2026年山东青岛市中考数学自编模拟试卷

**基本信息** 试卷以文化传承（书法轴对称）、科技前沿（鹰眼系统）和生活实际为情境，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过动态几何、函数应用等综合题实现基础巩固与创新应用的梯度设计，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|实数、代数式、统计量、图形性质|结合书法考查轴对称（文化传承），数轴比较实数（几何直观）| |填空题|6|分式方程、二次根式、扇形面积、反比例函数|正方形综合题多结论判断（推理意识），工厂生产问题列方程（应用意识）| |解答题|7|函数应用、动态几何、概率统计、尺规作图|鹰眼系统网球轨迹（科技情境），矩形动点旋转（空间观念），名著阅读概率（数据意识）|

2026年山东省青岛市中考数学自编模拟试卷 一、单选题 1．样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 2．书法是我国传统文化的重要组成部分．下列是“马年吉祥”四个篆体字，其中可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（    ） A．a B．b C．c D．d 6．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 7．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 8．如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线，正五边形的顶点，分别落在，上．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．某工厂生产零件个，实际参与生产的人数是原计划人数的倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了个，若设原计划人数为人，则列出的方程是______． 12．计算的结果是______． 13．如图，在中，，，分别以点、为圆心，、的长为半径作弧，与交于点、．若，则图中阴影部分的面积为______． 14．如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点坐标为，若，则的值为______． 15．如图，边长为的正方形中，是中点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，与交于点，连接．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是__________．（填写序号） 16．如图，二次函数的图象经过坐标轴上、两点，且与轴交于，点向右平移个单位得到点，点也在抛物线上，下列结论正确的是______． ①点的坐标是； ②若点是抛物线对称轴上的一点，当最短时的坐标为； ③若点，在抛物线上，满足，则一定有； ④连接，将直线沿轴向上平移个单位，当抛物线与直线只有一个公共点时，； ⑤若点为抛物线上的一点（不与重合），连接，当时，点的横坐标为． 三、解答题 17．已知，线段a，求作：等腰，使得顶角，上的高为a． 18．计算： (1)求不等式组的正整数解； (2)计算：． 19．如图，在中，E，F分别是，的中点，，交的延长线于点M． (1)求证：； (2)已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 条件①：平分； 条件②：． 20．《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： (1)本次调查一共抽取了_______名学生，中位数是_______部； (2)请将条形统计图补充完整； (3)该学校九年级有480名学生，估计约有________名学生至少阅读完2部必读名著； (4)小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率． 21．如图，在矩形中，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动；点同时从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，，同时停止运动．设运动时间为秒（）．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，与相交于点，连接，．解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)设四边形的面积为，求关于的函数表达式；并求出四边形面积的最小值； (3)是否存在某一时刻，使得线段经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22．如图1，在中，为上一点，使，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：四边形是菱形． 23．某智慧网球馆部署了鹰眼系统，该系统能够实时捕捉网球的飞行轨迹、速度、落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训练方案．在一次训练中，该系统追踪到球员小明的某次发球：小明从点正上方米的点将球击出，球在距离发球点水平距离米处达到最高，最高点距离地面米．在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球与原点的水平距离． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知球网高米，发球点到球网的水平距离为米，求该球飞行到球网正上方时，球离球网顶端的高度差；（不考虑球网中间下垂；结果精确到米） (3)鹰眼系统显示，球员小亮站在球飞行轨迹的正前方，且距原点米处准备接球．已知小亮的有效接球高度范围为米至米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成功攻击球），且小亮只能在球飞行至其站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时进行击球．经系统计算，球会在小亮站立位置之前落地，因此小亮需要向前移动米（）才能击到球．那么小亮刚好能在有效接球高度范围成功击球时，的最小值是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年山东省青岛市中考数学自编模拟试卷》参考答案 1．C 【分析】此题考查了求平均数， 根据平均数的计算公式，将所有数据之和除以数据个数即可． 【详解】解：样本数据2，8，14，16，20的平均数为：． 故选：C． 2．C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3．A 【详解】解：∵， ∴A计算正确． ∵不是同类项，无法合并， ∴B计算错误． ∵， ∴C计算错误． ∵， ∴D计算错误． 4．C 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，当原数的绝对值小于1时，为负整数，确定和的值，即可求解． 【详解】解：． 5．A 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断． 【详解】解：由数轴知，， 则最小的实数为a， 故选：A． 6．D 【分析】本题考查方差公式的意义，以及平均数和方差的计算，解题思路是先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有4个平方项， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为，，，，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数后，新数据为，，，，，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∵， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 7．D 【分析】根据二次函数的图象和系数的关系判断各项即可． 【详解】解：A、由图象得：，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故A错误，不符合题意； B、∵对称轴为直线，图象与x轴交于点， ∴图象与x轴交于另一点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故B错误，不符合题意； C、∵，对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为：， ∴， ∴， 故C错误，不符合题意； D、由上述分析，得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意． 8．C 【分析】先根据旋转的性质得到，，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，从而得到的度数． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴． 9．C 【分析】根据多边形外角的性质，可求得正五边形的每个内角为，进而求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：如图所示， 根据题意可知，正五边形的一个外角为， ∴正五边形的每个内角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．B 【分析】先求得，，然后利用解直角三角形求得点坐标，接着求出第1次旋转后，第2次旋转后，第3次旋转后，第4次旋转后，发现 4次为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵边长为2的正六边形的中心与原点重合， ，； ， 是等边三角形， ， ∵， ， ∵轴，， ∴， ，， ； ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第1次旋转，得，第2次旋转，得，第3次旋转，得，第4次旋转，得， 4次为一个循环， ， ∴第2026次旋转结束时，点的对应点的坐标与相同， 即为． 11． 【分析】设原计划人数为人，根据总零件数分别表示出原计划和实际的平均每人生产零件个数，再结合实际平均每人生产零件个数比原计划少个的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设原计划人数为人，则实际参与生产的人数为人， 原计划平均每人生产零件个数为， 实际平均每人生产零件个数为， 根据题意得． 12． 【分析】先分别化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的加减法，正确掌握二次根式的化简及加减法计算法则是解题的关键． 13． 【分析】本题考查了扇形面积的计算以及直角三角形的性质，解题的关键是明确阴影部分面积为两个扇形面积之和减去三角形面积．先在中由求出，再分别求出以为圆心为半径的扇形面积和以为圆心、为半径的扇形面积：最后用两个扇形面积之和减去的面积得到阴影部分面积． 【详解】解：， ， ， ， 以为圆心，为半径作弧交于， ， 以为圆心，为半径作弧交于， ， ． 故答案为：． 14． 【分析】过点作于，由等腰三角形的性质得，由直角三角形的性质得，由勾股定理得，即得，再代入双曲线解析式解答即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴． 15．①②③④ 【分析】根据正方形及等腰直角三角形的性质，得到、及，进而逐一判断正确与否即可. 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，②正确； ∴， ∵， ∴且平分，③正确； ∵正方形中， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴，④正确； 过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，⑤错误； 16．①⑤ 【分析】根据二次函数的图象与性质，函数的平移，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，逐一判断，即可求解． 【详解】解：点向右平移个单位得到点，点也在抛物线上， 点、关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线， 二次函数的图象与轴交于，点， ，故①正确； 抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 将，代入得， ， 二次函数为，， 、关于对称轴直线对称， ， 当、、共线时，最短， 设直线的解析式为，将、代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 点是抛物线对称轴上的一点， 点的横坐标是， 当时，， ，故②错误； 当时，， 若，则，此时， 若，则，此时，故③错误； 直线沿轴向上平移个单位后得到， 联立， 整理得到， 抛物线与直线只有一个公共点， ， 解得，故④错误； 点为抛物线上的一点（不与重合），， 点在轴的下方，且点关于轴的对称点在直线上， 设直线的解析式为，则， 解得， 直线的解析式为， 联立， 则 解得（舍去）或， 点的横坐标为，故⑤正确； 故答案为：①⑤． 17．见解析 【分析】先作一等角，然后利用三线合一的性质作角的平分线，取长为a，再过此点作垂线交的两边于B，C． 【详解】作法：(1)作， (2)作的平分线，并在射线上截取， (3)过点D作直线分别交的两边于B，C， 则为所求的三角形． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、尺规作图，解决此题的关键是熟悉作等角，作角平分线，过已知点作垂线的尺规作图． 18．(1)， (2) 【分析】（）求出不等式组的解集即可求解； （）先进行除法运算，再进行加法运算即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的正整数解为，； （2）解：原式 ． 19．(1)见解析 (2)选择条件①或②，四边形是矩形，见解析 【分析】（1）根据证明即可； （2）选择①，先证明四边形、是平行四边形，根据平行四边形的性质、等角对等边等可得到，即可得出结论；选择②，先证明四边形、是平行四边形，再推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵是的中点 ∴ ∴ （2）若选择条件①，四边形是矩形 由（1）可知， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵分别是的中点 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形 若选择条件②，四边形是矩形 由（1）可知， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵分别是的中点 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形 20．(1)80；2 (2)见解析 (3)288名 (4) 【分析】（1）用条形统计图中“2部”的人数除以扇形统计图中“2部”的百分比可得本次调查的学生人数；根据中位数的定义可得答案． （2）求出“1部”的人数，补全条形统计图即可． （3）根据用样本估计总体，用480乘以样本中“2部”“3部”“4部”的学生人数所占的百分比之和，即可得出答案． （4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽出两支笔刚好是两人恰好阅读同一部名著的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：本次调查一共抽取了名学生， 80个数据从小到大排列后，处在中间位置的是第40个和41个数据，即为2和2， 故中位数为（部）． （2）解：读完一部的人数为：（人）， 将条形统计图补充如下： （3）解：（名）， ∴至少阅读2部名著的学生有288名． （4）解：画树状图如图所示： 由图可得所有等可能的结果数共有16种，两人恰好阅读同一本名著的结果数有4种， ∴两人恰好阅读同一本名著的概率为：． 【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键． 21．(1) (2)，当时，四边形的面积最小，最小值为 (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，结合旋转的性质，得到，用t表示两条线段的长，建立等式求解即可； （2）证明，得到，表示，利用二次函数的最值解答即可； （3）证明，得到，整理得到一元二次方程，求解即可； 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴当时， ∴ ∴ 即 解得 ； （2）∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即， ∴， ∴ ， ， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为． （3）解：假设存在合题意的，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，延长交于点 ∵，， ∴ ∴， ∴，，， ∵ ∴ ∴ 即， 解得，(舍) ∴当时，线段经过点． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行得到，，由得到，即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形．得到，，再由得到，，即可证明四边形是平行四边形．结合得到，即可证明平行四边形是菱形． 【详解】（1）证明：， ， 四边形是平行四边形， ，． ； ， ． ； ， 在和中， ． （2）证明：，， 四边形是平行四边形． ，， 四边形是平行四边形． ，， ， 四边形是平行四边形． ， ， 又， 平行四边形是菱形． 23．(1) (2)球离球网顶端的高度差为米 (3)的最小值是2米 【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，把代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，求得，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 把代入可得， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意，把代入得， ， ， ∴球离球网顶端的高度差为米． （3）解：由题意，把代入得，， 解得，（舍去）， （米）， ∴的最小值是米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $