四川广安友谊中学2025-2026学年九年级下学期第一次学情自测数学试卷

**基本信息** 立足九年级下册学情，以A卷基础巩固与B卷能力提升为梯度，融入气凝胶材料、人工智能统计等真实情境，通过函数图像分析、几何动态问题等考查数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相反数、科学记数法、几何体视图、运算、中位数|结合气凝胶科技情境考查科学记数法，体现数学眼光| |填空题|9/36|分式意义、因式分解、中心对称、圆锥侧面积、二次函数图像|以吊灯圆锥侧面积计算考查空间观念，落实数学思维| |解答题|8/74|统计与概率、三角函数应用、函数综合、几何证明、二次函数探究|人工智能测试统计题融合数据意识，潮汐塔测量题强化模型应用，体现数学语言表达|

四川川省广安友谊中学初2023级九下第一次月考试题 数学试卷 (考试时间：120分钟满分：150分) 注意事项： 1。本试卷分试题卷（1-6页)和答题卡两部分。 2.请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用0,5毫米黑色字 迹签字笔答在答题卡上的相应位置。超出答题区城书写的答案无效，在草稿纸、试题卷 上答题无效；作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑。 3。考试绮柬后，只交答题卡。 A卷（共100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分。共40分。在每小题给出的选项中，只有 项是符合题目要求的) 1.-2026的相反数是() 1 A.2026 2026 c.-2026 D. 2026 2.气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、 建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于0.00000002m.数据“0.00000002m”用科学记数 法表示为() A.2×10-8mB.0.2×10-8mC.0.2×10-7m D.2×10-7m 3.用5个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，则从左面看到的这 个几何体的形状图是() 从正面看 4下列运算正确的是()） A(-2x3)2=x6 B.x8÷x2=x C.(m-3m)(m+3m）=m2-3n2 D.(m+2n)2=m2+4n2 第1页（共6页） 5.小明记录了一个星期的每天最高气温如下表，则这个星期每天的最高气温的中位数是() 星期 二 三 四 五 六 日 最高气温(C) 22 24 23 25 24 22 21 A.22°C B.23°C C.24°C D.25C A 6.如图，如果LA0B=∠C0D=90°，那么∠1=∠2，这是根据() B A.直角都相等 B.等角的余角相等 C.同角的余角相等 D.同角的补角相等 7。已知一个两位数，十位上的数字尤比个位上的数字y大1，若互换个位与十位数字的 位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列出的方程组中，正确的是（) x-y=1 x=y+1 A。 B (x+y)+(y+x)=9 10x+y=y+x+9 x+y=1 x=y+1 C D 10x+y=10y+x+9 10x+y=10y+x+9 8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8,对角线AC,BD 交于点O,点P是AB的中点，连接DP,点E是DP的中点， 连接0E,则0E的长是( ) A.1 B C.2 D.4 9.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm,∠B=30°，点P从点B出发，以√3cms的速 度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA-AC方向运 动到点C停止，若△BPQ的面积为y(cm2),运动时间为x（s)，则下列最能反映y与x 之间函数关系的图像是() 43 43 43 第2页（共6页） 10.如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB,点M,N分别在 边BC,AD上.连接MN,将四边形CMND沿MW翻折，点C, D分别落在点A,E处.则tan∠AMN的值是() A.2 B.2 c.5 D.5 B 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 1,要使代数式V-2有意义，则实数Y的取值范围是」 x-4 12.因式分解：4m2-64= 13.在平面直角坐标系xOy中，点A(-3,2)与点A关于原点中心对称，则点A'的坐标是 14.如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为24cm,侧面积为240πcm2,则该吊灯外 罩的高是cm。 三、解答题（本题共5小题，第15小题10分，第16、17、18小题各8分，第19小题 10分，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.)计算：-1+2sin60°+（分2-（元-5）》 2)先化简，再求值：Q-)片+2+1，共中x=V5-1. x+2 x+2 16.近年来，随着全球人工智能大模型等的迅速发展，人工智能日渐成为新一轮科技革命和 产业革命的重要驱动力量。为了培养新时代青少年对科技的探究兴趣，某校开展了以“人 工智能”为主题的知识讲座，并开展了“人工智能”知识答题测试，现从该校九年级参加 测试的学生中随机抽取部分学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成 绩得分用x表示，共分成四组：80≤x<85、85≤x<90、90≤x<95、95≤x≤100)， 并绘制出如下两幅不完整的统计图。其中抽取的九年级学生测试成绩在90≤x<95中的数 据分别是90,92,93,91。 第3页（共6页) 抽取的九年级学生测试成绩扇形统计图 抽取的九年级学生测试成绩频数分布直方图 85≤r<90 10% 频数/人数 80≤x<85 90sr<95 4 95≤x≤100 3 a% 80859095100 成绩/分 根据以上信息，解答下列问题： (1)一共抽取了名九年级学生，扇形统计图中的=，并补全频数分布直方图： (2)若该校九年级共有700人参加了此次答题测试，估计九年级参加测试的学生成绩不低 于90分的人数： (3)从九年级抽取的学生中，成绩为前四名的学生是2男2女，现从这四名学生中任选两 名参加市级“人工智能知识”的培训课程，用树状图或列表法求选中的两名学生恰好都是 男生的概率。 17.如图①，潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌。某数学兴趣 小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图②所示.无人机在距水平地面119的 点D处测得潮汐塔顶端A的俯角。∠CDA=22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达 点E,测得潮汐塔底端B的俯角为∠CEB=45°（点D、E、A、B在同一平面内），求潮 汐塔AB的高度.（结果精确到1m)【参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°0.40】 459 图① 图② 18.如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y,=kx+b的图象与反比例函数y2=”的图 象相交于点A(-1,m),B(3,1). (1)求一次函数、反比例函数的解析式： (2)连接OA,OB,求△OAB的面积. (3)结合图像直接写出，当y1>y2时，x的取值范围. 第4页（共6页） 19.如图，等腰△ABC,AB=AC,O为AC上一点，⊙O经过点C且与AB相切于E点，⊙O 与BC交于点D,作DF 1 AB,垂足为F。 (1)求证：DF为⊙O的切线： (2)若AE=3,DF=4,求AC的长。 B卷（共50分） 四、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置，本题共5小题，每小题4分，共20分》 20.当3≤x≤5时，函数y=ax-4a(a≠0，a为常数)有最大值8，则a的值为 21.已知m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，则m2+2m+mn的值为」 22.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF1AC,垂足分别是E,F,连接EF,EF 与AD相交于点G.∠BAC=60°，则AG:GD的值为 。 23.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)图像的一部分，与x轴的交点A 在点(2,0)和(3,0)之间，对称轴是x=1.对于下列说法：①ab<0:②2a+b=0:③3a+c>0 ④a+b≥m(am+b)m为实数)；⑤当-1<x<3时，y>0,其中正确的是 .(只 填写序号) 24.如图，在平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,3),D为线段OA上任一点，作DE⊥BD交 线段AB于E,当AE的长最大时，点E的坐标为 V个 (第22题图) (第23题图) (第24题图) 五、解答题(（本题共3个小题，第25小题8分，地6小题10分，第27小题12分，共 30分) 25.我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某学校计划购买A,B两种型号教 学设备（设备均超过2000元），已知A型设备价格比B型设备价格每台高500元，用30000元 购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台. 第5页（共6页） (1)求A,B型设备单价分别是多少元： (2)该校计划购买两种设备共50台，且A型设备数量不少于B型设备数量的设购买m台A 型设备，购买总费用为w元，求w与m的函数关系式，并结合m的取值范围求出费用最少的 购买方案 26.如图，正方形ABCD,连接AC,E是BC边上一点，连接AE、DE,DE交AC于点F,连接 BF。 求证：(1)LCBF=LCDF: (2)当E是BC的中点时，请判断BF与AE的位置关系，并证明你的判断。 D A B 27,如图，已知抛物线y=心2+3x十4的对称轴是直线x=3,与x轴相交于A,B两点 (点B在点A的右侧)，与y轴交于点C. (1)求线段AB的长： (2)若点M是抛物线上B,C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的 横坐标为m,过点M作N∥y轴，交直线BC于点N。 (i)当线段N的长有最大值时，求点M的坐标： (ⅱ)过点M作DM⊥MN交抛物线于点D,是否存在点M使△DMN为等腰直角三角 形？若存在，求出m的值：若不存在，说明理由。 第6页（共6页） 四川省广安友谊中学初2023级九下第一次月考试题 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷（1--6页）和答题卡两部分。 2. 请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用0.5毫米黑色字迹签字笔答在答题卡上的相应位置。超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑。 3．考试结束后，只交答题卡。 A 卷（共100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是(    ) A. 2026 B. C. D. 2.气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于数据“”用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.用5个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，则从左面看到的这个几何体的形状图是(    ) A. B. C. D. 4.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.小明记录了一个星期的每天最高气温如下表，则这个星期每天的最高气温的中位数是(    ) 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温 22 24 23 25 24 22 21 A. B. C. D. 6.如图，如果，那么，这是根据(    ) A. 直角都相等 B. 等角的余角相等 C. 同角的余角相等 D. 同角的补角相等 7．已知一个两位数，十位上的数字 比个位上的数字 大1，若互换个位与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列出的方程组中，正确的是（       ） A． B． C． D． 8.如图，在平行四边形中，，对角线，交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是(    ) A. B. C. D. 9. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图像是（　　） A. B. C. D. 命题：刘杰 审题：张娟 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 10.如图所示，在矩形ABCD中，，点M，N分别在边BC，AD上.连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处.则 的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 11. 要使代数式有意义，则实数的取值范围是______． 12.因式分解： _____________． 13.在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则点坐标是_____________． 14. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是______． 三、解答题（本题共5小题，第15小题10分，第16、17、18小题各8分，第19小题10分，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）计算： （2） 先化简，再求值： ，其中 ． 16.近年来，随着全球人工智能大模型等的迅速发展，人工智能日渐成为新一轮科技革命和产业革命的重要驱动力量．为了培养新时代青少年对科技的探究兴趣，某校开展了以“人工智能”为主题的知识讲座，并开展了“人工智能”知识答题测试．现从该校九年级参加测试的学生中随机抽取部分学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：、、、），并绘制出如下两幅不完整的统计图．其中抽取的九年级学生测试成绩在中的数据分别是，，，． 命题：刘杰 审题：张娟 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 抽取的九年级学生测试成绩扇形统计图 抽取的九年级学生测试成绩频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： （1）一共抽取了_____名九年级学生，扇形统计图中的_____，并补全频数分布直方图； （2）若该校九年级共有700人参加了此次答题测试，估计九年级参加测试的学生成绩不低于90分的人数； （3）从九年级抽取的学生中，成绩为前四名的学生是2男2女，现从这四名学生中任选两名参加市级“人工智能知识”的培训课程，用树状图或列表法求选中的两名学生恰好都是男生的概率． 17.如图①，潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图②所示．无人机在距水平地面的点D处测得潮汐塔顶端A的俯角．，再将无人机沿水平方向飞行到达点E，测得潮汐塔底端B的俯角为（点D、E、A、B在同一平面内），求潮汐塔的高度．（结果精确到）【参考数据：，，】 18.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）连接，，求 的面积． （3）结合图像直接写出，当时，的取值范围． 命题：刘杰 审题：张娟 第4页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 19.如图，等腰，，为上一点，经过点且与相切于点，与交于点，作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． B卷（共50分） 四、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置，本题共5小题，每小题4分，共20分） 20.当时，函数为常数有最大值，则的值为        ． 21.已知、是一元二次方程的两个根，则的值为        ． 22.如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点，则：的值为        ． 23.如图是二次函数是常数，图像的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是对于下列说法：①；②；③；④为实数；⑤当时，，其中正确的是________．（只填写序号） 24. 如图，在平面直角坐标系中，为线段上任一点，作交线段于，当的长最大时，点的坐标为_________． （第22题图） （第23题图） （第24题图） 五、解答题（本题共3个小题，第25小题8分，地6小题10分，第27小题12分，共30分） 25.我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某学校计划购买，两种型号教学设备设备均超过元，已知型设备价格比型设备价格每台高元，用元购买型设备的数量比用元购买型设备的数量多台． 命题：刘杰 审题：张娟 第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 （1）求，型设备单价分别是多少元； （2）该校计划购买两种设备共台，且型设备数量不少于型设备数量的设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并结合的取值范围求出费用最少的购买方案 26.如图，正方形，连接，是边上一点，连接、，交于点，连接． 求证：（1）； （2）当是的中点时，请判断与的位置关系，并证明你的判断． 27.如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． （1）求线段的长； （2）若点是抛物线上，两点之间一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作 轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 命题：刘杰 审题：张娟 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $四川省广安友谊中学初2023级九下第一次月考试题 数学答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。 1. 2. 3. 4. 5 6.C7. 8. 9. 10.A 二，填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 11.x≥2且≠4 12.4(m+4)(m-4) 13.(3,-2)14.16. 三、解答题（本题共5小题，第15小题10分，第16、17、18小题各8分，第19小题10分，共44 分。 150)解：=-1+2V3x +4-1 2 =-1+3+4-1 =5 2)解：原式=X+2-1xx+2 x+2(x+1)2 =x+1xx+2 x+1(x+1)2 、1 x+1 当x=5-时，原式=。1=5 V5-1+13 16.解：(1)10、30直方图略 (2)490(3)列表或树状图略P(两名学生是男生)= 6 17.解：由题意可得，BC119m,DE=74n .'∠BNC=45°，∠BCN=90° .'CE-DE=119m ∴.CD=EC+DE=119+74=193m tan∠ADC=AC DC 即AC-tan22°x193≈77.2 ∴.AB=119-77.2≈42m 第1页，共6页 18解：(1)点(3,1)在反比例函数2=一的图象上， 1=3 解得：=3， “反比例函数解析式为2=3 将(-1，)代入2=3， 得=寻 解得：=-3， 所以(-1，-3)， 点（-1，-3)和(3,1)在一次函数1=+的图象上， 6+13 解得：{=12 ·一次函数解析式为1=-2： (2)直线与轴交于点， 对于一次函数解析式为1=一2， 当=0时，得0=-2， 解得：=2， ·(2,0), ×(-1,-3),(3,1), ·△=△十△ 1 1 =2×2×3+7×2×1 =4, 第2页，共6页 即△ 的面积的面积为4； (3)-1<<0或>3： （-1,-3),(3,1), 由图象可知，当1>2时，的取值范围是-1<<0或>3. 19连接 , :为上一点，⊙经过点， E ·∠ =∠， B D =, ∠ =∠， ”上于点， ·∠ =∠ =90°， :为⊙的半径，且1， ·为⊙的切线 的长是9 (2)解：连接OE,则OC=OE, ⊙O与AB相切于E点， .AB⊥OE于点E, ∠OEF=∠EFD=∠ODF=90°， 四边形ODFE是矩形， .'.OC=OE=DF=4, ∴.∠AE0=90°， .AE=3, ..OA=AE2+OE2=5 ∴.AC=0A+OC=5+4=9, 即：AC的长是9 第3页，共6页 B卷（共50分） 四、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置，本题共5小题，每小题4分，共20分) 20±8 21、0 22、3 23、①②④ 24,(3,) 五、解答题（本题共3个小题，第25小题8分，地6小题10分，第27小题12分，共30分） 25.(1)设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为(x+500)元， 根据题意得， 300001500 2+4 X+500 X 解得：x=2500或x=750(舍). 经检验，x=2500是原方程的解 x+500=3000, .每台B型设备的价格为2500元，则每台A型号设备的价格为3000元. (2)设购买m台A型设备， m≥.(50-m) 3 m≥12.5， w=3000m+2500(50-m) =500m+125000. .500>0, w随m的增大而增大， 当m=13时，w的最小值为 500×13+125000=131500(元) 购买13台A型设备，购买37台B型设备费用最少， 答：购买13台A型设备，购买37台B型设备费用最少 26、证明：四边形ABCD是正方形，BC=CD,∠BCF=∠DCF=45 .'CF=CF '.△CBF≌△CDF(SAS) ∴.∠CBF=∠CDF. 第4页，共6页 (2)解：BF⊥AE,理由如下：设AE与BF交于点G, ,四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点， ∴.DC=AB,∠DCE=∠ABE=90°，CE=BE. '.△DCE≌△ABE(SAS).∠DEC=∠AEB. .'∠DEC+∠CDE=90°，∠CBF=∠CDF ∴.∠AEB+∠CBF=90° ∴.BF⊥AE. 27解：“抛物线的对称轴公式为x一.b ，对称轴是x=3,且抛物线解析式为 代入得：a=-昌 a 4 所以抛物线解析式为：y-x2+x+4 .3 4 2 令y0,解为程++4=0 2 (x-8)(x+2)=0, 解得x1=-2,x2=8,即A(-2,0),B(8,0)。 所以AB=8-(-2)=10。 (2)(i)抛物线与y轴交于C(0,4),设直线BC的解析 式为y=kx+4,代入B(8,0): 0=8k+4 k=-1 所以直线BC的解析式为y=一)x+4 设点M的横坐标为m,则 M(m,4n+m+4 因为MN∥y轴，所以N的横坐标也为m, 代入直线BC得N(m,)m+4), 1 3 1 则MN=YM-N=(←4m+m+4-(- m+4) 2 、 m2+2m 4 第5页，共6页 这是一个开口向下的二次函数，顶点在m=4。 代入m=4得 M=-x16+3x4+4=6 3 4 所以M的坐标为(4,6)。 (2)(ii) 因为DML MN,MN∥y轴，所以 DM∥x轴，即D与M的纵坐标相同。 设m(m，子m+2m+4，,则D的横坐标为6.m 1 所以DM=m-(6-m)=2m-6, 又MN=4n+2m 因为△DMN是等腰直角三角形，且 ∠DMN=90°，所以DM=MN: 2m.G-m+2m 分两种情况讨论： 1.当2m-6≥0，即m≥3时： 2m620 m2=24=m=2V6(舍去负根) 2.当2m-6<0,即m<3时： 62m-=-4m+2m 解得m=8-2V10(舍去大于8的根)。 又因为M在B、C之间（不与B、C重合），所 以0<m<8, 故m=2V6或m=8-2V10。 第6页，共6页