1）过点C作于点D，在中，求出，，在中，求出，即可解决问题； （2）首先推出视角的最大值为，再推出轨道从边出发，沿射线方向平移m米．在EF上放置标志物P，同时要求机器人观测P的视角等于视角的最大值，且使四边形的面积最大，只要m最大即可，从而得到点P应是以为弦的（半径与相同）与相切的切点，再设法求出m即可． 【详解】解：（1）如图1，过点C作于点， 在中， ∵，， ∴，， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵，米，米， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵在边上设置一个检测点M，要求机器人的视角达到最大值， ∴点M应是以为弦的与相切的切点， ∵矩形和圆都是轴对称图形， ∴点M是的中点， ∵米， ∴米，米， ∵米， ∴由勾股定理，得（米）， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵轨道从边出发，沿射线方向平移m米．在上放置标志物P，同时要求机器人观测P的视角等于视角的最大值， ∴米，， ∵，， ∴， ∴米， ∴ （米），为定值， ∴要使四边形的面积最大，只要的面积最大即可， ∵的面积， ∴要使四边形的面积最大，只要m最大即可， ∴点P应是以为弦的（半径与相同）与相切的切点， 连接，则， ∵， ∴，记垂足为Q， 设与交于点H，连接， ∵，， ∴为直径，， ∴(米)，(米)， ∴(米)，米， 设与交于点I，连接，过点D作于点N， ∵为直径， ∴， ∴， ∴(米)， ∴(米)， ∴(米)， ∴四边形是矩形， ∴(米)， ∴(米)， 故m的值为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，平移的特征，圆的有关概念和性质，直线和圆的位置关系，理解题意，弄清各个量之间的关系是解题的关键． 9.（1）甲自己射门好，理由见解析；（2）C；（3）米 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再由三角形外角的性质解答即可； （2）连接，作的垂直平分线交于点O，连接，根据勾股定理可得，从而得到A，B，D，E四点共圆，再由三角形外角的性质解答即可； （3）以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N，证明四边形，四边形，四边形为矩形，可得米，米，，从而得到为等腰直角三角形，进而得到米，米，再结合切线的性质可得为等腰直角三角形，连接，设圆O的半径为r，则，可得，再由，可得关于r的方程，求出r的值，即可求解． 【详解】解：（1）甲自己射门好，理由如下： 如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ， ， ， ， 甲自己射门好； （2）如图，连接，作的垂直平分线交于点O，连接， 由勾股定理得：， ∴， ∴A，B，D，E四点共圆， ∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大， 故选：C （3）如图，以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N， ∵，∴米， ∵米，， ∴米，米， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形为矩形， ∴米，米，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴米， ∴米，米， ∵为圆O的切线， ∴， ∴为等腰直角三角形， 连接， 设圆O的半径为r，则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴米， ∴米． 【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，作垂线，垂直平分线的性质，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．理解题意，熟练掌握圆的知识是解题的关键． 10.（1）见解析；（2）；（3）满足条件点的位置是，此时 【分析】（1）设直线交于，，根据三角形的外角的性质，当点在点的左侧或点的右侧时，满足条件． （2）如图2中，作线段的垂直平分线，垂足为，在线段的垂直平分线上取一点，以为圆心，为作，当与直线相切于点时，的值最大． （3）存在．过点作交于，作线段的垂直平分线垂足为，在线段的垂直平分线上取一点，以为圆心，为作，当与直线相切于点时，的值最大．延长交的延长线于，连接，．，则，利用勾股定理构建方程求出，再求出即可． 【详解】解：（1）如图，，． （2）如图2中，作线段的垂直平分线，垂足为，在线段的垂直平分线上取一点，以为圆心，为作，当与直线相切于点时，的值最大． 是的切线， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， 当最大时，的长为． （3）存在． 理由：过点作交于，作线段的垂直平分线垂足为，在线段的垂直平分线上取一点，以为圆心，为作，当与直线相切于点时，的值最大．延长交的延长线于，连接，． ， ， 是的切线， ， ， ，， ， ， 设，，则， 由题意，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 整理得，， 解得或（舍）， ， ， ， ，此时． ∴满足条件点的位置是，此时． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题 11. （1）见详解（2）（3） 【分析】（1）先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，则，故四边形是平行四边形，即可作答． （2）过点作于点，解得，故在线段上运动的，整理，经过分析当有最小值时，则的周长有最小值，即作点关于的对称点，当三点共线时，有最小值，即的长，结合矩形的性质以及勾股定理列式计算，得，即可作答． （3）取的中点，取的中点，连接，得是的中位线，再过点作，证明，整理，故，再证明四边形是平行四边形，因为是的中点，得，11 、证明，，理解题意，得为定值，则点在的中位线上运动，作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，先得出，，运用三角函数得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， 先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接， 则， ∵ ∴四边形是平行四边形， 即如图所示： （2）如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 过点作且分别与，交于， 即在线段上运动的， 则， 当有最小值时，则的周长有最小值， 作点关于的对称点 ∴，， ∴， 当三点共线时，有最小值，即的长， 即的周长有最小值， ∵ 四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 此时的周长； （3）如图，取的中点，取的中点，连接， ∴是的中位线， 过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 连接 ∵是的中点，且四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中点 过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，过点作于点， ∴为定值， ∴为定值， 则点在的中位线上运动， 作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大， ， 故， 如图，连接，作于点，于点，连接 ∵与相切于点 ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 故三点共线， ∴， 则， ∴， ∵，是的中点， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点 ∴是三角形的中位线， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关运算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $