21.3 特殊的平行四边形 复习题--最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3《 特殊的平行四边形》复习题--最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型 一、单选题 1．在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 2．如图，菱形的的边长为3，，对角线上有两个动点、（点在点的左侧），若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 3．如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在中，，点为延长线上一动点，连接，以为一组邻边作平行四边形，连接交于点，则周长的最小值为 ． 5．如图正方形的边长为，是中点，将沿直线平移得到在此过程中的最小值为 ． 6．如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为________． 7．如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为 ． 8．如图，在矩形中，，，E，F，G，H四点分别在长方形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 9．如图，四边形中，，，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为______ ． 10．如图，在矩形中，，，动点P满足，则周长的最小值为 ．    11．如图，点是边长为的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是 ． 12．如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的动点，则的最小值是 ． 13．如图，正方形的边长为1，的平分线交于点E．若点P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 三、解答题 14.如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，求的最小值为． 15．如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，求的最小值是． 16．如图，在平行四边形ABCD中，，，M、N分别是、边上的动点，且，求的最小值是．    17．如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．求∆BPQ周长的最小值． 18．如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，求的最小值． 19.【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 参考答案 一、单选题 1．B 解：过点作使，则：四边形为平行四边形，    ∴，∴，∴当三点共线时，有最小值即为的长， ∵四边形为正方形，∴，，， ∴，，∴，即：的最小值为3．故选B． 2．A 解：如图，连接交于点，作，使得，连接，， 则四边形是平行四边形，， ，的最小值为的长， 四边形是菱形，，， ，，是等边三角形，， ，，在中，． 的最小值为．故选：A． 3．C 解：作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线AB于P，连接，则，此时，最小，最小值，   ， ∵正方形，，∴，，，，， ∴点O关于的对称点F，∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， 又∴，∴，∴，∴最小值为．故选：C． 二、填空题 4. 解：如图，过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，四边形是平行四边形，， ，，， ，，直线l与直线之间的距离为1， ，，， ，， 即的最小值为，即周长的最小值为．故答案为：． 5. 解：如图所示，以点A为原点，所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， ∵正方形的边长为，是中点， ∴，∴， 由平移的性质可得，设，， ∴，∴， ，∴， ∴的值相当于x轴上的一点到点和到点的距离之和， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为点和点的距离，即最小值为，故答案为：． 6. 解：连接BD交AC于点O，如图， ∵四边形ABCD是菱形，AC=8∴ 又 在Rt△AOB中， ∴ ∴DO=5 当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，∵MN=1∴ 在Rt△DON中， ∴ 在Rt△DON和Rt△BOM中， ∴ ∴DN=BM∴ ∴的最小值为故答案为 7.5 连接，∵点G为的中点， F为的中点，∴，， ∴，作 A关于直线的对称点H，连接，交于点M， ∵，， ∴当P与M重合时，取得最小值， ∵矩形中，，，点E在上且．∴， ∴，∴．故答案为：． 8. 解：如图，作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，    由轴对称的性质可知，，， 四边形是矩形，，，， ，，，， 在和中，，， ，同理可证，，， ，，四边形是矩形，，， ，，，，   ，， 四边形周长为， 即四边形周长的最小值为26，故答案为：26． 9.5 解：如图，过点作于．，，， 过点作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长，过点作于． ，四边形是矩形，，， ，，， 的最大值为．故答案为：． 10. 解：设中边上的高是h．    ∵，∴，∴， ∴动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作A关于直线l的对称点，连接，则就是周长的最小值， 在中，，，∴， 即， 即周长的最小值为．故答案为：． 11.1 如图，作点关于的对称点，连接交于， 此时有最小值，最小值为的长． ∵菱形关于对称，是边上的中点，∴是的中点， 又∵是边上的中点，∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∴，即的最小值为1．故答案为：1． 12.10 解：连接，交于，连接，如图， 四边形是正方形，，，点B与点D关于对称， ∴，当点在处时，最小，最小值的长， ，，， 的最小值为10，故答案为：10． 13. 解：作关于的对称点，再过作于， ，，，，， 是关于的对称点，，即为的最小值， 四边形是正方形，，， 在△中，，，， ，即的最小值为．故答案为：． 三、解答题 14.解：连接，∵在边长为2的菱形中，，∴， ∵将沿射线的方向平移，得到，∴， ∵四边形是菱形，∴，∴， ∴四边形是平行四边形，∴，∴的最小值的最小值， ∵点在过点A且平行于的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接交定直线于，则的长度即为的最小值， 在中，， ∴，∴，∴， ∵∴， ∴. 15.解：连接，∵平行四边形，∴，， 由平移性质得：，，四边形为平行四边形， ，， 作关于直线的对称点D/，连接，，交延长线于， 由对称性得：，，， ， ，，，，， ∵，，， 的最小值为. 16.作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：    ，， 为等边三角形，， ，，四边形为平行四边形， 同理得四边形与四边形为平行四边形， ，，， ， 中，， 中， ，的最小值是． 17.解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，． ，．，， ∴四边形为平行四边形，． ，，三点共线，此时∆BPQ的周长最小． ，，即，， 周长的最小值为：． 18.（1）证明：四边形是矩形，与相等且互相平分， 关于的对称图形为，， 四边形是菱形； （2）作于Q，交于P， 沿所在直线折叠，得到，，， ，，，， ，，， ，即的最小值为． 19.，①，；解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示，过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵关于直线对称点，∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $