21.2.3三角形的中位线 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

21.2.3三角形的中位线 令知迟分点练 夯基础 知识点三角形的中位线 1.如图，在ABC中，∠C=90°，AB=13,D,E分别是AC,AB的中点，DE=6,则 AC的长是() E B A.4 B.5 C.5.5 D.6 【答案】B 【分析】先根据三角形中位线定理求出BC的长，再利用勾股定理求出AC的长， 【详解】解：：D、E分别是AC、AB的中点， DE是△ABC的中位线， BC=2DE=2×6=12, :∠C=90°，AB=13, AC=VAB2-BC2=V132-122=5. 2.如图，为了测量踏青时一处被花坛隔开的A,B两点间的距离，小鸣在AB外选择一点 C,测得AC两边中点的距离DE=6m,则A,B两点间的距离是() A.8m B.10m C.12m D.20m 【答案】C 【详解】解：：AC两边中点的距离DE=6m, DE是ABC的中位线 ∴.AB=2DE=12m. 3.如图，在口ABCD中，AC、BD交于点O,E为AD中点，连接OE,若AB=6,则OE 试卷第1页，共3页 的长为() B A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可得OB=OD,再由E为AD边中点可得OE是△ABD的中 位线，利用三角形中位线定理可得答案。 【详解】解：：在口ABCD中，OB=OD, 又点E是AD的中点， ·OE是△ABD的中位线， 08=3. 4.如图，在ABC中，D是BC的中点，F为AC上一点，AE平分∠BAC,且AE⊥BF于 点E,连接DE,若AB=6,AC=9,则DE=() D A.3 B.2.5 C.2 D.1.5 【答案】D 【分析】证明△BAE≌△FAE,根据全等三角形的性质得到AF=AB=6,BE=EF,进而求 出FC,再根据三角形中位线定理解答即可. 【详解】解：：AE平分∠BAC, ·.∠BAE=∠FAE, :AE⊥BF, .LAEB=LAEF=90°， AE=AE, .△BAE≌△FAE(ASA), :AF AB=6,BE EF, 试卷第1页，共3页 FC=AC-AF=9-6=3, BE=EF,BD=DC, .DE是△BFC的中位线， :DE=CF=x3=1.5. 1 2 2 5.如图，在ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点，∠ABC的平分线BF交DE于点 F.连接AF,AB=8,BC=14,则EF的长是() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理求出DE=T,接着证明△DBF是等腰三角形，求出 DF=4,然后根据EF=DE-DF即可求解. 【详解】解：：点D,E分别是边AB,AC的中点， DE是ABC的中位线， :BC=14, DE=)BC=7,DE∥BC 又：BF为∠ABC的平分线， LABF=LCBF=∠DFB. DF=DB=T4B=4 :EF=7-4=3 6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是线段AO、B0的 中点，若AC+BD=20cm,△OAB的周长是18cm,则EF的长为 cm B 【答案】4 【分析】根据AC+BD=20cm,可得出OA+OB=10cm,继而求出AB,判断EF是△OAB 试卷第1页，共3页 的中位线即可得出EF的长度， 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， .0A=0C,0B=0D, 又：AC+BD=20cm, .0A+0B=10cm, :△0AB的周长是18cm, AB=18-10=8cm, :点E,F分别是线段A0,BO的中点， .EF是△OAB的中位线， :EF=AB =4cm. 2 7.如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，BC=6,CD=4,G为线段BC的中点，连接 AG,E,F分别为AG,AD的中点，则EF的长为· 【答】 【分析】连接GD,根据线段中点的定义求出CG的长，在RtADCG中利用勾股定理求出 DG的长，再根据三角形中位线定理即可求解. 【详解】解：连接GD, B G G为线段BC的中点，BC=6, .CG=1BC=3 ∠C=90°，CD=4, :在RteDCG中，由勾股定理，得DG=VCG2+CD2=V32+42=5 :E,F分别为AG,AD的中点， .EF为△ADG的中位线 试卷第1页，共3页 :.EF=IDG= 5 2 8.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P,E 是PD的中点，若AD=6,CD=9,则EO的长为 刀 【等案】月 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形中位 线定理.根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证得AP=AD,进而求出PB的长，最 后利用三角形中位线定理即可求解。 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD=9,AB//CD,OB=OD, ∠CDP=∠APD, :DP平分∠ADC, LADP=∠CDP, .∠ADP=∠APD, :AP=AD=6, PB=AB-AP=9-6=3, :E是PD的中点，OB=OD, EO是△PDB的中位线， 2 9.如图，在ABC中，AB>AC,AD平分∠BAC,CD⊥AD,点E是BC的中点，若 AB=12,AC=10,求DE的长. B E 【答案】DE的长为1. 试卷第1页，共3页 【分析】延长CD与AB相交于点F,然后证明△ADC≌aADF(ASA),所以AF=AC=I0, CD=DF,再通过中位线定理即可求解. 【详解】解：如图，延长CD与AB相交于点F, B :AD平分∠BAC, :Z CAD =ZFAD :CD⊥AD, .∠ADC=∠ADF=90°， .AD=AD, △ADC≌△ADF(ASA, :AF=AC=10,CD=DF, BF=AB-AF=AB-AC=12-10=2,点D是CF的中点， :点E是BC的中点， DE是BCF的中位线， 1 、DE三BF2×2=1 DE的长为1. 10.【三角形中位线定理】 D E B B 图① 图② (I)如图1，己知：在ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点，请直接写出DE与BC 之间的数量关系和位置关系： 【应用】 试卷第1页，共3页 (2)如图2，在四边形ABCD中，点E,F分别是边AB,AD的中点，若BC=5,CD=3, EF=2,∠AFE=45°，求∠ADC的度数： 【答案】（①DE=BC,DEIBC (2)135° 【分析】(1)根据三角形中位线定理求解即可： (2)连接BD,利用三角形中位线定理，勾股定理逆定理求解即可. 【详解】(1)解：根据三角形中位线定理，得DE=BC,DE‖BC; (2)解：连接BD, 因为点E,F分别是边AB,AD的中点， 故EF=BD,EFRRD, .BD=2EF,∠AFE=∠ADB, :EF=2,∠AFE=45°， .BD=4,∠ADB=45°， :BC=5,CD=3,且CD2+BD2=32+42=52,BC2=52 .CD2+BD2=BC2, ∠BDC=90°， ·LADC=∠ADB+LBDC=135°. B能力综合练 练思维 11.将直角三角形纸片ABC(∠C=90按如图方式折叠两次再展开，若BC=8,则MN的长 为() 试卷第1页，共3页 折叠 再折叠 展开D P A.1 B.2 C.4 D.6 【答案】B 【详解】第一次折叠：点A落在BC边上，说明D是AC上的点，且DE∥BC,此时DE是 ABC的中位线，DE=BC=4, 第二次折叠：将D点再向上折叠，得到MN,此时MN是ADE的中位线。 因为DE=4,而Mv是4DE的位线，所以：Mw-DE-4=2. 12.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交 BC、BD于点E、P,连接OE,∠ADC=60°，AB=BC=1,则下列结论：① ∠CAD=30°：②BD=V万：③S行D=ABAC:④0E=AD,其中正确的个数是() E A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.①②③ 【答案】D 【分析】①先根据角平分线和平行四边形的性质推出∠BAE=∠BEA,则AB=BE=1,由有 一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰 三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定 库得：0E=方4B-,0E∥AB,版据勾股定理计算0C 2 5和OD的长，可 得BD的长；③因为LBAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位 线定理可作判断 试卷第1页，共3页 【详解】解：①：AE平分∠BAD, ∠BAE=∠DAE, :四边形ABCD是平行四边形， :AD∥BC,∠ABC=LADC=60°， B ∴.LDAE=LBEA, :ZBAE ZBEA, ∴.AB=BE=1, △ABE是等边三角形， :AE BE =1, BC=2, EC=1, :AE=EC, :ZEAC ZACE, :∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°， LACE=30°， :AD∥BC, LCAD=∠ACE=30°，故①正确； ②：BE=EC,0A=OC, :∠E0C=∠BAC=60°+30°=90°， Rt△EOC中， 0C= :四边形ABCD是平行四边形， LBCD=∠BAD=120°， ∠ACB=30°， ∠ACD=90°， 试卷第1页，共3页 Rt△OCD中， OD 2 2 BD=20D=√万，故②正确： ③由②知：∠BAC=90°， “S平行西边形BCD=AB·AC,故③正确： ④由②知：OE是ABC的中位线， 0-c, :OE=BC=4D,故④错误； 2 I3.如图，在ABC中，BD垂直平分AC,点F在线段BC上，AF,BD相交于点M, EM=FM=AE,连接ED,若AB=12,则ED的长为· 2 【答案】4 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，得出DE为△ACF的中位线，得出 DE=二CR,DE∥CF,证明AMDE≌AMBF,得出相等的线段，最后可以求解. 【详解】解：：BD垂直平分AC, .BC=AB=12,AD=CD, EEM=FM三2AEY 点E为线段AF的中点， DE为△ACF的中位线， DE-CF,DE∥c, ∠MED=∠MFB,∠MDE=∠MBF, .aMDE≌AMBF(AAS, 试卷第1页，共3页 :DE=BF DE=BC子 3×12=4】 14.如图，在△ABD中，C是BD上一点，且BC=2CD,如果E,F分别是AC,AB的中 点，△ABD的面积为26，那么△DEF的面积为 B 特1号 【分析】连接CF,先根据BC=2CD求得S.c= 上。，然后根据三角形的中线将三角形的面 13 积平分，求得S4Cr= ,S。,再根据三角形的中位线定理，证明EF∥BC,即D 根据等积变形求得答案. 【详解】解：连接CF, :BC=2CD,△ABD的面积为26， ∴.SABc= 2 2S4D=3×26=52 3 3 F是AB的中点， 1 =1x52_26 5ce2.2x3-3, E是AC的中点， 12613 .ScEF=SACF三EX 2 233’ :E是AC的中点，F是AB的中点， EF是ABC的中位线， ∴.EF BC, 13 SCEF =SDEF 3· 试卷第1页，共3页 E B 15.如图，O是ABC内一点，连接OB,OC,并将AB,OB,0C,AC的中点D,E, F,G依次连接，得到四边形DEFG. (1)求证：四边形DEFG是平行四边形. (2)如果∠0BC=45°，L0CB=30°，0B=3√2，求EF的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)3+3V5 【分析】(I)判断EF是△OBC的中位线，DG是△ABC的中位线，则EF∥BC, EF=BC,DG∥BC,DG=BC,因此EF∥DG,且EF=DG,命题得证： 2 2 (2)作OH⊥BC,垂足为H,判断△OBH是等腰直角三角形，则BH=OH=3,根据含 30°角的直角三角形的性质可得，OC=20H=6,由勾股定理可得CH=3√3，因此 BC-3+55,结合EF=号BC即可计算出结果。 【详解】(1)证明：：E,F分别是OB、0C的中点， :EF是△OBC的中位线， 1 EF∥BC,EF=BC, 、) 同理，DG是△ABC的中位线， aDG∥BC,DG=2BC, .EF∥DG,且EF=DG, :四边形DEFG是平行四边形： 试卷第1页，共3页 (2)解：如图，作OH1BC,垂足为H, D E H 在Rta0BH中，∠0BC=45°， :.△OBH是等腰直角三角形， :BH=OH, 又：在Rt△OBH中，BH+OH=OB2,且OB=3√2， .BH =OH =3, 在RtACOH中，∠0CB=30°， .0C=20H=6, 由勾股定理可得，CH=V0C2-0H2=3V3, :BC=BH+CH=3+33, i.EF=IBC= 3+3V5 2 2 I6.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,M、N、P分别是AD、BC、BD的中点， ∠ABD=20°，∠BDC=70°. D W (I)求证：△PMN是等腰三角形： (2)求∠PMN的度数， 【答案】()见解析 (2)25° 【分析】(I)利用三角形的中位线牲质可得PM=。AB,PN=DC,PM∥AB, PN∥DC,再利用等量代换和等腰三角形的判定可得结论； (2)利用平行线的性质和等腰三角形的性质求解即可】 试卷第1页，共3页 【详解】(I)证明：：在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点， ∴.PN,PM分别是△CDB与△DAB的中位线， ÷PM=AB,PN=DC,PM∥AB,PN∥DC, 2 2 AB=CD :PM =PN △PMN是等腰三角形； (2)解：PM∥AB,PN∥DC, :∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70° ∠MPN=∠MPD+∠WPD=20°+180°-70=130° ÷∠PMN=180°-130 2 =25°. 17.数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且 等于第三边的一半.已知：如图1，ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点. 求：证DENBC,DE-BC. 【定理探究】 ()下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明. 方法一 方法二 证明：如图2，延长 证明：如图3，过E作 DE到点F,使 EF I AB交BC于点 EF=DE,连接FC, F,过A作AG‖BC交 DC,AF 直线EF于点G. O B 图1 图2 图3 【定理应用】 (2)如图4，C,B两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离，测量员在地面上选了点 试卷第1页，共3页 A和点D,使AD∥BC,连接AB、DC,并分别找到AB和DC的中点M,N,若测得 AD=am,MN=bm,则C,B两地间的距离为 m. M 图4 【答案】(1)见解析 (2)2b-a 【分析】(I)方法一、证明△AED≌△CEF,根据全等三角形的性质可证CF=AD且 CF‖AB,证明四边形DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质可证结论成立； 方法二、证明△AGE≌aCFE,根据全等三角形的性质可证AG=!BC,AG‖BC,证明：四 边形ADEG是平行四边形，利用平行四边形的性质可证结论成立； (2)连接AN并延长，交BC延长线于G,可证△ADN≌△GCN,根据全等三角形的性质可 知4G=BC,4GBC,可证MN是648G的中位线，根据中位线的性质即可求出结果。 【详解】(1)解：方法一： 证明如下：：在ABC中，E是边AC的中点， :AE CE 在△AED和△CEF中， AE=CE ∠AED=∠CEF, DE=FE a△AED≌ACEF(SAS, CF=AD,∠DAE=∠FCE, ∴.CFI‖AB, :点D是边AB的中点， :AD=DB, :CF DB, :四边形DBCF为平行四边形， 试卷第1页，共3页 :DF BC,DF BC, D-ne. DE=BC,DE∥BCy 方法二： 证明如下：过E作EF‖AB交BC于点F,过A作AG‖BC交直线EF于点G, :四边形ABFG是平行四边形， AG=BF,AB=GF, 又AG‖BC, LC=∠GAE, 在△AGE和ACFE中， ∠C=∠GAE CE=AE ∠FEC=∠AEG △AGE≌△CFE, AG=CF, :.AG=-BC,AGIIBC, 2 :点D,E分别是边AB,AC的中点， ADAB GE-GF. AD=GE, :四边形ADEG是平行四边形， :AG=DE AG DE, DE=BC,DENBC: (2)解：如下图所示，连接AN并延长，交BC延长线于G, A M :AD‖BC, 试卷第1页，共3页 ∠D=∠NCG,∠DAN=∠G, N是DC中点， :ND=NC, 在△ADN和△GCN中， [∠D=∠NCG ∠DAN=∠G, ND=NC △ADN≌AGCN(AAS, AN =NG,AD=CG, M是AB中点， :MN是△ABG的中位线， .MN=BG, BG=BC+CG=BC+AD, ∴.MN=(AD+BC), 2 AD am MN bm ∴.BC=2b-am. 拓展探究练 提素养 18.如图1，点C是射线BO上的一个动点，点A在射线BC的上方，现以点A,B,C为顶点 构造平行四边形ABCD(BC>AB).∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点E、F,直线 CF与BE相交于点G. F E D B C 图1 图2 (I)如图1，求证：BE⊥CF; (2)如图2，点Q为BC中点，连接AG并延长交线段CD于点H,若AB=6,GQ=5,求DH的 长 (③)如图1，在点C的运动过程中，探究线段AB,CF,BE之间的数量关系，并说明理由. 试卷第1页，共3页 【答案】（①）见解析 (2)2 (3)BE2+CF2=4AB2 【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AD∥BC,AB∥CD,再根据角平分线得到BE平 分LABC,CF平分∠BCD,通过LEBC+LFCB+LBGC=I80°即可求证. (2)延长QG交EF于P,通过∠BGC=90°，点Q为BC中点，BE平分∠ABC,CF平分 ∠BCD,求得EF=AE+AF-AD=2,AF=ED=4,再根据LPGE=∠PEG,证得 PG=PE;同理可证PG=PF,得到P是EF的中点，最后证明PG为△AHD的中位线即可 (3)过E作EM∥CF交BC于M,先证出四边形EFCM是平行四边形，再结合BE⊥FC, 得到BE2+EM2=BM2,最后证出BM=2AB即可. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD, ∴LABC+LBCD=I80°， ·BE平分∠ABC,CF平分∠BCD, h∠E8C=4Bc,∠PCB=∠BcD, :∠EBC+∠FCB=ABC+BCD)=90°， 2 :∠EBC+∠FCB+∠BGC=180°， .∠BGC=180°-（∠EBC+∠FCB)=90°， .BE⊥FC (2)解：延长QG交EF于P, FPE D G B Q C 由(1)知∠BGC=90°，点Q为BC中点，GQ=5, :.GQ=BQ-CQ=IBC, 2 .BC=10,∠QBG=∠BGQ :BE平分∠ABC,CF平分∠BCD, 试卷第1页，共3页 :∠EBC=∠ABC,∠FCB=∠BCD, 2 :四边形ABCD是平行四边形，AB=6, :AB=CD=6,AD BC=10,AD//BC, .∠AEB=∠EBC,∠DFC=LFCB, ∠ABE=∠AEB,∠DFC=∠DCF, :AB=AE,FC=FD, .EF=AE+DF-AD=2,AF ED=4, 又：∠QBG=∠BGQ,∠BGQ=∠PGE,∠AEB=∠EBQ, .∠PGE=∠PEG, .PG=PE; 同理可证PG=PF, P是EF的中点， BE⊥FC, :PG=1EF=1,PD=QC=5, :AD∥BC, :.四边形PQCD为平行四边形， PG∥CD, PG为△AHD的中位线， :.PG-HD-1 .HD=2 (3)解：如图， F E B M 过E作EM∥CF交BC于M, :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, :四边形EFCM是平行四边形， 试卷第1页，共3页 .FCI EM CF EM EF CM 由(1)知BE⊥FC, .∠BGC=LBEM=90°， :BE2+EM 2=BM 2, .BM BC+CM .BM BC EF, 由(1)可知，AE=AB,DF=CD=AB,AD=BC, .EF AE DF-AD AB+AB-BC 2AB-BC, .BM =BC +2AB-BC =2AB, BE2+CF2=(2AB)2, :BE2+CF2 =4AB2. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中 点的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键 19.按要求解答问题： ()为了探索三角形中位线的性质，小明同学的思路如下： 如图I,在ABC中，延长DE(D,E分别是AB,AC的中点)到点F,使得EF=DE,连 接CF;先证△ADE≌aCFE,再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到中位线DE与BC的 关系是 （直接填写结果)； D 图1 (2)如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G,F分别为AB,CD边上的点，若 AG=3,DF=4V2,∠GEF=90°，求GF的长； 图2 试卷第1页，共3页 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G,F分别为AB, CD边上的点，若AG=3,DF=4V2,∠GEF=90°，求GF的长. B 图3 【答案】（①）DE∥BC,DE=BC」 (2)4v2+3 (3)√65 【分析】(1)根据三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质求解即可； (2)延长GE,FD,二线交于点H,利用三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判 定和性质求解即可， (3)过点D作DQ∥AB,交GE延长线于点Q,连接OF,过点Q作OP⊥FD,交FD延 长线于点P,根据三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理求解 即可 【详解】(I)证明：如图，延长DE至点F,使得EF=DE,连接CF, ∴.∠AED=∠CEF, AE CE, 在△AED和△CEF中， 「AE=CE ∠AED=∠CEF, DE=EF .△AED≌aCEF(SAS, .AD =CF,ZA=ZACF :BDCF, 试卷第1页，共3页 D是AB的中点， :AD BD, :BD=CF .四边形BDFC是平行四边形， DF∥BC,DF=BC, DE//BC,DE-BC. (2)解：如图，延长GE,FD,二线交于点H. :正方形ABCD中，E为AD的中点， AGI‖DH,AE=DE, B ∴.∠GAE=∠HDE,∠AGE=∠DHE, 在△AEG和△DEH中， 「∠AGE=∠DHE ∠GAE=∠HDE, AE=DE :.△AEG≌DEH(AAS) ∴AG=DH,GE=HE, AG=3,DF=42,∠GEF=90°， .AG=DH=3,FH=DH+DF=4√2+3，直线EF是线段GH的垂直平分线， ∴.GF=FH=4V2+3. (3)解：如图，过点D作DQ∥AB,交GE延长线于点Q,连接QF,过点Q作QP⊥FD, 交FD延长线于点P. E为AD的中点， :AE=DE, 试卷第1页，共3页 C ∠GAE=∠QDE,∠AGE=∠DQE, 在△AEG和△DEQ中， 「∠AGE=∠DQE ∠GAE=∠QDE, AE=DE :.△AEG≌△DEQ(AAS .AG=D0,GE=QE,∠A=∠QDE=105°， :AG=3,DF=4V2,∠GEF=90°，LADC=120°， :.AG=DQ=3,∠ADP=60°，直线EF是线段GQ的垂直平分线， .GF=FO, :∠A=∠QDE=105°， ∠QDP=45°， .∠DQP=45°， :DP=OP, :.DP2+OP2=20P2=DO2=9, 解得DP=PQ= 3V2 2 PF=DP+DF=3 +4V2=11V2 2 2 112 32 OF= =√65 2 20.【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明. 试卷第1页，共3页 D A N W 图① 图② 图③ (I)如图①，在四边形ABCD.中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是DC的中点， N是AB的中点.求证：∠PMN=∠PNM. (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E,延长线段BC交NM的延长线于点 F,求证：∠AEN=∠F. (3)【应用探究】 如图③，在ABC中，点D在AC上，AD=BC=3,M是DC的中点，N是AB的中点， 连接NM并延长，与BC的延长线交于点G,若LGMC=45°，求MN的长 【答案】（①）见解析 (2)见解析 8)32 2 【分析】(1)根据中位线定理证明即可； (2)根据中位线定理证明即可； (3)连接BD,取BD中点P,连接PM、PN,结合(1)(2)的结论证明△PMN为等腰直 角三角形，进而解题. 【详解】(1)证明：：P是BD的中点，M是DC的中点， :PM=IBC. 2 :P是BD的中点，N是AB的中点， PW=0, .AD =BC, :PM =PN, .∠PMN=∠PNM; (2)证明：如图，由(1)得∠PMN=∠PNM, 试卷第1页，共3页 F N 图2 :N是AB的中点，M是DC的中点，P为BD的中点， :PN AD,PM BC, .∠AEN=∠PNM,∠PMN=∠F, .∠AEN=∠F; (3)证明：如图，连接BD,取BD中点P,连接PM,PN,由(1)知LPMN=∠PNM, G N B 图3 由(2)可知，PM IBG,PNI‖AM, LPMN=∠CGM,∠PNM=∠AMN, :.∠CGM=∠AMN, :∠GMC=45°，∠AMN=∠GMC, ∠PMN=∠PNM=∠CGM=∠AMN=45°， ∠MPN=180°-45°×2=90°， △PMN为等腰直角三角形， AD =BC=3, 3 由D知PM=PW=)AD MN -PM+PN732 2 试卷第1页，共3页 21.2.3三角形的中位线 知识分点练 夯基础 知识点 三角形的中位线 1．如图，在中，，，，分别是，的中点，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．5.5 D．6 2．如图，为了测量踏青时一处被花坛隔开的，两点间的距离，小鸣在外选择一点，测得两边中点的距离，则，两点间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，、交于点，为中点，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 4．如图，在中，是的中点，为上一点，平分，且于点，连接，若，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 5．如图，在中，点D，E分别是边的中点，的平分线交于点F．连接，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则的长为___________． 7．如图，在四边形中，，，，G为线段的中点，连接，E，F分别为的中点，则的长为______． 8．如图，的对角线，相交于点的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为________________． 9．如图，在中，，平分，，点是的中点，若，，求的长． 10．【三角形中位线定理】 (1)如图1，已知：在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出与之间的数量关系和位置关系； 【应用】 (2)如图2，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，，，，求的度数． 能力综合练 练思维 11．将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，若，则MN的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 12．如图，平行四边形中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 13．如图，在中，垂直平分，点在线段上，，相交于点，，连接，若，则的长为_____． 14．如图，在中，C是上一点，且，如果E，F分别是，的中点，的面积为26，那么的面积为___________． 15．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 16．如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，． (1)求证：是等腰三角形： (2)求的度数． 17．数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．已知：如图1，中，，分别是边，的中点． 求证：，． 【定理探究】 (1)下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 方法一 证明：如图2，延长到点，使，连接，，． 方法二 证明：如图3，过作交于点，过作交直线于点． 【定理应用】 (2)如图4，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离，测量员在地面上选了点和点，使，连接，并分别找到和的中点，，若测得，，则，两地间的距离为________． 拓展探究练 提素养 18．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 19．按要求解答问题： (1)为了探索三角形中位线的性质，小明同学的思路如下： 如图1，在中，延长分别是，的中点）到点，使得，连接；先证，再证四边形是平行四边形，从而得到中位线与的关系是___________（直接填写结果）； (2)如图2，在正方形中，为的中点，G，F分别为，边上的点，若，求的长； (3)如图3，在四边形中，为的中点，G，F分别为，边上的点，若，求的长． 20．【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $