21.3 专题特训 特殊四边形中的定值，最值问题（练本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

∠OBC=∠OCB,OB=OC.∴.AC=BD..四边形 ABCD是矩形.AB=AD,.四边形ABCD是正方形. 5.证明：四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,OA=OC, OB=OD.BE=DF,∴.OE=OF..四边形AECF是平行 四边形.又AC⊥BD,.四边形AECF是菱形.OE= OA,∴.EF=AC..四边形AECF是正方形. 综合运用 6.D7.(1)证明：四边形ABCD是矩形，.∠FAB= ∠ABE=90°，AF∥BE.·EF⊥AD,.∠AFE=90°= ∠FAB=∠ABE.∴.四边形ABEF是矩形.，AE平分 ∠BAD,AF∥BE,∴.∠FAE=∠BAE=∠AEB.∴.AB= BE.∴四边形ABEF是正方形.(2)解：四边形ABEF是 正方形，∴易得AE=√2BE,∠FAE=45°.CE=√2BE, AE=CE.∴.∠EAC=∠ECA.:AF∥BC,∴.∠DAC= ∠ECA=∠EAC.·.∠DAC= 号∠FAE=2.5. 8.解： (1)如图所示。 D(2)①∠EFB=90°②矩形 ③AD∥BC④∠ABE=∠EBF⑤AB=AE 创新拓展 9.(1)证明：如图，具 过点E作EM⊥BC于 G BMF C H M,EN⊥CD于N,∴.∠CNE=∠FME=∠BCD=90°， ∴四边形EMCN是矩形，∴.∠MEN=90°.：点E是正方 形ABCD对角线上的点，.EM=EN.,∠DEF=90°， ∴∠DEN=∠MEF.在△DEN和△FEM中， ∠DNE=∠FME, EN=EM,.△DEN≌△FEM(ASA),∴.EF= ∠DEN=∠FEM, DE.四边形DEFG是矩形，∴.矩形DEFG是正方形 (2)解：CE十CG的值是定值，定值为5√6.在正方形DEFG 和正方形ABCD中，DE=DG,AD=DC.:∠CDG+ ∠CDE=∠ADE+∠CDE=9O°，.∠CDG=∠ADE.在 AD=CD. △ADE和△CDG中，∠ADE=∠CDG,.△ADE≌ DE-DG. ACDG(SAS),..AE=CG,..CE+CG=CE+AE=AC= √2AB=5V6,是定值. 专题特训中点四边形问题【回归教材】 【一题多问】(1)证明：连接BD.:E,H分别是AB,DA的 中点，EH是△ABD的中位线.EH=令BD,EH∥ BD,同理可得FG=之BD,FG∥BD.∴EH=FG,EH∥ FG.∴.四边形EFGH是平行四边形.(2正方形(3)10 6(4)AC=BD(5)证明：连接AC,BD交于点O.:E,F 参考答案第 分别是AB,BC的中点，EF是△ABC的中位线.EF∥ AC,EF=号AC同理可得HG/AC,HG=之ACEF∥ HG,EF=HG.∴四边形EFGH是平行四边形.：'AB AD,BC=CD,∴AC是线段BD的垂直平分线，.AC⊥ BD.E,H分别是AB,AD的中点，.EH是△ABD的中 位线..EH∥BD.EF∥AC,∴EF⊥EH,即∠HEF= 90°.四边形EFGH是矩形.【变式题】C【拓展练】 ab 22036 专题特训与正方形有关的三种常考模型 1.A2.√53.B4.证明：(1)取AB的中点M,连接EM. :四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠ABE=∠BCD =90°，，E为BC中点，M为AB中点，.AM=MB=CE =BE,∴.∠BME=∠BEM=45°，∴.∠AME=180° ∠BME=180°-45°=135°.，EF交正方形外角平分线CF 于点F,∴.∠DCF=45°，.∠ECF=135°.∠B=90, ∠BAE+∠AEB=90°.∠AEF=90°，.∠AEB十 ∠FEC=90°，∴.∠BAE=∠FEC.在△AME和△ECF中 ∠MAE=∠CEF, AM=EC, .△AME≌△ECF(ASA),.AE= ∠AME=∠ECF, EF.(2)在AB上截取BM=BE,连接ME.∠B=90°， .∠BME=∠BEM=45°，.∠AME=135°=∠ECF. AB=BC,BM=BE,.AM=EC.在△AME和△ECF Y∠MAE=∠CEF, 中，AM=EC,∴.△AME≌△ECF(ASA),∴.AE ∠AME=∠ECF, =EF,5.解：(1)：四边形ABCD为正方形，∴∠ADC= ∠B=90°，AB=AD..∠ADG=90°，.△ADG≌ △ABE(SAS).∴.∠DAG=∠BAE,AE=AG..∠FAG= ∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°= ∠EAF,即∠EAF=∠FAG.AF=AF,△AFG≌ △AFE(SAS)..EF=FG..EF=DF+DG=DF十BE, 即EF=BE+DF.(2)DF=EF+BE.证明如下：在CD上 截取GD=BE.同(1)可证△AEB≌△AGD,∴.EB=DG, AE=AG,∠EAB=∠GAD.又，∠BAG+∠GAD=90°，∴ ∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG=90. ∴.∠EAG=∠BAD=90°.∠EAF=45°，.∠FAG= ∠EAG-∠EAF=90°-45°=45°..∠EAF=∠GAF. :AF=AF,.△EAF≌△GAF(SAS).EF=FG.:FD =FG+DG,∴.DF=EF+BE. 专题特训特殊四边形中的定值、最值问题 1.A2.A【变式题】解：(1)四边形ABCD是菱形， AB=10,A0=C0,AC⊥BD,B0=号BD=&.在 Rt△ABO中，AO=√/AB-BOP=6,∴.AC=2AO=12. ∴Sm=合AC·BD=96,(2)GE+GF的值不发生变 化.理由如下：连接AG,由题意，得San=号Sm 1页（共55页） Sa+Sa,即7X96=号×10GE+2×10Gf,GE 十GF=9.6..GE+GF的值不发生变化.3.A4.(1)证 明：在菱形ABCD中，∠BAD=120°，∴.∠B=∠BAC= 60°.∴△ABC为等边三角形.AB=AC.:△AEF为等 边三角形，.AE=AF,∠EAF=60°.∠BAE=∠CAF. ∴.△BAE≌△CAF(SAS).∴.BE=CF.(2)解：四边形 AECF的面积不发生变化.过点A作AH⊥BC于点H. :△BAE≌△CAF,.S△BE=SACAF..S四边形ABF=SAAEC +S△CAF=S△A十SABAE=SAABC.'AB=AC=BC=4, ∴BH=2BC=2.在R△ABH中，AH=V√AB-BF= 25.Ssc=Sax=BC·AH=4V反.5.3 6.C7.108.139.3√3【变式题310.6.5【延伸 问】611./10+1 专题特训平行四边形中常见的易错题 1.证明：四边形ABCD为平行四边形，.AD∥BC,OA= OC,.∠EAO=∠FCO..OE⊥AD,OF⊥BC,∴.∠AEO= ∠CFO=90°，.△AOE≌△COF(AAS),.OE=OF. 2.C3.C4.A5.B6.(10w5-10)7.B 数学活动黄金矩形与剪拼正方形落实课标】 1,解：(1)√5(2)四边形ABQD是菱形.理由如下：由折叠 的性质可知AB=AD,∠BAQ=∠DAQ.又·四边形 ACBF为矩形，.BQ∥AD..∠BQA=∠DAQ..∠BAQ =∠BQA.AB=BQ.AD=BQ..四边形ABQD为平 行四边形.又：AB=AD,∴.四边形ABQD为菱形.(3)由 题意易知AF=BC=MN=2,AC=1,AD=√5，.CD=AD -AC=5-1,:P=5,1.四边形BCDE为黄金矩 BC 2 形，易得AN=AC=1.DN=AN+AD=1+后. 2=51.四边形MNDE为黄金矩形.2.解： √5+1 2 (1)菱形(2)如图④，A 图④① 根据题意，得EF=FG=2cm,:正八边形的内角的度数为 (8-2)X180=135°，∠AEF=∠AFE=180°-135°= 8 45.由勾股定理，易得AF=2EF=2cm同理，得BG= 2 √2cm..原正方形纸片的边长为2十2十√2=2十 2√2(cm). 第二十一章归纳与提升 1.D2.205°3.144.D5.C6.A7.(1)解：如图， A \N D射线CN即为所求.(2)证明：·四边形 参考答案第 ABCD为平行四边形，.AB=CD,AD=BC,AD∥BC, .∠BCN=∠DNC,∠DAM=∠AMB.:AM平分 ∠BAD,CN平分∠BCD,∴.∠BAM=∠DAM,∠DCN= ∠BCN,.∠BAM=∠AMB,∠DCN=∠DNC,∴.AB= BM,CD=DN,∴.BM=DN.AD=BC,∴.CM=AN. :AD∥BC,.四边形AMCN为平行四边形.8.B9.C 10.1211.①②③12.(1)证明：：四边形ABCD和四边 形AEFG是正方形，∴·AG=AE,AB=AD,∠EAG= ∠BAD=90°..∠GAD=∠EAB.在△GAD和△EAB中， AG-AE. ∠GAD=∠EAB,.△GAD≌△EAB(SAS),.EB= AD-AB. GD.(2)解：连接BD交AC于点O,.AC=√AB十BC= 3E.A0=D0=号AC=号E,0G=AG+A0= 号E,DG=VD0+0G=√(E)+(受E)- √17.13.解：(1)如图所示.」 C(2)∠CAE AE =CEAO=CO平行四边形 第二十二章函数 22.1函数的概念 第1课时常量与变量 分点训练 1.A2.B3.C4.解：(1)变量是s,t,常量是260.(2)变 量是S,常量是7a, 综合运用 5.C6.B7.高上、下底和面积8.解：(1)190(2)在 这一变化过程中，水池的容积、抽水机的台数、每台抽水机 每小时抽水的体积是常量；抽水时间、水池中的水的体积是 变量 第2课时函数 分点训练 1.C2.9π36π半径圆形的面积3.D4.是 5.(1)xyx(2)59.96.A7.C8.B9.R= 0.008t+22.1610.解：(1)Q=10t+100.(2)当Q=500 时，10t十100=500，解得t=40,∴.需要40min才能把水箱 注满.(3)当t=18时，Q=10×18十100=280，.注水 18min时水箱内的水量是280L 综合运用 11.D12.2或-2或313.解：(1)2t(12-2t)4t (2)由题意，得S=号BP·BQ=2(12-21)×41=241 4t.BQ=4t>0,BP=12-2t>0,AP=2t>0,QC=24 4t>0,.0<t<6..S关于t的函数解析式为S=24t一4t (0<t<6). 2页（共55页）专题特训 特殊四) 类型幻特殊四边形中的定值问题 (一)利用面积法解决定值问题 1.如图，E是□ABCD的边CD上一动点，以 BE为边作□BEFG,使点A始终在GF上， 在动点E从点C向点D运动的过程中，关于 □BEFG的面积，下列说法正确的是( ) A.始终不变 B.逐渐减小 C.先减小再增大 D.不能确定 D H G (第1题图) (第2题图) 2.如图，在矩形ABCD中，AC和BD相交于点 O,AD=3,AB=4,E是边CD上一点，过点 E作EH⊥BD于点H,EG⊥AC于点G,则 EH+EG的值是 A.2.4 B.2.5 C.3 D.4 【变式题】如图，在边长为10的菱形ABCD中， 对角线AC,BD相交于点O,BD=16,G是BD 上的动点，GE⊥AB于点E,GF⊥AD于点F. (1)求AC的长及菱形ABCD的面积 (2)当点G在对角线BD上运动时，GE+GF 的值是否发生变化？请说明理由， 74数学八年级下册人教版 边形中的定值、最值问题 方法总结：在特殊四边形中，对于上述几题中由一点 :引出两条垂线，求线段和的定值的问题，常用同一面 :积的不同表示形式来解决 (二)利用全等进行转化解决定值问题 3.(教材P88复习题T16变式)如图，两个边长 相等的正方形ABCD和正方形OEFG重叠 在一起.若将正方形OEFG绕点O按逆时针 方向旋转，则两个正方形的重叠部分（四边 形OMCN)的面积 A.不变 B.先增大再减小 C.先减小再增大 D.不断增大 4.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD= 120°，△AEF为等边三角形，点E,F分别在 菱形的边BC,CD上滑动，且点E,F不与点 B,C,D重合 (1)求证：BE=CF. (2)当点E,F在BC,CD上滑动时，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果不变， 求出这个定值；如果变化，说明理由. 类型2特殊四边形中的最值问题 (一)利用“垂线段最短”求最小值 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,E为边AD上的一个动点，∠BAD 120°，菱形ABCD的周长为24，则OE的最 小值为 (第5题图)》 (第6题图) 6.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，A,B两点的坐标分别为A(一4,0)， B(0,-3).若P是线段AB上一点（不与，点 A,B重合)，PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点 F,则EF的最小值为 ( ) A是 B是 c.号 n号 (二)根据“对称性十两点之间线段最短”求最 小值（将军饮马问题变式） 方法点拨：本质是利用特殊四边形的对称性找到定 ,点的对称点，再根据两点之间线段最短求最值 (如图). O' 两定一动型 两定两动型 7.(永川区期末)如图，已知正方形ABCD的边 长为8，点M在DC上，DM=2,点N是AC 上的一个动点，那么DN+MN的最小值是 B EM (第7题图) (第8题图) 8.(渝北区期中)如图，在正方形ABCD中，E 为BC边上一点，BE=5,EC=7.F为对角 线BD上一动点（不与点B,D重合），过点F 分别作FM⊥BC于点M,FN⊥CD于点N,连 接EF,MN,则EF+MN的最小值为 (三)根据“对称性十垂线段最短”求最小值（化 折为直，化直为垂) 9.如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°，G 是边CD的中点，E,F分别是AG,AD上的两 个动点，则EF十ED的最小值是 (第9题图) (变式题图) 【变式题】如图，在菱形ABCD中，AB=2, ∠A=120°，P,Q,K分别为线段BC,CD,BD 上任意一点，则PK十QK的最小值为 (四)其他常见的最值问题 10.如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=12,G 是边AB上的一点，P是BC边上的一个动 点，连接DG,GP,E,F分别是GD,GP的 中点.在点P的运动过程中，EF的最大值 为 【延伸问】EF的最小值为 11.如图，P为矩形ABCD外一点，∠APB= 90°，AB=2,BC=3,则PD的最大值为 提示 请完成阶段小测（三）[21.3] 第二十-章四边形75