精品解析：2025学年河北省廊坊市安次区中考一模考试数学试卷　

2025年初中毕业生升学文化课第一次模拟考试 数学试卷 注意事项 1．本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束，监考人员将答题卡收回． 卷I（选择题，36分） 一、选择题（本题共12道小题，每题3分，共计36分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．） 1. （ ） A. B. C. 3 D. 2. 主师傅将甲、乙两块木板叠放在一起，截面图如图所示，若乙板确定是平直的，则王师傅判断甲板受潮变形，不再平直．这个结论的数学依据是（　　） A. 两点之间直线最短 B. 经过一点有且只有一条直线 C. 经过两点有且只有一条直线 D. 线段可以向两个方向延长 3. 中国茶文化博大精深，茶杯也颇有讲究．如图是汝窑冰花圆融杯，杯型厚重沉稳，有“大肚能容天下事”的寓意，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 俯视图和左视图相同 D. 三种视图均相同 4. 据网络平台数据显示，截至2025年3月14日，电影《哪吒之魔童闹海》票房突破150亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“150亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若代数式的值落在数轴上的区域③内，则x的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 1.5 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 将一副三角尺如图摆放，其中点在边上，且，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 一元一次不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于y的一元二次方程的两根分别为，，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 方程有两个实数根 10. 如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上，根据图中四点的位置，其中不在反比例函数图象上的点是（ ） A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N 11. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁米，爸爸拿着的光源与小明的距离为米，如图所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，则光源与小明的距离应（　　） A. 增加米 B. 增加米 C. 增加米 D. 减少米 卷II非选择题 二、填空题（本大题有4个小题，每空3分，共12分．把答案写在答题卡的横线上．） 13. 计算：____． 14. 2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”对应蛇，其古文“巳”是蛇的形象表达（如图）．在对某地区初中学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了200名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有60名，若该地区共有初中学生6000名，据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生大约有__________名． 15. 如图，五边形ABCDE是正五边形，直线，点P在直线MN上运动，当点P至少与正五边形的两个顶点距离相等时，警报器就会发出警报，在直线MN上会发出警报的点有__________个． 16. 如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为___________． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答题应写出文字说明或演算步骤．） 17. 如图数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，6，点C在线段BD上，且不与端点重合． （1）若，求A，B，C，D四点表示的数的和． （2）若线段，，能围成等腰三角形，求x的值． 18. 老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： 第一步 第二步 第三步 乙同学： 第一步 第二步 第三步 （1）对于两人的做法，下列判断正确的是：（　　） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 （2）若正确，说明每步做的依据；若错误，则甲同学的解答从第___________步开始出现错误；乙同学的解答从第___________步开始出现错误；并重新写出完成此题的正确解答过程． （3）解分式方程，体会与分式化简的关系． 19. 如图1．线段和相交于点C，连接．四张卡片除正面分别写着如图2所示的四个不同的条件外完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）若小明第一次抽到卡片③后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明的概率是__________． （2）若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明的概率，用树状图法进行计算． 20. （中华优秀传统文化）瓷板画（图1）是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），分别垂直直线l于B，D两点，过点O作于点E，交于点F．已知，，． （1）求半径的长； （2）求图2中阴影部分的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线交直线于点，交轴于点． （1）求点的坐标； （2）若点在第二象限，的面积是5． ①求点的坐标； ②将沿轴平移，点的对应点分别为，，，设点的横坐标为．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，的取值范围． 22. 图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究如图②，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．（结果精确到，参考数据：） （1）__________，_________； （2）求点到道路的距离． 23. 掷实心球是中考体育考试的选考项目，如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求抛物线的表达式； （2）根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． （3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，则掷出点的高度至少达到______时，可得满分． 24. 如图，在四边形中，是边上的一个动点，连接． （1）____________°，线段的最小值是____________． （2）过点E作线段的垂线l，点F在直线l上，且在的左侧，满足． ①在图中利用直尺和圆规作出满足上述要求的图形；（保留作图痕迹，不写作图过程） ②在点E运动的过程中，当点F落在边上时，求证：； ③连接，直接写出线段长的最小值； ④连接，当直线时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业生升学文化课第一次模拟考试 数学试卷 注意事项 1．本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束，监考人员将答题卡收回． 卷I（选择题，36分） 一、选择题（本题共12道小题，每题3分，共计36分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．） 1. （ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据一个负数的绝对值等于它的相反数即可得． 【详解】解：， 故选：C． 2. 主师傅将甲、乙两块木板叠放在一起，截面图如图所示，若乙板确定是平直的，则王师傅判断甲板受潮变形，不再平直．这个结论的数学依据是（　　） A. 两点之间直线最短 B. 经过一点有且只有一条直线 C. 经过两点有且只有一条直线 D. 线段可以向两个方向延长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线的性质，根据经过两点有且只有一条直线解答即可． 【详解】解：这个结论的数学依据是经过两点有且只有一条直线． 故选C． 3. 中国茶文化博大精深，茶杯也颇有讲究．如图是汝窑冰花圆融杯，杯型厚重沉稳，有“大肚能容天下事”的寓意，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 俯视图和左视图相同 D. 三种视图均相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三视图．熟练掌握三视图是解题的关键． 根据立体图形得到其三视图，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：该茶杯的主视图和左视图相同． 故A选项符合题意． 故选：A． 4. 据网络平台数据显示，截至2025年3月14日，电影《哪吒之魔童闹海》票房突破150亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“150亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据“150亿”用科学记数法可表示为． 故选：C． 5. 如图，若代数式的值落在数轴上的区域③内，则x的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算方法是解题的关键． 先判断的范围，再判断的范围即可求解． 【详解】解：∵的值落在数轴上的区域③内， ∴， ∴， ∴符合这个范围， 故选：B． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，单项式的乘除法，积的乘方和幂的乘方，运用相关知识计算出各选项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A. ，原式计算错误，不符合题意； B. ，原式计算错误，不符合题意； C. ，原式计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选：D． 7. 将一副三角尺如图摆放，其中点在边上，且，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平角定义，三角板的有关计算等知识，掌握相关知识是解题关键． 由题意可知，，再通过，得，最后根据平角定义即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8. 一元一次不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 9. 已知关于y的一元二次方程的两根分别为，，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 方程有两个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系．由题意可知，，，由此即可判断各个选项的正误． 【详解】解：∵关于y的一元二次方程的两根分别为，， ∴， 即方程有两个不相等的实数根， ∴，故A、D正确， 由根与系数的关系可知，，， 故C正确，B不正确， 故选：B 10. 如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上，根据图中四点的位置，其中不在反比例函数图象上的点是（ ） A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象．由图知反比例函数的图象在一、三象限，故不在图象上． 【详解】解：∵恰有三点在反比例函数的图象上， ∴由图知反比例函数的图象必经过第一象限的P，Q两点， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 又∵在第二象限， ∴四个点中点不在函数的图象上． 故选：D． 11. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于E， ∵是边长为的等边三角形的外接圆， ∴，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 12. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁米，爸爸拿着的光源与小明的距离为米，如图所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，则光源与小明的距离应（　　） A. 增加米 B. 增加米 C. 增加米 D. 减少米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵米，， ∴， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，如图， 即，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴光源与小明的距离应减少米． 故选：D． 卷II非选择题 二、填空题（本大题有4个小题，每空3分，共12分．把答案写在答题卡的横线上．） 13. 计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，再相减． 【详解】解： 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质． 14. 2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”对应蛇，其古文“巳”是蛇的形象表达（如图）．在对某地区初中学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了200名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有60名，若该地区共有初中学生6000名，据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生大约有__________名． 【答案】1800 【解析】 【分析】本题考查了利用样本估计总体，熟练掌握利用样本估计总体的方法是解题关键．利用该地区初中学生的总人数乘以知道上述传统文化知识的学生人数所占的百分比即可得． 【详解】解： （名）． 故答案为：1800． 15. 如图，五边形ABCDE是正五边形，直线，点P在直线MN上运动，当点P至少与正五边形的两个顶点距离相等时，警报器就会发出警报，在直线MN上会发出警报的点有__________个． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了正多边形与垂直平分线的性质，解答此题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 根据正五边形的特点，结合线段垂直平分线的性质确定不同的点即可． 【详解】解：根据垂直平分线的性质及正五边形的性质可知， 直线上会发出警报的点P有：、、、、的垂直平分线与直线的交点， 如图所示：共五个． 故答案为：5． 16. 如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为___________． 【答案】5或 【解析】 【分析】首先根据题意得到点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆，当与相切时，最大，然后分点P在左侧和点P在右侧两种情况讨论，根据勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段， ∴点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆， ∴当与相切时，最大 如图1，当点P在左侧时， 根据题意得，，， ∵ 过点P作，交的延长线于点H， ∴ ∴， 又∵ ，即 ，， ∴在中，； 如图2，当点P在右侧时， 同理，可得，， ∴ ∴在中，． 综上所述，的长为5或． 故答案为：5或． 【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是得到当与相切时，最大． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答题应写出文字说明或演算步骤．） 17. 如图数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，6，点C在线段BD上，且不与端点重合． （1）若，求A，B，C，D四点表示的数的和． （2）若线段，，能围成等腰三角形，求x的值． 【答案】（1）A、B、C、D四点表示的数的和为6 （2）x的值为2或5或3.5 【解析】 【分析】本题主要考查数轴，有理数的加减法以及等腰三角形的定义，正确地进行进行分类讨论是解答本题的关键． （1）直接进行加减运算即可； （2）分别求出，，的长，再根据为底和腰时分别讨论、计算即可． 【小问1详解】 解：当时有： ， ∴A、B、C、D四点表示的数的和为6． 【小问2详解】 解：据题意得：，，， 当为底时，则有， ∴ 解得，； 当为腰，且时，， ∴， 解得，； 当为腰，且时， ∴， 解得， ∴x的值为2或5或3.5． 18. 老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： 第一步 第二步 第三步 乙同学： 第一步 第二步 第三步 （1）对于两人的做法，下列判断正确的是：（　　） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 （2）若正确，说明每步做的依据；若错误，则甲同学的解答从第___________步开始出现错误；乙同学的解答从第___________步开始出现错误；并重新写出完成此题的正确解答过程． （3）解分式方程，体会与分式化简的关系． 【答案】（1）D （2）由（1）可知则甲同学的解答从第一步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误； 正确的解答过程为： ， （3）是增根，原方程无解 【解析】 【分析】（1）根据分式的加减运算法则对甲乙的解答过程进行判断即可； （2）根据分式的加减运算法则作答即可； （3）根据分式方程的解法进行作答即可． 【小问1详解】 甲同学：，故甲计算错误； 乙同学：，故乙计算错误； 故选：D； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 即：， 经检验，是原方程的增根， 故原方程无解． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算以及解分式方程的知识，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 19. 如图1．线段和相交于点C，连接．四张卡片除正面分别写着如图2所示的四个不同的条件外完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）若小明第一次抽到卡片③后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明的概率是__________． （2）若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明的概率，用树状图法进行计算． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，树状图法求概率： （1）先判断能得到的结果，再利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，无法得到； ∴从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明的概率是； 【小问2详解】 由题意，画出树状图如图： 共12种等可能的结果，由（1）可知，要证明只能是一边，一角，且边只能是③，满足要求的结果有4种， ∴． 20. （中华优秀传统文化）瓷板画（图1）是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），分别垂直直线l于B，D两点，过点O作于点E，交于点F．已知，，． （1）求半径的长； （2）求图2中阴影部分的面积． 【答案】（1）30 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离， （1）先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． （2）根据，即可求解． 【小问1详解】 解： ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵，由题意得， ∴ 在中，， ∴， 即的半径的长为． 【小问2详解】 连接 ， ， ∵ 在中，， ∴ 为等边三角形， 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线交直线于点，交轴于点． （1）求点的坐标； （2）若点在第二象限，的面积是5． ①求点的坐标； ②将沿轴平移，点的对应点分别为，，，设点的横坐标为．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，一次函数图象与性质，平移的性质，利用数形结合思想是解题的关键． （1）把代入求得对应的自变量x的值即可求得； （2）①利用三角形面积公式求得C的纵坐标，代入即可求得C的坐标； ②分两种情况：当沿x轴向右平移时和当沿x轴向左平移时讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：①∵点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； ②连接， 把代入得：， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代得：，解得：，． 当点在直线上时，点的横坐标为：， 当点在点D上时，点的横坐标为：， 当沿x轴向右平移时，只有两个顶点在外部时，； 当沿x轴向左平移，只有两个顶点在外部时； 综上可知，只有两个顶点在外部时，m的取值范围为或． 22. 图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究如图②，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．（结果精确到，参考数据：） （1）__________，_________； （2）求点到道路的距离． 【答案】（1）， （2）点到道路的距离约为 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的外角，解直角三角形，解题的关键是掌握正多边形外角定理和解直角三角形． （1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出长度，解，求出即可． 【小问1详解】 解：正八边形的一个外角的度数为：， ，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， 在中，，， ， 在中，， ， 所以，点到道路的距离为． 23. 掷实心球是中考体育考试的选考项目，如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求抛物线的表达式； （2）根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． （3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，则掷出点的高度至少达到______时，可得满分． 【答案】（1）关于的函数表达式为； （2） 解：该女生在此项考试中没有得满分，理由如下： 当时，即， 解得，（舍去）， ∵， ∴该女生在此项考试中没有得满分； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用和一元二次方程的解法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可； （）设掷出点的高度向上平移，可得满分，得到新抛物线的解析式为 ，解方程即可得到结论. 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为，把代入上式得： 解得：， ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设掷出点的高度向上平移，可得满分， ∴新抛物线的解析式为，把代入得， 解得：， ∴， ∴掷出点的高度至少达到时，可得满分， 故答案为：． 24. 如图，在四边形中，是边上的一个动点，连接． （1）____________°，线段的最小值是____________． （2）过点E作线段的垂线l，点F在直线l上，且在的左侧，满足． ①在图中利用直尺和圆规作出满足上述要求的图形；（保留作图痕迹，不写作图过程） ②在点E运动的过程中，当点F落在边上时，求证：； ③连接，直接写出线段长的最小值； ④连接，当直线时，求线段的长． 【答案】（1）135；6 （2） ①作图如解图1． ②证明：当点F落在边上时， 如解图2，过点D作于点G． ， ， ． 在 和中： ， ． 由（1）知，． ③线段长度最小值为④ 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用角度关系求解；根据垂线段最短求的最小值． （2）①根据尺规作图的要求作出图形； ②通过证明三角形全等推导线段关系； ③分析点的运动轨迹，求的最小值； ④利用平行线的性质和三角形全等求解的长． 【小问1详解】 解：过作于，则， 是等腰直角三角形，， 则， 当时，最小， 此时． 【小问2详解】 解：①略 ②略 ③线段长的最小值为． 如解图3，过点D作于点G，过点F分别作，交的延长线于点M，作于点N，则四边形为矩形， ． 由①知，， ， ， ， ． 设，则， ． 在中，， ∴当时，取得最小值，最小值为． ④如解图4，， ． ， ， ． ， , ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握利用勾股定理、三角形全等、垂线段最短等知识，结合尺规作图和轨迹分析求解线段长度与角度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $