精品解析：河北省廊坊市安次区2026年初中学业水平考试第一次模拟数学试卷

2026年初中学业水平考试第一次模拟数学试卷 注意事项： 1．本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束，监考人员将答题卡收回． 卷Ⅰ（选择题，36分） 一、选择题（本题共12道小题，每题3分，共计36分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．） 1. 如图，这是某市2025年12月连续四天的天气预报信息，其中日温差最小的一天是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期四 2. 如图，是的外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，点的对应点分别是点．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的半径为2，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，菱形和菱形中，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有4个小题，每空3分，共12分，把答案写在答题卡的横线上．） 13. 因式分解：______． 14. 若方程的两个根为和，则______． 15. 化简的结果是______． 16. 取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答题应写出文字说明或演算步骤） 17. 如图，在数轴上有，，三点，点、所表示的数分别为和． （1）若点、关于点对称，求、、三点所表示的数的和； （2）若点表示的数为，且点在点的左侧，求的取值范围 18. 在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程． 化简： 原式．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 （1）嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是： ； （2）请写出正确的解答过程，并从3，，这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 19. 当下，人工智能发展日新月异，其应用已成为提升工作效率的重要引擎．某公司计划从A、B两款人工智能产品中选择一款投入使用．该公司对A、B两款人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试，每项能力均测试10次，取10次测试得分的平均数作为该项的成绩（单位：分）．各项数据统计如下： 语言交互能力得分统计表 产品 平均数 中位数 众数 A a 8 c B 7.3 b 6 分析能力和学习能力测试得分统计表 产品 分析能力 学习能力 A 7.5 8 B 8 9 请根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的a，b，c的值分别是多少？（直接写出答案） （2）哪款产品的语言交互能力更强？请综合各项统计数据说明理由． （3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的权重计算最终成绩，那么哪款产品的成绩最好？ 20. 如图，在中，，，分别是边上的高线和中线． （1）若，求的度数． （2）求证：． 21. 某小区的菜鸟驿站由揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库、甲平均每小时扫描200件快递入库．乙平均每小时送150件快递出库．某天仓库里原有若干件快递，甲工作2小时后，乙开始工作．又过了3小时后，甲离开，乙按原速工作．当天仓库里的快递数量y（件）与时间x（小时）之间的部分关系图象如图所示． （1）该天仓库里原有 件快递，点A的坐标为 ； （2）分别求和时，y与x之间的函数解析式； （3）已知仓库里的快递数量不少于a件称作仓库“半饱和”，该天“半饱和”状态持续了小时，求a的值． 22. 项目背景：胜芳古镇是国家级历史文化名镇，其“胜芳河灯会”是首批国家级非物质文化遗产．活动小组为研究灯会中大型灯门拱架的结构，取其圆形拱架截面示意图（截面为圆的一部分）进行测量与建模实践． （1）活动一，测量与建模：如图1是灯门拱架截面示意图（截面为圆的一部分），测得圆形拱门的开口弦长为，拱高（圆拱的最大高度）为．求及半径的长； （2）活动二，灯光效果模拟实验：如图2为模拟灯会灯光效果，光源点M沿弧缓慢移动．经测量，结合（1）中的数据回答问题． ①当点M在弧的三等分点处，且在点A的右侧时，求劣弧的长； ②如图3，当光源M在最高点A时，光束张角恰好照亮拱门开口．求此时的度数，并判断当光源M沿弧（不含端点C，D）移动时，的度数是否发生变化． 23. 有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离． 图1 图2 （1）求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． （2）这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． （3）当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 24. 数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． （1）折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； （2）在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； （3）如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试第一次模拟数学试卷 注意事项： 1．本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束，监考人员将答题卡收回． 卷Ⅰ（选择题，36分） 一、选择题（本题共12道小题，每题3分，共计36分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．） 1. 如图，这是某市2025年12月连续四天的天气预报信息，其中日温差最小的一天是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期四 【答案】C 【解析】 【详解】解：星期一的温差为：， 星期二的温差为：， 星期三的温差为：， 星期四的温差为：， ∵， ∴日温差最小的一天是星期三． 2. 如图，是的外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 【详解】解：是的外角， ． 3. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将已知解代入原方程，即可求出的值. 【详解】解：∵ 是方程 的解 ∴ 将代入原方程，得 移项计算得 因此的值为. 4. 下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的定义， 根据“从左面看几何体，所看到的视图是左视图”即可求解．画轮廓线时，看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线是解题的关键． 【详解】解：由题意得，此领奖台的左视图是： 故选：C． 5. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，点的对应点分别是点．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：把△以点为中心顺时针旋转得到△， ，，，故A，B，不符合题意． 不一定等于， ∴符合题意； 故选：． 6. 2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对应知识点逐一判断即可． 【详解】根据初中整式运算法则逐一判断： 对于A选项，∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A运算正确； 对于B选项，∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，B运算错误； 对于C选项，∵与不是同类项，不能合并， ∴，C运算错误； 对于D选项，∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，D运算错误． 8. 如图，的半径为2，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于点，证明四边形为菱形，则，可得为等边三角形和，则，进而根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点，则：， 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形， ， ∴，为等边三角形， ， 阴影部分的面积． 9. 如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明． 【详解】解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． 10. 某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案． 【详解】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快． 根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）． ∴“破浪”队获胜的概率为 ． 11. 如图，菱形和菱形中，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点O，根据菱形的性质以及等边三角形的性质证明，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形和都是菱形，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有4个小题，每空3分，共12分，把答案写在答题卡的横线上．） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为： 14. 若方程的两个根为和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】确定方程的二次项系数和常数项，代入关系计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 若方程的两个根为，，根据根与系数的关系得 ， 本题中方程为 ， 可得 ，， 代入得 ． 15. 化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 16. 取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答题应写出文字说明或演算步骤） 17. 如图，在数轴上有，，三点，点、所表示的数分别为和． （1）若点、关于点对称，求、、三点所表示的数的和； （2）若点表示的数为，且点在点的左侧，求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：点、所表示的数分别为和，点、关于点对称， ∴表示的数为， 三点表示的数的和为，； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， 的取值范围是． 18. 在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程． 化简： 原式．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 （1）嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是： ； （2）请写出正确的解答过程，并从3，，这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 【答案】（1）第一步和第二步 （2）解：， 当时，原式． 【解析】 【分析】（1）第一步加法运算出错，第二步因式分解出错； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值计算即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是：第一步和第二步； 【小问2详解】 略 19. 当下，人工智能发展日新月异，其应用已成为提升工作效率的重要引擎．某公司计划从A、B两款人工智能产品中选择一款投入使用．该公司对A、B两款人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试，每项能力均测试10次，取10次测试得分的平均数作为该项的成绩（单位：分）．各项数据统计如下： 语言交互能力得分统计表 产品 平均数 中位数 众数 A a 8 c B 7.3 b 6 分析能力和学习能力测试得分统计表 产品 分析能力 学习能力 A 7.5 8 B 8 9 请根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的a，b，c的值分别是多少？（直接写出答案） （2）哪款产品的语言交互能力更强？请综合各项统计数据说明理由． （3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的权重计算最终成绩，那么哪款产品的成绩最好？ 【答案】（1），， （2） 解：A产品， 理由：在语言交互能力得分统计表中，A产品的平均数、中位数和众数均高于B产品， 所以A产品语言交互能力更强． （3）B产品的成绩最好 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义，结合统计图即可求得结果； （2）通过对比A、B产品的语言交互能力得分统计表中的平均数、众数和中位数，得分更高者说明能力更强，即可判断； （3）利用平均数，先分别计算A产品和B产品在语言交互能力、分析能力、学习能力的权重成绩，再对比二者的成绩，得分高者成绩最好． 【小问1详解】 解：由统计图可知， A产品10次得分的平均数为（分）， B产品10次得分从小到大排序为：5、6、6、6、7、7、8、9、9、10， ∵10为偶数， ∴B产品10次得分的中位数为第5个和第6个数据的平均数，而第5和第6个数据均为7， ∴B产品10次得分的中位数为（分）， 在A产品中，出现次数最多的得分为7分，即众数为7分， ∴，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：A产品：（分）， B产品：（分）， ∵， ∴B产品的成绩最好． 20. 如图，在中，，，分别是边上的高线和中线． （1）若，求的度数． （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵是边上的中线， ∴． ∴， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，高线，中线的意义，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据题意，得，，结合解答即可． （2）根据是边上的中线，得到．于是，代换解答即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 略 21. 某小区的菜鸟驿站由揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库、甲平均每小时扫描200件快递入库．乙平均每小时送150件快递出库．某天仓库里原有若干件快递，甲工作2小时后，乙开始工作．又过了3小时后，甲离开，乙按原速工作．当天仓库里的快递数量y（件）与时间x（小时）之间的部分关系图象如图所示． （1）该天仓库里原有 件快递，点A的坐标为 ； （2）分别求和时，y与x之间的函数解析式； （3）已知仓库里的快递数量不少于a件称作仓库“半饱和”，该天“半饱和”状态持续了小时，求a的值． 【答案】（1）200，(2，600) （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图像即可求解； （2）分时间段根据数量变化规律求函数解析式； （3）结合“半饱和”状态的持续时间列方程求解． 【小问1详解】 解：根据题意，该天仓库里原有件快递， 点A的坐标为； 【小问2详解】 当时，设y关于x的函数解析式为． 将坐标和代入得： 解得 ． 而派送员乙送750件需要的时间是（小时）， 函数图象与x轴的交点坐标是． 当时，设y关于x的函数解析式为 将坐标和代入得： 解得 ， y关于x的函数解析式为． 【小问3详解】 当时，．解得 当时，．解得．    解得． 22. 项目背景：胜芳古镇是国家级历史文化名镇，其“胜芳河灯会”是首批国家级非物质文化遗产．活动小组为研究灯会中大型灯门拱架的结构，取其圆形拱架截面示意图（截面为圆的一部分）进行测量与建模实践． （1）活动一，测量与建模：如图1是灯门拱架截面示意图（截面为圆的一部分），测得圆形拱门的开口弦长为，拱高（圆拱的最大高度）为．求及半径的长； （2）活动二，灯光效果模拟实验：如图2为模拟灯会灯光效果，光源点M沿弧缓慢移动．经测量，结合（1）中的数据回答问题． ①当点M在弧的三等分点处，且在点A的右侧时，求劣弧的长； ②如图3，当光源M在最高点A时，光束张角恰好照亮拱门开口．求此时的度数，并判断当光源M沿弧（不含端点C，D）移动时，的度数是否发生变化． 【答案】（1） （2）①；②，的度数不变 【解析】 【分析】（1）通过弦，拱高，弦端点的半径，垂直于弦的半径，构造直角三角形，利用勾股定理，即可得出结论； （2）①利用弧长的计算公式，即可得出结果； ②利用圆周角定理及其推论，可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得为圆拱的半径，， ， 设则， 在中，据勾股定理得：， 即，解得， ∴． 【小问2详解】 解：①， 的长m， 当点M在的三等分点处，且在点A的右侧时， m； ②当光源M在最高点A时，光束张角恰好照亮拱门开口，为优弧所对的圆周角， 光源M沿（不含端点C，D）移动时， 圆心角不变， ， 的度数不变． 23. 有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离． 图1 图2 （1）求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． （2）这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． （3）当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 有，理由如下： 由题意，令， 或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方． 当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，有一部分会偏离边线． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题时要能读懂题意，灵并能活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意知，底座抛物线的顶点坐标为，从而可设该二次函数解析式为，又过点，进而求出，可得解析式； （2）依据题意，由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、，故可设该二次函数解析式为，代入得建立方程组进而计算可以得解析式，再令从而可以得解； （3）依据题意，令，从而可得或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意知，底座抛物线的顶点坐标为， 故可设该二次函数解析式为， 又过点， ． ． ． 【小问2详解】 解：由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、， 故可设该二次函数解析式为，代入得 ， ，，． ． 当时，． 答：这个不倒翁的总高度为． 【小问3详解】 略 24. 数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． （1）折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； （2）在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； （3）如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】（1） 解：如图，作，的角平分线即可． ∵，， ∴． ∵，分别是，的角平分线， ∴ ∴ 故答案为：； （2） 解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）改变；的周长的最小值为； 【解析】 【分析】本题考查了正方形的折叠问题． （1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分 ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ 即， ∵ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $