精品解析：广东广州思源学校2025-2026学年高二下学期4月份月考数学试题

广州思源学校2025-2026学年第二学期高二4月份月考·数学 一、单选题（40分） 1. 如图所示，运动方程在，两点间的平均速度等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由平均变化率公式可知：平均速度为． 2. 函数的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 的正负不确定 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】由题中图像可知，函数在上单调递减，故在上有．故． 故选：B 3. 小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理可得. 【详解】先选羽绒服有3种情况，再选棉裤有2种情况，根据分步乘法计数原理，共有搭配种数． 故选:B． 4. 计算：（ ） A. 120 B. 90 C. 60 D. 30 【答案】A 【解析】 【详解】. 5. 已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和求出即可求解. 【详解】依题意有，， 又，即， ，，. 故选：D. 6. 函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得函数的导函数，进而求出其单调递减区间，再借助集合的包含关系即可求解. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 又函数在上单调递减，所以. 所以实数的取值范围为. 故选：B. 7. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 8. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 二、多选题（18分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数，若，则 B. 已知函数在上可导，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据复合函数的导数运算，求出，再由，解方程即可判断A错； B选项，根据导数的概念，可判断B正确； C选项，由导数的除法运算法则，可判断C错； D选项，对函数求导，令，即可判断D正确； 【详解】A选项，由，得，则，解得，故A错； B选项，由题意，根据导数的概念可得，则，故B正确； C选项，根据导数的运算法则可得，，故C错； D选项，由得，则， 解得，故D正确； 故选：BD 10. 现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法 B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D. 若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分类与分步计数原理逐个计算即可. 【详解】A选项：取2个球，红、黄各1，有种选法，该选项错误. B选项：每种颜色选出1个球，共取3个，有种选法，该选项正确. C选项：要选出不同颜色的2个球，有3种情况： 若取1红1黄，有种选法； 若取1红1绿，有种选法； 若取1黄1绿，有种选法； 因此共有种选法，该选项错误. D选项：甲先选有15种选法，乙再选有14种选法，所以共有种选法，该选项正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 若，则方程有两个不等的实根 C. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由及函数连续性可判断；对B、D，将问题转化为两个函数图象交点的个数问题，画出函数的大致图象，结合图象可判断；对C，当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，求出点坐标，用点到直线距离公式求最值. 【详解】对于A：，由得，又函数在连续， 所以的单调递减区间是，A正确； 对于B：当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，取得最大值，又时，； 时，，所以的图象大致如图： 当时，函数与函数图象有两个交点， 即方程有两个不等的实根，B错误； 对于C：当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 设点，则，解得，此时， 点到直线的距离，C正确； 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（15分） 12. 函数在区间上的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数求导判断函数单调性，进而求得最值. 【详解】由，得. 令，解得，. 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以最小值为. 故答案为：-2. 【点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 13. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色的种数进行分为3种颜色和四种颜色依次讨论即可. 【详解】按照使用颜色的种类分类， 第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有(种)， 第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有(种) 所以共有48+24=72(种) 故答案为：72 14. 设，若函数在区间上单调，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，设，利用导数可得在上单调递减，由，进而可得在区间上单调递增，在区间上单调递减，进而可得. 【详解】， 设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（13+15+15+17+17=77分） 15. （1）求函数在处的导数； （2）求函数在处的导数 （3）计算的值. （4）用排列数表示（且）. 【答案】（1）；（2）；（3）720；（4） 【解析】 【分析】（1）先根据复合函数的求导法则求解出的导函数，然后将代入导函数即可求解； （2）先根据导数的除法法则求解出的导函数，然后将代入导函数即可求解 （3）利用排列数公式计算即得； （4）根据连乘积式，联想到排列数公式，求出最大数和因数个数即可表示出来. 【详解】（1）因为函数可以看作函数和的复合函数， 所以， 所以当时，. （2）根据导数的除法法则可知， 所以当时，. （3）； （4）∵中的最大数为，且共有 （个）数， ∴. 16. 口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球． （1）至少有一个白球的取法有多少种？ （2）两球的颜色相同的取法有多少种？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解； （2）根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解； 【小问1详解】 根据题意分2类完成任务： 第一类：白球红球各一个有种，第二类：均为白球，种， 所以共有种； 【小问2详解】 根据题意分2类完成任务： 第一类：均为白球，种，第二类：均为红球，种， 所以共有种． 17. 用0，1，2，3，4，5可组成多少个： （1）没有重复数字的四位数？ （2）没有重复数字且被5整除的四位数？ （3）比2000大且没有重复数字的自然数？ 【答案】（1）300；（2）108；（3）1440 【解析】 【分析】（1）先考虑千位，再考虑剩余的百位，十位和个位；（2）考虑个位是0或5两种情况，再用分类加法原理计算；（3）从四位数，五位数和六位数考虑，再用分类加法原理计算. 【详解】（1）千位可以从1，2，3，4，5中任选一个，有种，剩余的百位，十位和个位，可以从剩余的5个数中任意选择，所以有种，所以没有重复数字的四位数共有种 （2）没有重复数字且被5整除的四位数，分两种情况： 个位数字为0时，有种；个位数字为5时，千位可以从从1，2，3，4种任选一个，有4种，剩下的百位和十位可以从剩余的四个数种选择两个的排列，有，则有种，利用分类加法原理可得：共有种. （3）比2000大的自然数，当是四位数时，首先从2，3，4，5中选一个有4种选法，再从剩下的元素中选3个，有种，共有种；当是五位数时，共有种选法；当是六位数时，共有种选法；故共有240+600+600=1440种，所以比2000大的自然数共有1440种. 18. 已知函数在处有极大值. （1）求实数的值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案； （2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案. 【小问1详解】 由函数，求导可得， 由函数在处取极大值，则，解得或， 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极大值，符合题意. 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）可得函数，求导可得， 令，解得或，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为， 函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点， 如下图： 由图可得，则. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 思考题： 20. 已知，恒成立，求正数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式同构为 ，即，令，分析单调性可得，令，利用导数求出最小值即可得解. 【详解】由，可得， 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则 ，所以，即， 故正数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州思源学校2025-2026学年第二学期高二4月份月考·数学 一、单选题（40分） 1. 如图所示，运动方程在，两点间的平均速度等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 函数的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 的正负不确定 3. 小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 4. 计算：（ ） A. 120 B. 90 C. 60 D. 30 5. 已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 20 8. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数，若，则 B. 已知函数在上可导，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 10. 现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法 B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D. 若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 若，则方程有两个不等的实根 C. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 三、填空题（15分） 12. 函数在区间上的最小值为__________． 13. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答） 14. 设，若函数在区间上单调，则的取值范围是______． 四、解答题（13+15+15+17+17=77分） 15. （1）求函数在处的导数； （2）求函数在处的导数 （3）计算的值. （4）用排列数表示（且）. 16. 口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球． （1）至少有一个白球的取法有多少种？ （2）两球的颜色相同的取法有多少种？ 17. 用0，1，2，3，4，5可组成多少个： （1）没有重复数字的四位数？ （2）没有重复数字且被5整除的四位数？ （3）比2000大且没有重复数字的自然数？ 18. 已知函数在处有极大值. （1）求实数的值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 思考题： 20. 已知，恒成立，求正数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $