精品解析：山东德州市禹城市2025～2026学年第二学期期中教学质量检测 八年级数学试题

2025~2026学年第二学期期中教学质量检测 八年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 能使等式成立的的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 3. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　 　） A. B. ∠A+∠B=∠C C. ∠A：∠B：∠C=3：2：1 D. 4. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. 1 B. C. D. 5. 在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 若一个多边形截去一个角后，变成七边形，则原来的多边形的边数不可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面周长为，高为，则蚂蚁所走过的最短路径是（ ） A. B. C. D. 8. 已知4、5、是某三角形三边的长，则计算的正确结果是（ ） A. B. 8 C. D. 9. 长方形纸片中，，，将纸片沿折叠使点与点重合，折痕与相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点为中点，，绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题有6个小题，每题4分，共24分） 11. 比较大小：______． 12. 若一个正多边形的每个外角是，则从它的一个顶点出发的对角线有_______条． 13. 如图，在平行四边形中，的平分线与的平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为______． 14. 已知是的边上的高，若，，，则的长为___________． 15. 如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_____． 16. 如图，平行四边形中，，于点，于点，，相交于点，与的延长线相交于点．下面给出五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是_______． 三、解答题（本题共8小题，满分86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，点B在边上，连接，已知． （1）求证：； （2）求和的长． 19. 按要求完成下列各题： （1）已知，为实数，且，求代数式的值． （2）已知，，完成下列两题： ①求的值； ②求的值． 20. 李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 21. 如下图，在中，对角线，相交于点，点，在上，点，在上，且，． （1）若，，求的取值范围． （2）若，，求的度数． （3）连接，，，，求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． （1）填空：，； （2）当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) （3）距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 23. 如图，在中，，点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为． （1）___________； （2）求斜边上的高线长； （3）①当在上时，的长为___________，的取值范围是___________；（用含的代数式表示） ②若点在的平分线上，则的值为___________． 24. 已知：在中，，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，，∴，进而得到线段、、之间满足的数量关系是___________． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【尝试应用】 （3）如图3，若点在直线上．连接，在的左侧作，，当，时，求的面积． 【拓展探究】 （4）如图4，，．为外一点，，，，则___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期中教学质量检测 八年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：对选项A：，被开方数是小数，不是最简二次根式； 对选项C：，分母含根号，可化简，不是最简二次根式； 对选项D：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项B：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 2. 能使等式成立的的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分式分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵等式成立， ∴且， ∴． 3. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　 　） A. B. ∠A+∠B=∠C C. ∠A：∠B：∠C=3：2：1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】从边的角度，根据勾股定理的逆定理的判断；从角的角度，利用内角和定理，计算最大角，看是否为直角判断． 【详解】∵ ∴， ∴能围成直角三角形，A不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C=3：2：1，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=×180°=90°，， ∴能围成直角三角形，C不符合题意； ∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=90°，， ∴能围成直角三角形，B不符合题意； ∵ ∴， ∴不能围成直角三角形，D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，熟练从边和角两个层面去探解是解题的关键． 4. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴ 点表示的数． 5. 在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，对于B和C选项，先分别证明和，得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 故A选项不符合题意； B、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； C、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； D、∵，， ∴不能证明四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意； 故选：D 6. 若一个多边形截去一个角后，变成七边形，则原来的多边形的边数不可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】多边形截去一个角共有三种不同截法，对应截后边数分别比原多边形多1，不变，少1，根据截后得到七边形，反向推导原多边形的可能边数即可得到答案． 【详解】解：多边形截去一个角，存在三种情况： （1）截线不经过原多边形的另外两个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数， ∵ 截后多边形为七边形，边数为7， ∴ 原多边形边数为； （2）截线经过原多边形的1个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数 ∴ 原多边形边数为； （3）截线经过原多边形的2个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数， ∴ 原多边形边数为； 综上，原多边形的边数可能为6，7，8，不可能为5． 7. 如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面周长为，高为，则蚂蚁所走过的最短路径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，线段即为所求， 由题意得：，，， ； 即蚂蚁走过的最短路径为：； 故选：C． 8. 已知4、5、是某三角形三边的长，则计算的正确结果是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形三边关系求出的取值范围，再利用二次根式的性质化简，最后去绝对值计算得到结果． 【详解】解：∵4、5、是三角形的三边长， ∴，即， ∴， ∴． 9. 长方形纸片中，，，将纸片沿折叠使点与点重合，折痕与相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由折叠的性质及矩形的性质可表示出和的长，在中利用勾股定理列式解方程即可得解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 设， 由折叠的性质可知，， ， 在中，，即， 解得， 即的长为． 10. 如图，在中，，点为中点，，绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，连接，由等腰直角三角形的性质得到，则可证明是等腰直角三角形，得到，证明，得到，，则可证明，是等腰直角三角形，据此可判断④；利用勾股定理可得，据此可判断①；证明，由勾股定理即可判断②；证明即可判断③． 【详解】解：如图所示，连接， ，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，是等腰直角三角形，故④正确； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，即， 在中，由勾股定理得， ∴，故②正确； ， ∵点为中点， ∴， ∴，故③正确； 正确的有①②③④． 故选：D． 二、填空题（本题有6个小题，每题4分，共24分） 11. 比较大小：______． 【答案】< 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较， 先平方，再比较结果，进而得出答案． 【详解】解：平方，得， 因为， 所以． 故答案为：． 12. 若一个正多边形的每个外角是，则从它的一个顶点出发的对角线有_______条． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查多边形外角和性质与多边形对角线的计算，先利用任意多边形外角和为求出正多边形的边数，再根据边形从一个顶点出发的对角线数量公式求解即可． 【详解】解：∵ 任意多边形的外角和为，该正多边形每个外角为， ∴ 该正多边形的边数=． ∵边形从一个顶点出发的对角线的数量为， ∴ 该正六边形从一个顶点出发的对角线数量为． 13. 如图，在平行四边形中，的平分线与的平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，得到∠BEC=90°，然后利用勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：如图，在平行四边形中， ∴，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠DCB=180° ∵BE、CE分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠ABE=∠CBE，∠DCE=∠BCE， ∴∠AEB=∠ABE，∠DEC =∠DCE，∠CBE+∠BCE=90° ∴AB=AE=2，DE=DC=2，∠BEC=90°， ∴AD=2+2=4， ∴BC=AD=4， 在Rt△BCE中，由勾股定理，得 ； 故答案为：16． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题． 14. 已知是的边上的高，若，，，则的长为___________． 【答案】3或5##5或3 【解析】 【分析】分是锐角三角形和是钝角三角形两种情况，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当是锐角三角形，如图1， ， ， 由勾股定理得，， ， ， ； 当是钝角三角形，如图2， ， ∴， ， 综上：的长为3或5， 故答案为：3或5． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 15. 如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由点E是的中点，判断出，即可得出的面积，由，可得，故通过等量关系可证出． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 如图，平行四边形中，，于点，于点，，相交于点，与的延长线相交于点．下面给出五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是_______． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】根据题干信息平行四边形、特殊角以及线段的垂直关系，考虑应用等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质，另外结论中涉及、线段相等、线段平方间的关系，考虑应用全等三角形的判定与性质和勾股定理，进行结论判断． 【详解】解：，， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，故①正确； ，， ∴， ∴，， ∴， 四边形是平行四边形，可得， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴（）， ∴， 平行四边形中，， ∴，故③正确. ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，不是定值， ∴不一定等于，故④错误； ∵，， ∴，即， 在中，由勾股定理可得, ∵， ∴，故⑤正确． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握图形的基本性质，并能根据几何图形的特点进行线段与角度的分析是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，满分86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式除法和化简二次根式，再计算加减法即可得到答案； （2）先根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，点B在边上，连接，已知． （1）求证：； （2）求和的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）的长为17，的长为9 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理. （1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案； （2）设，则，由勾股定理列出方程，计算即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 则， 故的长为17，的长为9． 19. 按要求完成下列各题： （1）已知，为实数，且，求代数式的值． （2）已知，，完成下列两题： ①求的值； ②求的值． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据分式的性质和二次根式的性质化简得，再根据二次根式的性质得出，，最后代入求值即可； （2）①根据，求出，，将化为代入求解即可． ②，将，代入求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ， ∵中，， ∴， ∴， ∴原式 ． 【小问2详解】 解：①∵，， 则， ． ∴ ． ②． 将，代入，可得原式． 20. 李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】（1）电视背景墙的周长为 （2）整个电视背景墙需要花费元 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【小问1详解】 解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． 【小问2详解】 解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）． 答：整个电视背景墙需要花费元． 21. 如下图，在中，对角线，相交于点，点，在上，点，在上，且，． （1）若，，求的取值范围． （2）若，，求的度数． （3）连接，，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2） （3） 证明：在中，，． ， ，即． ， ，即， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解题的关键． （1）利用平行四边形对角线互相平分得到的长度，再根据三角形三边关系求的取值范围； （2）先在等腰中求出的度数，再由平行四边形对角相等得到； （3）通过已知条件推出四边形的对角线互相平分，从而判定其为平行四边形． 【小问1详解】 解：在中，，， ，． 在中，， ． 【小问2详解】 解：， ． ， ． 在中，． 【小问3详解】 略 22. 如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． （1）填空：，； （2）当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) （3）距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 【答案】（1）；； （2）、之间的距离为 （3）市受台风影响的时长为 【解析】 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形的应用，方位角的应用； （1）根据题意，即可得到答案； （2）过作于，设，用表示，，再根据列方程，即可求出从而解决问题； （3）过作于，设台风中心移动到点处时，城市开始受影响；移动到点处时，城市正好结束影响，即在中，求出，从而得到，进一步求出市受台风影响的时长． 【小问1详解】 解：由题意知，． 故答案为：，； 【小问2详解】 如图，过作于，    由题可得，，， 在中，， 设 ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， 答：、之间的距离为； 【小问3详解】 如图，过作于， 在中，， ∴km， 设台风中心移动到点处时，城市开始受影响； 移动到点处时，城市正好结束影响，即． 于点， ， 在中， ， ， 答：市受台风影响的时长为． 23. 如图，在中，，点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为． （1）___________； （2）求斜边上的高线长； （3）①当在上时，的长为___________，的取值范围是___________；（用含的代数式表示） ②若点在的平分线上，则的值为___________． 【答案】（1）8 （2）斜边上的高线长为 （3）①；；② 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）过点作于点，利用面积法求解； （3）①根据点P的运动路径及速度可解；②过点作于，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用勾股定理解即可； 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， ， 即， ∴斜边上的高线长为； 【小问3详解】 解：①点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，，当在上时， ， ，即， ， ②点在的角平分线上时，过点作于，如图所示， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 由（2）知， ∴， ∴， 在中，， 即， 解方程得，， ∴点在的角平分线上时，． 故答案为：①；；②； 【点睛】本题考查三角形上的动点问题，涉及勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握上述定理、性质是解题的关键． 24. 已知：在中，，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，，∴，进而得到线段、、之间满足的数量关系是___________． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【尝试应用】 （3）如图3，若点在直线上．连接，在的左侧作，，当，时，求的面积． 【拓展探究】 （4）如图4，，．为外一点，，，，则___________． 【答案】（1）； （2）（1）解：成立，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或； （4） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理. （1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）分当点D在线段上和当点D在线段的延长线上时两种情况，结合（1）（2）及三角形面积公式求解即可； （4）作于点C，使，连接，，可得是等腰直角三角形，所以，证明（），可得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：①当点D在线段上时，如图， 由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②当点D在线段的延长线上时，如图， 由（2）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或； （4）如图，作于点C，使，连接，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，根据勾股定理，得： ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $