第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件——2027届高三数学一轮复习

第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1.直线倾斜角的定义 (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按　　　　方向绕着交点旋转到　　　　　　　　　　　时所成的角,称为直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示.当直线l和x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为　　　.  　　　　　直线的倾斜角α的取值范围为[0,π) (2)在平面直角坐标系中,直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度,倾斜角越接近　　　,倾斜程度越大.  逆时针 和直线l首次重合 　0 2.直线的斜率 (1)定义:称k=(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线l的斜率.　 所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率 (2)直线的斜率与倾斜角的关系:倾斜角不是的直线,它的斜率k和它的倾斜角α满足k=tan α(其中α≠). (3)直线的倾斜角与方向向量的关系:若k是直线l的斜率,则v=(1,k)是它的一个方向向量;若直线l的一个方向向量的坐标为(x,y),其中x≠0,则它的斜率k=. 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 点斜式 过点(x0,y0),斜率为k 　　　　　  与x轴不垂直的直线 斜截式 在y轴上的截距为b,斜率为k 　　　　　  两点式 过两点(x1,y1),(x2,y2) (x1≠x2,y1≠y2) 　　 　　　  与两坐标轴均不垂直的直线 y-y0=k(x-x0)　 y=kx+b 名称 几何条件 方程 适用条件 截距式  “截距式”中截距不是距离,在用截距式时,应先判断截距是否为0 在x轴、y轴上的截距分别为a,b(ab≠0)  　　　　　  不过原点,且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 — Ax+By+C=0 (其中A,B不 全为0) 平面内所有直线 =1 [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的斜率大于0,其倾斜角一定为锐角.(　　) (2)若直线的倾斜角存在,则必有斜率与之对应.(　　) (3)任何直线都可以用=1表示.(　　) (4)方程和方程(y-y1)·(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)适用的范围相同. (　　) √ × 解析 当直线的倾斜角为直角时,直线垂直于x轴,此时该直线的斜率不存在. × 解析 截距不存在或过原点的直线不可以用截距式表示. × 解析 方程成立的前提是y1≠y2且x1≠x2,而方程(y-y1)·(x2-x1) =(x-x1)·(y2-y1)适用于所有的直线方程. 2.(人A选一教材习题改编)若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(　　) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 A 解析 由题意得=1,解得m=1.故选A. 3.(人A选一教材习题改编)已知直线l的倾斜角为60°,且l在y轴上的截距为-1,则直线l的方程为(　　) A.y=-x-1 B.y=-x+1 C.y=x-1 D.y=x+1 C 解析 因为直线l的倾斜角为60°,所以直线l的斜率k=tan 60°=,又直线l在y轴上的截距为-1,所以直线l的方程为y=x-1.故选C. 4.(人A选一教材例题改编)如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 D 解析 由题图知,直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0,直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以0<k3<k2,因此k1<k3<k2.故选D. 5.(人A选一教材习题改编)已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x=　　　　.  -3 解析 因为A,B,C三点共线,所以kAB=kAC,所以,所以x=-3. 6.(人A选一教材习题改编)过点(3,-2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为　 .  2x+3y=0或x+y=1 解析 由题知,若直线在x轴、y轴上的截距均为0,即直线过原点,又过(3,-2),则直线方程为y=-x,即2x+3y=0;若截距不为0,设直线在x轴、y轴上的截距均为a,则直线方程为=1,又直线过点(3,-2),则=1,解得a=1,所以此时直线方程为x+y=1. 考点一　直线的倾斜角与斜率 例1　(1)(2025·江苏南京模拟)已知直线l的方程为x+ysin α+1=0(α∈R),则直线l的倾斜角的取值范围为(　　) A.[] B. [0,]∪[,π) C.[] D.[)∪(] C 考点一 考点二 考点三 解析 当sin α≠0时,直线l的斜率为k=-(-∞,-]∪[,+∞), 设直线l的倾斜角为θ,则有k=tan θ∈(-∞,-]∪[,+∞), 结合正切函数的图象可知,倾斜角θ的取值范围为[)∪(]; 当sin α=0时,倾斜角θ= 综上,直线l的倾斜角取值范围为[].故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·湖南岳阳模拟)经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段总有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.[1,+∞) A 考点一 考点二 考点三 解析 kPA==-1,kPB==1, 如图所示. 由图知,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段总有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是[-1,1].故选A. 考点一 考点二 考点三 规律方法　1.斜率的三种求法:定义法、斜率公式法、方向向量法. 2.倾斜角和斜率范围求法: (1)图形观察(数形结合); (2)充分利用函数k=tan α的单调性. 3.当直线l的倾斜角α∈[0,)时,α越大,直线l的斜率越大;当α∈(,π)时,α越大,直线l的斜率越大. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2025·安徽滁州期末)设直线l的方程为x-ycos θ+2=0,则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A.[0,π] B.[] C.[] D.[)∪(] C 考点一 考点二 考点三 解析 当cos θ=0时,直线l的方程为x=-2,此时直线l的倾斜角α=; 当cos θ≠0时,直线l的斜率为tan α= 因为cos θ∈[-1,0)∪(0,1],所以(-∞,-1]∪[1,+∞), 即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞). 又因为α∈[0,π),所以结合正切函数的图象可得α∈[)∪(]. 综上,直线l的倾斜角α的取值范围是[].故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·安徽马鞍山一模)设点A(2,1),B(-2,3),若直线ax+y+1=0与线段AB没有公共点,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-1) B.(-2,1) C.(-1,2) D.(1,+∞) C 考点一 考点二 考点三 解析 由ax+y+1=0可知直线的斜率为-a,且经过定点P(0,-1), 由点A(2,1),B(-2,3)可得直线PA,PB的斜率分别为kPA==1,kPB==-2, 作图如下. 由图知,要使直线ax+y+1=0与线段AB没有公共点,需使kPB<-a<kPA, 解得-1<a<2.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点二　求直线的方程 例2　求符合下列条件的直线方程: (1)过点(1,2),且斜率为3; (2)经过两点A(3,-2),B(5,-4); (3)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2; (4)过点P(2,4)且在坐标轴上的截距相等. 考点一 考点二 考点三 解 (1)直线的点斜式方程为y-2=3(x-1),化简得3x-y-1=0. (2)由两点式得,即x+y-1=0. (3)斜率k=tan 45°=1,截距b=2,所以斜截式方程为y=x+2,即x-y+2=0. (4)当直线过原点时,设直线方程为y=kx,因为直线过点(2,4),则k=2,即直线方程为2x-y=0. 当直线不过原点时,设=1(a≠0),因为直线过点(2,4),所以=1,解得a=6,即直线方程为x+y-6=0. 综上,直线方程为2x-y=0或x+y-6=0. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求直线方程的两种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练2]求符合下列条件的直线l的方程: (1)直线过点A(1,2),倾斜角α的正弦值为; (2)在x轴上的截距是-2,在y轴上的截距是-5的直线; (3)经过点B(4,2),平行于x轴; (4)直线过点A(1,3),且在两坐标轴上的截距之和为8. 考点一 考点二 考点三 解 (1)∵sin α=,∴k=tan α=±,则直线方程为y-2=±(x-1),即3x-4y+5=0或3x+4y-11=0. (2)∵直线在x轴上的截距是-2,在y轴上的截距是-5, ∴直线的方程为=1,即5x+2y+10=0. (3)因为直线平行于x轴,所以斜率等于0,由点斜式得y-2=0×(x-4),即y-2=0. (4)依题意得,直线的横截距、纵截距均不为0,可设直线方程为=1,代入点A(1,3),可得=1,解得m=2或m=4,所以所求直线方程为 =1或=1,即所求直线方程为3x+y-6=0或x+y-4=0. 考点一 考点二 考点三 考点三　直线方程的综合应用 例3　[一题多变]已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,当△AOB面积最小时,求直线l的方程. 考点一 考点二 考点三 解 (方法一)设直线l的方程为y-1=k(x-2),则可得A(,0),B(0,1-2k). ∵直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点, 解得k<0. 于是S△AOB=|OA|·|OB|=(1-2k)=(4--4k)[4+2]=4, 当且仅当-=-4k且k<0,即k=-时,等号成立,此时△AOB面积最小,直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0. 考点一 考点二 考点三 (方法二)设所求直线l的方程为=1(a>0,b>0),则=1. 又2,ab≥4, 当且仅当,即a=4,b=2时,等号成立,此时△AOB的面积S=ab最小,此时直线l的方程是=1,即x+2y-4=0. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式1]在本例中,当|MA|·|MB|取得最小值时,求直线l的方程. 解 (方法一)设直线l的方程为y-1=k(x-2),则可得A(,0),B(0,1-2k). ∵直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点, 解得k<0. ∴|MA|·|MB|==2(-k+)≥4, 当且仅当-k=-且k<0,即k=-1时,等号成立.此时直线l的方程为x+y-3=0. 考点一 考点二 考点三 (方法二)设所求直线l的方程为=1(a>0,b>0), 则可得A(a,0),B(0,b),=1. ∴|MA|·|MB|=||·||=-=-(a-2,-1)·(-2,b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-5 =(2a+b)()-5=2()≥4,当且仅当a=b=3时,等号成立.此时直线l的方程为x+y-3=0. 考点一 考点二 考点三 [变式2]在本例中,当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程. 解 设所求直线l的方程为=1(a>0,b>0), 则=1,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)·()=3+3+2, 当且仅当a=2+,b=1+时,等号成立.所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为x+y-2-=0. 考点一 考点二 考点三 规律方法　与直线方程有关的最值问题的解题策略 考点一 考点二 考点三 $