精品解析：陕西榆林市横山中学2026届高三下学期全国高考冲刺压轴卷(四) 数学试题

2026年全国高考冲刺压轴卷（四） 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】首先通过复数的除法运算将分母实数化得到复数的代数形式，进而根据复数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， ， 所以. 3. 已知，，则（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系及两角差的正切公式求解即可. 【详解】由，，得，所以， 所以. 4. 某小型话剧表演结束后6名演员（含甲、乙）排成一排谢幕，若演员甲、乙不相邻，则不同的排法种数有（ ） A. 360 B. 480 C. 504 D. 720 【答案】B 【解析】 【分析】根据插空法及分步计数原理计算即可. 【详解】先把除甲乙以外的4个人排好，共种情况，再将甲乙两人插入这4人所形成的5个空隙中，有种情况， 根据分步乘法计数原理，总共有种不同排法. 5. 已知函数的最小正周期为，若，且，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】函数的最小正周期，可转化为，解方程求，由可得，由此可得结论. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 所以，因为，所以， 因为，所以， 所以，因为， 所以的最小值是4. 6. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明函数是奇函数且在上单调递增，利用函数奇偶性和单调性解不等式. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以函数是奇函数， 因为函数，，在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 所以，解得或. 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是上一点，直线的斜率为3，直线的斜率为，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意有且，中由勾股定理，得的齐次式可求离心率的大小. 【详解】因为直线，的斜率之积为，所以，， 由直线的斜率为3，可知，所以， 因为，所以，， 因为，所以，即， 所以，所以. 8. 已知，，，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，，，构造函数，利用导数判断函数的单调性，借助函数单调性比较的大小，由此确定的大小，再推出的大小. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 同理，. 令，则，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，函数在上单调递增， 所以， 又， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某精密仪器车间有一个圆柱形原料，现需要在这个原料中挖出一个倒立的圆锥形零件，其尺寸如图所示，则（ ） A. 圆柱形原料的表面积为 B. 圆柱形原料的体积为 C. 圆锥形零件的表面积为 D. 圆锥形零件的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，代入几何体的表面积和体积公式，即可求解. 【详解】由题意知圆柱形原料的底面半径，高， 圆柱形原料的表面积，体积，故A正确，B错误； 由题意知圆锥形零件的底面半径，高，母线， 表面积，体积，故C错误，D正确. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 若是的中线，则 C. 若是的高，则 D. 若是的角平分线，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用余弦定理求解判断A；利用数量积运算律求解判断B；利用三角形面积列式求解判断CD. 【详解】对于A，由余弦定理，得，A错误； 对于B，由是的中线，得，则 ，B正确； 对于C，由是的高，得，则，C错误； 对于D，由是的角平分线，得，由， 得，则，D正确. 11. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点（点在第一象限），为坐标原点，过点，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，且与的面积之比为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则的倾斜角为 C. 若且的面积为，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平行得出比例结合抛物线定义判断A，应用比例值计算正弦值判断B，联立得出点再结合面积公式计算求解判断C，得出倾斜角及弦长的关系结合基本不等式计算判断D. 【详解】对于A，，因为与的面积之比为3，且， 所以，根据抛物线的定义，得，所以，故A正确； 对于B，设直线与的准线交于点，不妨设，则，由A选项知， 因为，所以，即，解得， 所以，所以，因此直线的倾斜角为，故B正确； 对于C，易知的焦点为，由B选项知，设直线的方程为，与联立， 得，解得，，所以，， 因为的面积为，所以，解得，故C错误； 如图，设直线的倾斜角为，当时，过作，垂足为，则，， 所以，解得， 当时，同理可得，当时，也成立， 综上所述，时，，同理可得， 所以，当时，取到最小值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则实数________. 【答案】1 【解析】 【详解】因为，， 所以，， 且， 所以，即，解得. 13. 已知是等比数列的前项和，若，，则________. 【答案】63 【解析】 【详解】由是等比数列的前项和且，得成等比数列， 而，即成等比数列， 因此，解得，所以. 14. 现一次性抛掷颗质地均匀的正方体骰子（每颗骰子的点数都是1，2，3，4，5，6），这颗骰子的点数中，最小点数记为随机变量.若的数学期望不大于，则的最小值是________. 【答案】5 【解析】 【分析】首先求出关于n的表达式，构造函数，根据函数的单调性可求得结果. 【详解】由题意，得随机变量可取颗骰子的点数都不小于的概率为， 点数都不小于的概率为，其中， 所以， 所以， 令，则， 记， 因为都关于单调递减， 所以关于单调递减， 又，，所以的最小值为5. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 飞机与高铁是人们远距离出行的两种方式，交通大学某班学生为了调查人们选择的远距离出行方式是否与年龄相关，随机抽取该市1000名市民进行调查，得到如下列联表： 低于40岁 不低于40岁 总计 选择飞机出行 100 选择高铁出行 300 总计 500 1000 （1）补全表中数据，依据小概率值的独立性检验，是否能够认为市民选择的远距离出行方式与年龄有关联? （2）调查小组统计高铁站某处今天的客流量，从7：00开始，每小时作为一个时间段（为第1个时间段，为第2个时间段，……），得到如下数据： 时间段 1 2 3 4 5 客流量（千人） 1 1.5 2.5 3 3.5 若与线性相关，建立每个时间段客流量与时间段的经验回归方程，并预测的客流量. 附：，其中. 0.010 0.001 6.635 10.828 对于一组数据，，…，，其经验回归方程的斜率，. 【答案】（1）列联表如下： 低于40岁 不低于40岁 总计 选择飞机出行 100 200 300 选择高铁出行 400 300 700 总计 500 500 1000 与年龄有关联 （2），客流量约为4.25千人【解析】 【分析】（1）根据数据完成表格，求出的值即可判断； （2）根据数据求出回归方程，再代入，即可得答案. 【小问1详解】 列联表如下： 低于40岁 不低于40岁 总计 选择飞机出行 100 200 300 选择高铁出行 400 300 700 总计 500 500 1000 零假设为：市民选择的远距离出行方式与年龄没有关联. 由列联表中的数据， 得. 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以能够认为市民选择的远距离出行方式与年龄有关联. 【小问2详解】 ，， 所以 ， ， 所以每个时间段客流量与时间段的经验回归方程为. 当时， ， 所以预测12：00~13：00的客流量约为4.25千人. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱上的一点，且，，，. （1）求证：； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）方法一：如图，连接，在矩形中，， ，， 所以，， 又 ，，所以. 因为，所以，即. 因为平面，平面，所以. 因为，，，，平面， 所以 平面， 又 平面，所以 . 方法二：由题意可知， ，两两垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系. 因为， ，，则，，. 设，则，. 由可得，即 . （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：连接，先利用平面几何知识求得，利用线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理得 平面，进而利用线面垂直的性质定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，表示点的坐标，设，利用向量数量积即可证明. （2）先利用线面平行的性质定理得 为的中点，然后求出平面 的法向量，进而利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接 交 于点，连接， 因为平面 ， 平面 ，平面平面， 所以. 因为四边形是矩形，所以为 的中点，所以 为的中点. 由题意可知，， ，两两垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系. 故，，，. 所以，，. 设为平面 的一个法向量， 则，故可取. 设直线与平面 所成角为， 则， 即直线与平面 所成角的正弦值为. 17. 已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求数列的通项公式，再根据公式，求解数列的递推关系式，通过构造求数列的通项公式； （2）首先利用倒序相加法求数列的通项公式，再利用错位相减法求和. 【小问1详解】 因为，且数列是公差为的等差数列，所以， 所以， 当时，，两式相减，得， 所以，所以， 所以数列是常数列，所以，即. 【小问2详解】 因为，所以. 又， 两式相加，得. 所以. 所以， ， 两式相减，得 . 所以. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若函数在上有两个零点，，且. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）（i）利用导数确定函数的单调性和极值，根据题意列出不等式组求解即可； （ii）将问题转化为证明，令，利用导数可得在上单调递增，从而可得，即可得证. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以，. 所以函数的图象在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 （i） =3(2) =3() . 当时，， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 所以在上的极大值为， 又，. 若函数在上有两个零点， 则 解得， 所以的取值范围是； （ii）证明：由（i）得， 要证，只需证. 因为，且在上单调递减， 所以只需证. 因为， 所以只需证. 令， 则 ， 当时，，，所以，，所以， 即在上单调递增， 所以， 所以， 即. 所以，得证. 19. 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且. （1）求的方程； （2）若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明：由（1），得，，设，，， 直线 的斜率，直线的斜率. 因为，所以. 因为，， 所以. 因为，所以， 所以，即为定值. （ii）4 【解析】 【分析】（1）先设点，再应用点到直线距离公式计算求解得出参数即可得出双曲线方程； （2）（i）先设点的坐标，再应用斜率公式结合双曲线方程化简求值；（ii）结合对称性设直线 的方程，再联立计算斜率乘积得出，最后应用定点得出距离的最大值. 【小问1详解】 由题意知 的渐近线方程为 ， 设，则. 因为，所以， 所以 的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）解：若直线 的斜率为0，根据对称性，直线 与直线的交点应在轴上，不符合题意， 所以直线 的斜率不为0，又 ， 不重合，故可设直线 的方程为. 联立得， 由题意得且，即， 由韦达定理，得，. 由（i）得， 故， 所以， 化简，得. 因为，所以，解得. 所以直线 的方程为，因此直线 恒过点， 所以当 时，坐标原点 到直线 的距离取得最大值4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全国高考冲刺压轴卷（四） 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. 7 C. D. 4. 某小型话剧表演结束后6名演员（含甲、乙）排成一排谢幕，若演员甲、乙不相邻，则不同的排法种数有（ ） A. 360 B. 480 C. 504 D. 720 5. 已知函数的最小正周期为，若，且，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是上一点，直线的斜率为3，直线的斜率为，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，且，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某精密仪器车间有一个圆柱形原料，现需要在这个原料中挖出一个倒立的圆锥形零件，其尺寸如图所示，则（ ） A. 圆柱形原料的表面积为 B. 圆柱形原料的体积为 C. 圆锥形零件的表面积为 D. 圆锥形零件的体积为 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 若是的中线，则 C. 若是的高，则 D. 若是的角平分线，则 11. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点（点在第一象限），为坐标原点，过点，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，且与的面积之比为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则的倾斜角为 C. 若且的面积为，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则实数________. 13. 已知是等比数列的前项和，若，，则________. 14. 现一次性抛掷颗质地均匀的正方体骰子（每颗骰子的点数都是1，2，3，4，5，6），这颗骰子的点数中，最小点数记为随机变量.若的数学期望不大于，则的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 飞机与高铁是人们远距离出行的两种方式，交通大学某班学生为了调查人们选择的远距离出行方式是否与年龄相关，随机抽取该市1000名市民进行调查，得到如下列联表： 低于40岁 不低于40岁 总计 选择飞机出行 100 选择高铁出行 300 总计 500 1000 （1）补全表中数据，依据小概率值的独立性检验，是否能够认为市民选择的远距离出行方式与年龄有关联? （2）调查小组统计高铁站某处今天的客流量，从7：00开始，每小时作为一个时间段（为第1个时间段，为第2个时间段，……），得到如下数据： 时间段 1 2 3 4 5 客流量（千人） 1 1.5 2.5 3 3.5 若与线性相关，建立每个时间段客流量与时间段的经验回归方程，并预测的客流量. 附：，其中. 0.010 0.001 6.635 10.828 对于一组数据，，…，，其经验回归方程的斜率，. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱上的一点，且，，，. （1）求证：； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若函数在上有两个零点，，且. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 19. 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且. （1）求的方程； （2）若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $