1.2集合间的基本关系（课件）2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合间的基本关系，系统讲解子集、真子集、相等及空集概念。通过“个人、班级与年级”案例导入，从元素与集合的∈/∉关系自然过渡到集合间的⊆/⊇关系，搭建前后知识的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，用Venn图发展几何直观，通过分层例题（如集合相等求参数、子集分类计数）提升推理能力。强调定义辨析与符号规范，帮助学生建立抽象概念与现实的联系，教师可借助结构化资源实施高效教学。

1.2 集合间的基本关系 参赛教师：祁阳四中王可 人教版数学高一上册 2026年祁阳市优质教学资源评选活动 1 集合与集合之间的关系 1 案例导入 ——个人、班级与年级 一个高中生 元素 高一(1)班 集合 集合 高一(1)班 高一(2)班 高一(3)班 高一(4)班 高一(5)班 高一(6)班 一个高中生 元素 高一(1)班 集合 集合 高一(1)班 高一(2)班 高一(3)班 高一(4)班 高一(5)班 高一(6)班 或 案例导入 ——个人、班级与年级 集合与集合之间的关系 1 一个高中生 元素 高一(1)班 集合 集合 高一(1)班 高一(2)班 高一(3)班 高一(4)班 高一(5)班 高一(6)班 包含 或 不包含 案例导入 ——个人、班级与年级 集合与集合之间的关系 1 集合与集合间的关系 集合与集合之间的关系 1 ★ 一般地，如果集合 中的任何一个元素都是集合 的元素，这时我们称集合 包含于集合 ，或称集合 包含集合 。 ★ 此时，集合 称为集合 的子集。 举例 【1】 ， ； 【2】所有等边三角形，所有等腰三角形； 【3】高一全体男生，高一全体学生； 【4】 ， ； —— 下列关系均为集合 包含于集合 集合与集合间的关系 集合与集合之间的关系 1 ★ 一般地，如果集合 中的任何一个元素都是集合 的元素，这时我们称集合 包含于集合 ，或称集合 包含集合 。 ★ 此时，集合 称为集合 的子集。 书写方式 【1】 包含于 ： 【2】 包含 ： ★ 通俗地理解就是谁更大“U”的开口向谁。（但注意上述有可能 ） 集合与集合间的不包含关系 集合与集合之间的关系 1 ★ 一般地，如果集合 中有任何一个元素不是集合 的元素，这时我们称集合 不包含于集合 ，或称集合 不包含集合 。 ★ 此时，集合 不是集合 的子集。 书写方式 【1】 包含于 ： 【2】 包含 ： 【3】 不包含于 ： 【4】 不包含 ： ★ 通俗地理解就是集合 但凡有哪怕一个元素不在 当中，那么就有 集合 中有不属于集合 的元素 集合与集合间的不包含关系 集合与集合之间的关系 1 ★ 一般地，如果集合 中有任何一个元素不是集合 的元素，这时我们称集合 不包含于集合 ，或称集合 不包含集合 。 ★ 此时，集合 不是集合 的子集。 书写方式 【1】 包含于 ： 【2】 包含 ： 【3】 不包含于 ： 【4】 不包含 ： ★ 通俗地理解就是集合 但凡有哪怕一个元素不在 当中，那么就有 ★ 对于这种定义的理解，如果在小初没有这个思维习惯，那么一定要在高中阶段逐步养成这种“纠定义”的思维习惯。即，我从你定义说的出发，按照正常逻辑推理出来的结论必然是正确的。如果不正确，那么就是定义错了，或者不严谨。 集合与集合之间的关系 1 例1 有三个集合： ， ， 请分别表示： 1） 和 2） 和 3） 和 解： 1） 2） ， 3） ， 集合与集合之间的关系 1 例2 设集合 ，集合 ，求 与 的关系。 解析： 这题的重点在于是否能读懂集合 是什么 我们对比上一节课特地讲的一个集合 这个集合中 和 是存在约束关系的。 但是在这道题的集合 中， 和 是不存在约束关系的。 所以可以随意搭配，比如 ， ， ，…… 所以实质上集合 所以 Venn图 Venn图 2 ★ 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称 为 Venn图。 —— 一个简单而又重要的数学研究工具 知识理解 ★ Venn图听起来有一个非常“高大上”的名字，但是其实非常简单。比如说农村里几个四五岁的孩子想去抓几只鸟玩，他们就在都是沙的地上用树枝“部署”他们的计划。这体现了： 喜欢直观不喜欢抽象是一个人不需要通过学习习得的正常思维趋势。 (Venn图) Venn图 ★ 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称 为 Venn图。 —— 一个简单而又重要的数学研究工具 知识理解 ★ 而在数学中，主动引导大家追求直观，早在小学一二年级就开始了。比方说二年级在学习了乘法和除法之后，开始了解了“倍”的概念，做了相关的应用题： ★ 应用题：我有两个苹果，小明的苹果是我 的三倍。请问小明有多少个苹果？ 我：2个 你：？ ★ 所以Venn图也只是这样简单地画几个圈圈，来让这 种集合之间的关系直观地呈现。未来 Venn图在集合与概率中的应用非常广且重要。 Venn图 2 数形结合思想 还是说集合 与集合 完全相等（比如 和 ），都属于 的范畴。 真包含与相等 ★ 根据集合间包含的定义，我们知道若集合 包含集合 ，那么通俗 来讲，集合 是完全包含了集合 （比如 和 ）， 集合间关系的细分 3 真包含与相等 集合间关系的细分 3 包含 相等 不相等 还是说集合 与集合 完全相等（比如 和 ），都属于 的范畴。 ★ 根据集合间包含的定义，我们知道若集合 包含集合 ，那么通俗 来讲，集合 是完全包含了集合 （比如 和 ）， 真包含与相等 ★ 一般地，如果集合 的任何一个元素都是集合 的元素，且集合 的任何一个元素都是集合 的元素，那么集合 和集合 相等，记作 。 集合间关系的细分 3 包含 相等 不相等 —— 集合间的相等 ★ 数学语言的表达是： 若 ，那么 真包含与相等 ★ 一般地，如果 ，但存在元素 ，但 ，即 当中有 不属于 的元素存在，那么就称集合 真包含于集合 。记作 ⫋ 。 集合间关系的细分 3 包含 相等 不相等 —— 集合间的真包含 ★ 数学语言的表达是： 若 且存在 ，那么 ⫋ 真包含与相等 集合间关系的细分 3 包含 相等 真包含 —— 集合间的真包含 ★ 数学语言的表达是： 若 且存在 ，那么 ⫋ ★ 一般地，如果 ，但存在元素 ，但 ，即 当中有 不属于 的元素存在，那么就称集合 真包含于集合 。记作 ⫋ 。 集合间关系的细分 3 例3 已知两集合 ， ，，求 。 解析： 由集合相等的定义我们知道， 和 的元素相互对应，即 集合 集合 ① 要么 ，显然不对； 集合间关系的细分 3 例3 已知两集合 ， ，，求 。 解析： 由集合相等的定义我们知道， 和 的元素相互对应，即 集合 集合 ① 要么 ，显然不对； ② 要么 ，这个满足 ； 所以 子集与真子集 子集的分类 4 ★ 我们已经定义了子集：若 ，那么集合 称为集合 的子集。 ★ 根据集合相等与真包含的分类，相对应地我们对一些特殊的子集进行命名和区分： ★ 我们已经定义了子集：若 ，那么集合 称为集合 的子集。 ★ 根据集合相等与真包含的分类，相对应地我们对一些特殊的子集进行命名和区分： 【1】当集合 有可能等于集合 时，集合 称 为集合 的子集； 子集的分类 4 子集与真子集 ★ 我们已经定义了子集：若 ，那么集合 称为集合 的子集。 ★ 根据集合相等与真包含的分类，相对应地我们对一些特殊的子集进行命名和区分： 【1】当集合 有可能等于集合 时，集合 称 为集合 的子集； 【2】当 时，集合 称为集合 的真子集； 子集的分类 4 子集与真子集 ★ 真子集还可以进一步细分~ 空集与非空真子集 子集的分类 4 ★ 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，并规定： 空集是任何集合的子集。并且：空集是任何非空集合的真子集。 子集 —— 真子集 空集 非空真子集 ★ 那么相对应的，不是空集的真子集就 叫做非空真子集。 知识理解 子集的分类 4 【1】空集 表示没有任何元素的一个集合，所以他本质还是一个集合。 【2】注意区分 、、 ，其中 是一个数字， 是一个集合。比方说，二次方程 的解集是空集 ，但不可以说其解集是 。前者意思是方程没有实数 根；后者意思是有解，解是 。而 表示有一个元素 的集合。 【3】一定要区分元素和集合。比如 是一个集合，集合之间是“包含”的关系，所 以 ；但是 对于 是一个元素，元素和集合之间是“属于” 的关系，所以 。 知识理解 子集的分类 4 【4】特别注意 是包含于， 是不包含，而 则是真包含于。 【5】有真子集的概念，但是没有假子集的概念。 子集的分类 4 例4 请用适当的数学符号填空（区分真包含和等于）： （1） _____ （3） _____ （5） _____ （2） _____ （4） _____ （6） _____ 子集的分类 4 例5 请写出集合 的所有子集，并归类真子集、空集和非空 真子集。 解： 为了清晰罗列，不妨列个表。 类别 子集 真子集 —— 空集 非空真子集 元素① 1 1 1 1 1 1 1 1 元素② 2 2 2 2 2 2 2 2 元素③ 3 3 3 3 3 3 3 3 集合 一共有 个子集。其中真子集 个，包含空集 个和非空真子集 个。 子集的分类 4 例5 请写出集合 的所有子集，并归类真子集、空集和非空 真子集。 解： 为了清晰罗列，不妨列个表。 类别 子集 真子集 —— 空集 非空真子集 元素① 1 1 1 1 1 1 1 1 元素② 2 2 2 2 2 2 2 2 元素③ 3 3 3 3 3 3 3 3 集合 一共有 个子集。其中真子集 个，包含空集 个和非空真子集 个。 ★ 对于一个有 个元素的集合，其全部子集个数为 个。不难理解，刨除自身， 真子集个数为 个。而再刨除空集，非空真子集个数为 个。 ★ 这个结论我们先记着。其推导过程等到我们学完选必三第6章计数原理当中的二 项式定理时会清楚。 $