精品解析：江西景德镇市乐平市第一中学2025-2026学年高三下学期期中考试数学试卷

乐平一中2025-2026学年下学期期中考试 高三数学试卷 命题人：朱明明 审题人：徐慧敏 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. D. 1 2. 设集合， ，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为160，则（ ） A. -2 B. C. D. 2 4. 已知下列四个命题： ①数据的60％分位数为9 ②若随机变量 ，则 ③若随机变量且，则 ④线性回归方程恒过样本点中心，且至少过一个样本点. 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知等差数列前n项和存在最大值，且，当取得最大值时 为，使得成立的最大 值为 ，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6. 设函数，记，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知O为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则 （ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若与方向相反，则 B. 若，则 C. 若 ，则在方向上的投影向量坐标为 D. 若 则与夹角的余弦值为 10. 在中，内角所对的边分别为 ，满足，且，设外接圆半径为 ，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为 B. 当时， C. 当时， D. 的取值可能是2 11. 已知曲线C：与坐标轴交于A、B两点，点P在C上，则（ ） A. B. C为轴对称图形 C. 直线 与C有两个公共点 D. 存在2个点P使面积为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若，则=_________． 13. 某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有______种（用数字作答）． 14. 已知函数，若 恒成立，则 的最大值是________. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意 性别 满意 不满意 合计 男业主 a 20 100 女业主 c d 100 合计 m 60 200 （1）求a，c，d，m，并判断是否有95％把握认为该小区物业服务评价的差异与男女性别有关？ （2）从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附： α 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 16. 已知各项均为正数的数列中， ，且满足，数列的前 项和，满足 . （1）求数列的通项公式； （2）将数列中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列，求数列的前 项和. 17. 设函数 （1）当时，求在点处的切线方程： （2）讨论的单调性： （3）证明：当 时，. 18. 椭圆C： 离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆C的方程： （2）（i）若为椭圆上一定点，证明：直线与椭圆C相切. （ii）若为椭圆外一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求直线OP与直线MN的斜率之积 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a．设表示以O为圆心，过B，C的圆，同理，圆，的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，球面ABC（阴影部分）叫做球面三角形． （1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积（直接写出答案，无需证明）； （2）若平面三角形ABC为直角三角形， ，设，则： （i）求证： ； （ii）延长与球O交于点D，若直线 ，与平面所成的角分别为，，，S为的中点，T为的中点，设平面 与平面 的夹角为 ，若，求平面 截球O的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐平一中2025-2026学年下学期期中考试 高三数学试卷 命题人：朱明明 审题人：徐慧敏 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的除法计算公式，化简复数，再求模. 【详解】， . 故选：C. 2. 设集合， ，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求集合，再由即可求解. 【详解】由题意得：，所以，所以， 由，所以 . 3. 的展开式中的系数为160，则（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，则可得展开式中的系数为，所以，解得 . 4. 已知下列四个命题： ①数据的60％分位数为9 ②若随机变量 ，则 ③若随机变量且，则 ④线性回归方程恒过样本点中心，且至少过一个样本点. 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】对于①，由，得数据 的分位数为9，①正确； 对于②，随机变量 ，则，②正确； 对于③，随机变量 ，由 ，得 ， 因此 ，③错误； 对于④，线性回归方程恒过样本点中心，不一定过任何一个样本点，④错误， 因此真命题的个数是2. 5. 已知等差数列前n项和存在最大值，且，当取得最大值时 为，使得成立的最大 值为 ，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，进而结合等差数列的性质求解. 【详解】等差数列中，有， 由可得， 由于存在最大值，故为单调递减的数列，即公差， 故，因此为的最大值，即 ， 又， 故使得成立的最大的 为31，即，故. 6. 设函数，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，比较自变量的范围和大小，利用函数单调性和奇偶性比较即得. 【详解】因为,所以函数是偶函数，所以. 当 时,,此时有，所以函数在单调递增， 又因为 ,所以. 又因为,所以, 由函数的单调性可得即 7. 已知O为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则 （ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】显然直线 不垂直于 轴，设其方程为，， 由消去得，则， 因此，而， 所以. 8. 已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】 时，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，时，，故， 当 时，单调递增，且， 画出的图象如下： 方程恰有2个实根，即与 有2个交点， 则，则实数的取值范围是. 二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若与方向相反，则 B. 若，则 C. 若 ，则在方向上的投影向量坐标为 D. 若 则与夹角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B；求出投影向量及向量夹角余弦判断CD. 【详解】对于A，由，得，解得，当时，，与方向相同， 当时，，与方向相反，A正确； 对于B，，由， 得，解得或，B错误； 对于CD，当 时，，， 则在方向上的投影向量，C正确； 与夹角的余弦值为，D错误. 10. 在 中，内角所对的边分别为 ，满足，且，设 外接圆半径为 ，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为 B. 当时， C. 当时， D. 的取值可能是2 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据题意条件，结合边角互换求出角B的大小，再代入到向量内积等式中求出的值，最后逐个分析选项。对于A，利用正弦定理面积公式即可求解；对于B，利用余弦定理求出a、c的大小，判断可构成三角形，再利用正弦定理求出R的大小即可；对于C，用余弦定理，并结合等边对等角判断即可；对于D，根据余弦定理求出的范围并据此判断即可． 【详解】由题意可得，又， 所以， 代入前式可得， 展开化简得，在 中，，且，解得， 又，所以， 解得， 对于A， 的面积为，故A错误； 对于B，当时，由余弦定理可得， 化简可得，所以， 即，同理可得，所以或， 易知可构成三角形，又由正弦定理可知，解得，故B正确； 对于C，当时，进一步可得， 由余弦定理可知，则，此时， 由等边对等角可知，故C正确； 对于D，由余弦定理，则可得， 所以，当且仅当即时取等号， 又时，，故D正确． 11. 已知曲线C：与坐标轴交于A、B两点，点P在C上，则（ ） A. B. C为轴对称图形 C. 直线 与C有两个公共点 D. 存在2个点P使面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分别令 求得曲线与坐标轴的交点，结合两点间的距离公式即可判断；对于B，验证关于 的对称点也在 上即可判断；对于C，将直线 代入到曲线方程，该方程无解，故直线与曲线无公共点，对于D，通过分析曲线在不同象限的分支，并考虑其渐近线，结合的值与面积，即可判断满足条件的点的个数. 【详解】对于A，不妨设 与轴交于点，与 轴交于点， 令 ，则，解得，即 ， 令，则，解得 ，即，易得直线， 则，故A正确； 对于B，当时，， 在第一象限内有图象（双曲线的一部分）， 当时，， 在第四象限内有图象（圆的一部分）， 当时，， 在第三象限内有图象（双曲线的一部分）， 当时，，此时等式不成立，故 在第二象限内没有图象， 设在 上，因为关于 的对称点也在 上， 所以 关于直线 对称， 为轴对称图形，故B正确； 对于C，联立，得，无解，故C错误； 对于D，若的面积为，且，则到的距离为， 若在第四象限，此时 的轨迹是圆心为，半径为1的圆在第四象限的部分图像（如图）， 圆心到的距离为， 则到的距离的最大值为. 则面积的最大值为 因为，所以不存在满足条件的点， 因为曲线，的渐近线为 ， 直线 与直线 的距离为， 若的面积为，且， 则到直线和渐近线 的距离都为， 如图，满足题意的点恰有两个，故选项D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若，则=_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：∵，∴，∴，故答案为. 考点：诱导公式；二倍角的余弦. 13. 某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有______种（用数字作答）． 【答案】18 【解析】 【分析】结合排列组合知识，按照分类加法原理和分步乘法原理求解即可. 【详解】先将3名男生和2名女生按要求分成两组，有两类分组方法： 第一类：由1男1女组成一组，其余2男1女组成一组，有种分法； 第二类：由1男2女组成一组，其余2男组成一组，有种分法. 所以共有种分组方法. 再将分好的两组分配到甲、乙两地参加社会调研，有种分法， 根据乘法分步原理，不同的安排方案有 种. 14. 已知函数，若 恒成立，则 的最大值是________. 【答案】## 【解析】 【分析】求导和代入可求解，，进而将恒成立问题转化为 对任意的恒成立，分类讨论求解函数的最值，进而构造函数，利用导数求解最值即可求解. 【详解】，则，故， 因此， 又，故， 故，由可得，即 对任意的恒成立， 令，则 ，对任意的恒成立，， 当时， 恒成立，此时在上单调递增，当 时， ，不符合题意，舍去， 当 时，此时 时，符合恒成立，则 ， 当 时，令，则，故则，故，因此，则， 记，则， 当时，，当时，， 故，此时 的最大值为 ，而， 综上可得 的最大值为 . 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意 性别 满意 不满意 合计 男业主 a 20 100 女业主 c d 100 合计 m 60 200 （1）求a，c，d，m，并判断是否有95％把握认为该小区物业服务评价的差异与男女性别有关？ （2）从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附： α 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1），有关； （2），. 【解析】 【分析】（1）由数表信息列式计算，再求出观测值并与临界值比对即可得解. （2）由数表，利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 由数表得，解得， 零假设：小区男、女业主对该物业服务的评价无差异， 根据数表经计算得， 依据的独立性检验，推断假设不成立，即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异， 所以有95％把握认为该小区物业服务评价的差异与男女性别有关. 【小问2详解】 依题意，，，， ，， 所以，. 16. 已知各项均为正数的数列中， ，且满足，数列的前 项和，满足 . （1）求数列的通项公式； （2）将数列中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列，求数列的前 项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）通过得到即可求出数列的通项公式，通过即可求出数列的通项公式； （2）首先确定数列的通项公式，然后利用错位相减法即可求出数列的前 项和. 【小问1详解】 已知且满足，将等式移项变形得， 由题意数列 的各项均为正数，所以 ，得， 说明数列是一个首项，公差 的等差数列。 故数列的通项公式为， 由于数列的前 项和满足，则，即， 当时，有和，两式相减得：，即， 这说明数列是一个首项 ，公比的等比数列， 因此，数列 的通项公式为. 【小问2详解】 首先找数列和的公共项，以确定数列的通项公式， 数列为：（即的倍数，且大于等于） 数列为：（即的幂次） 观察两数列，可以发现： 第个公共项是， 第个公共项是，第个公共项是， 以此类推，第 个公共项对应的是数列中的第项，所以， 因此，则数列的前 项和， 设，则， 两式相减得，即， 而， 因此. 17. 设函数 （1）当时，求在点处的切线方程： （2）讨论的单调性： （3）证明：当 时，. 【答案】（1） （2）当 时，在上单调递增； 当 时，在上单调递减；在上单调递增. （3）证明过程见详解 【解析】 【分析】（1）先求出函数表达式，再对其求导，根据导数的几何意义求出斜率，最后结合切点求出切线方程； （2）对函数求导，根据导数的正负性来讨论函数的单调性，对 的取值范围进行分类讨论； （3）先求出函数的最小值，再构造新的函数，通过研究新函数的单调性来证明不等式. 【小问1详解】 解：由题意知，函数的定义域为， 当时，，则， 当 时，，，则切点为，斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解：由题意得， ， 当 时，，则，所以在上单调递增； 当 时，令，则， 两边同时取自然对数得，解得, 当时，，即 ，所以在上单调递减； 当时，，即 ，所以在上单调递增， 综上，当 时，在上单调递增； 当 时，在上单调递减；在上单调递增. 【小问3详解】 证明：由（2）可知，当 时，在处取极小值，即最小值， 即， 要证，即证， 化简得，令， 则， 再令，则， 因为，所以，则在上单调递增， 又因为，所以， 当 时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增， 所以在处取极小值，即最小值， 为， 因为，所以， 即得证. 18. 椭圆C： 离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆C的方程： （2）（i）若为椭圆上一定点，证明：直线与椭圆C相切. （ii）若为椭圆外一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求直线OP与直线MN的斜率之积 【答案】（1） ； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可. （2）（i）联立直线与椭圆方程，利用判别式计算得证；（ii）设出点的坐标，由（i）的结论，求出直线 的方程即可. 【小问1详解】 由椭圆C： 的短轴长为2，得，由 的离心率为， 得，解得 ，所以椭圆C的方程为 . 【小问2详解】 （i）由为椭圆 上一定点，得 ， 由消去 得，即， 整理得，则，因此直线 与椭圆 有唯一公共点， 所以直线 与椭圆C相切. （ii）设切点，由（i）得椭圆 在点处切线为， 在点处切线为，而这两条切线均过点， 则，且，显然满足方程 ， 因此直线 的方程为 ，直线 的斜率，而直线斜率， 于是，所以直线OP与直线MN的斜率之积为. 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a．设表示以O为圆心，过B，C的圆，同理，圆，的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，球面ABC（阴影部分）叫做球面三角形． （1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积（直接写出答案，无需证明）； （2）若平面三角形ABC为直角三角形， ，设，则： （i）求证： ； （ii）延长与球O交于点D，若直线 ，与平面所成的角分别为，，，S为的中点，T为的中点，设平面 与平面 的夹角为 ，若，求平面 截球O的面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 由余弦定理有， 且，消掉， 有 ． （ii） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直得出球面三角形ABC面积为整个球面面积的，再应用球的表面积公式计算求解； （2）（i）应用余弦定理计算证明；（ii）先求出平面与平面 的法向量，应用正弦值得出，最后应用点到平面距离计算得出球O的半径及截面即可. 【小问1详解】 若平面OAB，OAC，OBC两两垂直时， 球面三角形ABC面积为整个球面面积的， 故 ． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由AD是球的直径，则，， 又 ， 平面 ， 所以平面 ，平面 ，则， 而 平面，所以平面． 由直线 与平面所成的角分别为，． 所以，． 由，则，，， ， 由 ，， ， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴， 建立如图3所示的空间直角坐标系． 设 ，，则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为 ，，， 则，取 ，则， ， 所以． 设平面 法向量 ，，， 则，取 ，则 ， ， 所以． 要使，则， 所以， 即 ，解得． 作平行于 交于，显然点到平面 的距离即为到平面 的距离， 到 的垂线设为 ，则 ， 由（2）可得平面 ，而 平面 ，故 而 平面 ，所以 平面 ， 故 的最小值就是点到平面 的距离的最小值， 而当时， 的长度最小，故此时点到平面 的距离的最小， 即此时截面面积最大，即 的坐标为时截面面积最大. 在平面 中，，， 设平面 的法向量为，则。 取，而， 故球心O到平面 距离． 设平面 截球O的半径为r，， 所以截面圆面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $