第11章 一元一次不等式 -2025-2026学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

**基本信息** 以一元一次不等式概念为起点，通过基础-中等-优质三级题型梯度，系统覆盖定义、性质、解法及跨场景应用，结合月考至期末多阶段真题，构建“概念-推理-建模”的完整逻辑链。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|6类|概念辨析与性质应用|从定义到性质的认知递进，培养抽象能力| |解法应用|7类|解不等式（组）及简单应用|解法到实际建模的能力转化，发展推理意识| |综合拓展|9类|新定义/几何/最值综合问题|与方程、几何结合的知识迁移，提升创新意识| |备考衔接|3阶段|多阶段考试高频考点|对接不同学段考查要求，强化模型观念|

第11章 一元一次不等式 思维导图 【类型一】不等式、一元一次不等式(组)的定义 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．若是关于的一元一次不等式，则________． 【类型二】列一元一次不等式(组) 1．树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 2．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 3．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 【类型三】不等式的基本性质 1．若，则下列各式中错误的是（  ） A． B． C． D． 2．下列说法不正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．如果，那么______ ．（填入“>”、“<”或“=”） 【类型四】在数轴上表示不等式的解集 1．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______． 【类型五】解一元一次不等式 1．解不等式：． 2．解不等式： 3．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【类型六】解一元一次不等式(组) 1．解不等式组： 2．解不等式组：，并求出它的正整数解． 3．解不等式组： (1)； (2)． 【类型一】求不等式的整数解 1．不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 2．不等式的非负整数解的和为（    ） A． B． C． D． 3．我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 【类型二】代数式构成不等式 1．当代数式的值小于代数式的值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若代数式的值始终不大于－1，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若代数式的值比代数式的值大，那么x的取值范围是_______． 【类型三】一元一次不等式的应用一行程问题 1．甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？ 2．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400m以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前40m只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为，甲工人步行的速度为，骑车的速度为．为了确保甲工人的安全，则导火线的长度要大于多少米？ 3．甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇． (1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少． (2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？ 【类型四】一元一次不等式的应用—销售问题 1．“云健身”火了，也带动了小型居家健身器材的热销，某网店A，B两种健身器材的销量最高．已知售出2件A种健身器材和3件B种健身器材所得利润为700元，且售出每件A种健身器材的利润是每件B种健身器材利润的2倍． (1)求每件A种健身器材和B种健身器材的利润；（用二元一次方程组的知识解答） (2)由于需求量大，A，B两种健身器材很快售完，该店决定再次购进A，B两种健身器材共80件．如果将这80件健身器材全部售完后所得利润不低于10 000元，那么该店至少需要购进多少件A种健身器材？ 2．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ (2)在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 3．某商场销售A、两种商品，售出1件A种商品所得利润为200元，售出3件种商品和5件种商品所得利润为1100元． (1)求每件种商品售出后所得利润； (2)由于需求量大，A、两种商品很快售完，该商场决定再一次购进A、两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么该商场至少需购进多少件种商品？ 【类型五】一元一次不等式的应用一三边与角度问题 1．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 (1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围； (2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 2．如果一个三角形的一边长为，另一边长为． (1)求这个三角形第三边的长的取值范围； (2)当第三边长为偶数时，求三角形的周长． 3．在中，，设的度数为，的度数为． (1)求与的函数表达式； (2)若是锐角三角形，请确定的取值范围． 【类型六】一元一次不等式的应用—收费与方案问题 1．如图是第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，寓意为“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．某商店计划采购x对吉祥物钥匙扣，两个工厂收费方式如下． 甲厂收费方式：收模具费元，另外每对收制造费元． 乙厂收费方式：不超过对时，每对钥匙扣收制造费元；超过对时，超过部分每对钥匙扣收费元： (1)①当不超过时，甲厂的收费为________元，乙厂的收费为________元；②当超过时，乙厂的收费为________元； (2)采购多少对吉祥物钥匙扣时，甲、乙两厂收费相同? (3)直接写出选择哪个厂更节省费用． 2．甲、乙两家复印社复印纸张的收费标准如下： 甲复印社：无论复印多少页，每页收费0.2元． 乙复印社：当复印的页数不超过20页时，每页收费0.3元；当复印的页数超过20页时，超过的部分每页收费0.15元． (1)若要复印50页，请问选择哪家复印社比较省钱，并说明理由； (2)设复印的页数为x页（x超过20页），分别求出甲、乙两家复印社的收费（用含x的代数式表示）； (3)当复印的页数超过______页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 3．一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种：设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数）． 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 (1)若时，选择方案①的总费用为______元，选择方案②的总费用为_________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ 【类型七】作差法比较大小 1．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请尝试用这种方法解决下面的问题： (1)比较与的大小； (2)若，，请比较与的大小． 2．【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 3．【阅读理解】我们解决数学问题时，经常要用“作差法”比较两个数或代数式的大小，依据是不等式(或等式)的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知， ，其中，求证：． 证明： ，故． 【新知理解】（1）比较大小： (填“”“”或“”) 【问题解决】（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示(a为正整数)，其面积分别为，，请比较、的大小关系． 【拓展应用】（3）请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板；方案二：用4块A型钢板，7块型钢板．每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小，方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较的大小． 【类型一】一元一次方程的解为正(负)数 1．若关于x的方程的解为正数，且关于y的不等式组，恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（    ） A． B． C． D． 2．如果关于x的方程的解为非正数，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的整数a有（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是________． 【类型二】一元一次不等式(组)有、无解 1．若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．关于x的不等式组无解，则a的取值范围是___________． 【类型三】一元一次不等式(组)的新定义运算 1．对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如：，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的解集是________． 【类型四】一元一次不等式(组)的最值问题 1．已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 2．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【类型五】二元一次方程组的解与不等式结合 1．关于x、y的二元一次方程组，则下列四个结论正确的个数是（    ） ①若，则上述方程组的解为； ②若，则； ③若，，则k的最小值为； ④若则的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于m，n的二元一次方程组的解为自然数，则所有满足条件的整数a的个数为________． 3．（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，，求a的取值范围． 分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据，列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得，又因为，，所以解得______． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，，求的取值范围； ②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，，求出的取值范围（结果用含m的式子表示）． 【类型六】解特殊不等式组 1．阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 2．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 3．阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【类型七】二元一次方程组与不等式的解决应用 1．2026年4月23日是第31个“世界读书日”．为进一步营造浓厚的读书氛围，王老师要为班级补充一些名著，现获取信息如下： (1)求每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价． (2)现按照优惠方案购买《西游记》． ①当购买数量不超过10本时，请直接写出王老师应选择哪种优惠方案； ②当购买数量超过10本时，王老师应如何选择优惠方案？ 2．山西孝义皮影戏是国家级非物质文化遗产，其造型古朴、雕刻精湛，深受大众喜欢．某非遗体验馆计划定制一批皮影文创，用于研学活动和非遗文化推广．已知定制2个传统人物皮影和1个动物皮影共需200元，定制3个传统人物皮影和2个动物皮影共需320元． (1)求一个传统人物皮影和一个动物皮影的价格分别是多少元． (2)该体验馆计划定制两种皮影共70个，为丰富研学活动的展示内容，馆方希望在总费用不超过5100元的前提下，尽可能多定制传统人物皮影，求最多可定制多少个传统人物皮影． 3．安徽有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等均产自安徽．某商场计划购进A、B两种茶叶，已知A种茶叶每盒的进价比B种茶叶每盒的进价少20元．若购进A种茶叶6盒，B种茶叶5盒，则共需要1200元． (1)A、B两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ (2)该商场采购了A、B两种茶叶共500盒．若A种茶叶的标价是进价的2倍，每盒B种茶叶按标价出售可获得利润180元．“五一”期间，商场对这两种茶叶进行优惠促销活动：A种茶叶每盒降价40元，B种茶叶打八折出售．将这500盒茶叶卖完后，总利润不低于40000元，求至少需要采购B种茶叶多少盒？ 【类型八】一元一次不等式的应用一几何问题 1．如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以 的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，连接，，．设点运动时间为． (1)若，则的取值范围是______； (2)求为何值时，平分的面积； (3)求为何值时，． 2．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 3．如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则t的取值范围是 ； (2)当t为何值时，； (3)是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 【类型九】一元一次不等式(组)的新定义应用 1．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 2．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 3．定义运算：．已知，． (1)直接写出：______，______； (2)若关于x的不等式组有解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式的解集． 1．（25-26九年级下·吉林长春·月考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东东营·月考）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东东营·月考）某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可以打（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 4．（25-26七年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·河南郑州·月考）不等式组的最大整数解是________． 6．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）根据“x与y的2倍的和是非负数”，列出的不等式为_________． 7．（25-26八年级下·山东枣庄·月考）运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作．若输入后程序操作进行了两次就停止，则的取值范围是______． 8．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）解下列不等式： (1)； (2)． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求出非负整数解． 10．（25-26八年级下·山东枣庄·月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 1．（25-26七年级下·湖南永州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西太原·期中）某农户投入元种植千克蔬菜，在生长过程中有的蔬菜因病虫害受损无法售卖．若要使总收益比成本至少高，则每千克蔬菜的售价至少为多少元？设每千克蔬菜的售价为元，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽池州·期中）按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则的值为（   ） A．32 B．33 C．34 D．35 4．（25-26七年级下·安徽池州·期中）已知实数m，n满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南周口·期中）关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是______． 6．（25-26七年级下·安徽池州·期中）若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则m的值为______． 7．（25-26八年级下·河北保定·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为______． 8．（25-26八年级下·福建三明·期中）解不等式（组） (1)． (2)． (3)解不等式组，并写出所有的正整数解． 9．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）下表中有两种手机通话计费方式：（月使用费固定收取：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费，被叫免费） 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元/分钟） 被叫 方式一 50 150 0.2 免费 方式二 80 350 0.25 免费 (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需 元，按方式二计费需 元； (2)王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为 分钟； (3)当月主叫通话t分钟满足什么条件时，选择方式一比方式二省钱． 10．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一种组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集内点”，当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集外点”． (1)请直接判断下列组合中方程的解是_____（填“集内点”或“集外点”）； (2)若关于x的组合中方程的解是“集内点”，求a的取值范围． 1．（24-25七年级下·山西长治·期末）不等式组的最小整数解是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海金山·期末）下列不等式的解法中，正确的是（    ） A．，两边同乘，得 B．，两边同乘，得 C．，两边同时除以，得 D．，两边同时除以，得 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）已知不等式，有，则的取值范围是_______________． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 7．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）关于，的二元一次方程组，则下列四个结论： ①若，则上述方程组的解为； ②若x，y都为正数，则； ③无论k为何值，始终有x+y=4成立； ④若，则的最大值为． 其中正确的结论是______（请填写正确结论的序号）． 8．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）按要求完成下列计算： (1)解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． (2)解不等式组：． 9．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）某科技公司为开发一款智能助手，需要向云服务商采购两种AI算力资源：图像识别模块（简称模块A）和语言处理模块（简称模块B）． 下面是公司前两年在相同服务商的采购记录，用于建立成本预测模型： 素材1：前两年采购记录 年份 模块A数量（小时） 模块B数量（小时） 总费用（元） 2023 2024 素材2：版本升级说明 2025年起，服务商对模块进行了升级．新版本模块（称为“增强版”）每小时的租用费比旧版高元．为了与历史项目兼容，公司决定： ①当前新项目（项目代号X）使用的为增强版模块； ②已有老项目（项目Y、Z）仍使用旧版模块． (1)分别求出旧版模块A和模块B每小时的租用单价（单位：元） (2)根据老项目Y、Z的预算计划，公司为它们采购旧版模块的总预算为元，且预测模块A使用时间不超过小时，模块B使用时间不超过小时．若实际采购恰好用完全部预算，求模块A和模块B各采购了多少小时？写出符合约束条件的所有解； (3)公司本季度在算力采购上总共花费元．其中，新项目X的“增强版模块A”使用时间，占所有模块（A与B）使用总时长的，且增强版模块A使用时长少于小时．在不列出所有可能的情况下，直接计算出老项目Y、Z使用的“旧版模块B”总时长（小时）为__________． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知正整数，，满足，求证：． 证明：，， ______． ． 即． ______，， ______． ． 即． (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)若，则 ______， ______， ______； (3)现有一张边长为的正方形纸片，可画成如图所示的宫格，其中，，则图中阴影部分面积的最小值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 一元一次不等式 思维导图 【类型一】不等式、一元一次不等式(组)的定义 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式是用不等号(，，，，)连接，表示不等关系的式子判断即可． 【详解】解：A、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； B、是代数式，不表示不等关系，故此选项错误； C、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； D、是用不等号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义，故此选项正确． 2．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合要求； B、不是一元一次不等式，不符合要求； C、不是一元一次不等式，不符合要求； D、 不是一元一次不等式，不符合要求； 3．若是关于的一元一次不等式，则________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义列等式和不等式求解即可． 【详解】解： 是关于的一元一次不等式， ，且， 解得或， 或； 解得； ． 【类型二】列一元一次不等式(组) 1．树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先统一单位，再根据路程、速度、时间的关系找不等关系，据此列出不等式即可． 【详解】解：总距离为千米，即米， 设跑步时间为x分钟．根据题意，在40分钟内完成的总路程应不小于2500米． 基于此，假设用满40分钟，其中跑步x分钟，则步行分钟，那么跑步路程为米，步行路程为米，此时总路程应大于或等于2500米，因此可列不等式． 2．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 3．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 【类型三】不等式的基本性质 1．若，则下列各式中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质（性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）逐一判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，原式正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴，原式正确，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， ∴，原式错误，故此选项符合题意； D．∵， ∴，原式正确，故此选项不符合题意． 2．下列说法不正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A．∵，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴，A说法正确． B．∵，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变， ∴，B说法正确． C．∵，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得， 不等式两边再同时减，不等号方向不变，可得， 与选项中不符，C说法不正确． D．∵，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变， ∴，D说法正确． 3．如果，那么______ ．（填入“>”、“<”或“=”） 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质即可得到结论． 【详解】解：， ∴， ． 【类型四】在数轴上表示不等式的解集 1．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：不包含2，在数轴上点2为空心；小于2，划线方向是左侧； ，包含，点为实心，向右侧； 故选A． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 移项得， 系数化为1得， 数轴表示如下所示： 3．现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______． 【答案】 【分析】根据得出，求出不等式的解集是，根据数轴得出，再求出即可． 【详解】解：， ， 解得： 从数轴可知：， 解得． 【类型五】解一元一次不等式 1．解不等式：． 【答案】 【详解】解： ． 2．解不等式： 【答案】 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 3．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点；小于向左，大于向右． 【详解】解：， ， ， ， ， 如图， 【类型六】解一元一次不等式(组) 1．解不等式组： 【答案】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 2．解不等式组：，并求出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的正整数解为 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再求出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后从解集中筛选出正整数即可． 【详解】解：， 解不等式，得：； 解不等式，得：； 即不等式组的解集为：，其正整数解为． 3．解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先解不等式组中各不等式，再根据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 该不等式组的解集为； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为． 【类型一】求不等式的整数解 1．不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再找出解集范围内的最小整数即可得到答案． 【详解】解： 移项得 ∵大于 的整数为 ∴其中最小的整数为． 2．不等式的非负整数解的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解一元一次不等式得到的取值范围，再找出范围内的非负整数，计算它们的和即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 不等式的非负整数解为 ，，， 非负整数解的和为，选项符合题意． 3．我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则得到关于的不等式，求解并取最大整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 最大整数解是． 【类型二】代数式构成不等式 1．当代数式的值小于代数式的值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 根据题意，代数式的值小于代数式的值，列出不等式并求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A 2．若代数式的值始终不大于－1，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解法，注意解不等式的依据是不等式的性质，理解不等式两边同时除以一个负数时不等号方向改变是关键． 将代数式化简为 ，然后根据值不大于列出不等式求解． 【详解】解：∵ ， 又∵ 值始终不大于 ， ∴ ， 两边乘（正数，不等号方向不变）：， 移项：， 两边乘 （负数，不等号方向改变）：， ∴ 的取值范围是 ， 故选： A． 3．若代数式的值比代数式的值大，那么x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据题意列不等式，再求解即可． 【详解】解：∵代数式的值比代数式的值大， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查解不等式的应用，理解题意列不等式是解题的关键． 【类型三】一元一次不等式的应用一行程问题 1．甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？ 【答案】乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时，，利用路程=速度×时间，结合乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时， 根据题意得：， 解得， 的最小值为15． 答：乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时． 2．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400m以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前40m只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为，甲工人步行的速度为，骑车的速度为．为了确保甲工人的安全，则导火线的长度要大于多少米？ 【答案】导火线的长要大于1.3米 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，由导火线燃烧时间要大于甲工人转移的时间列不等式，解不等式即可． 【详解】解：设导火线需要米才能保证甲工人的安全． 由题意得，， 解得， 所以导火线的长要大于1.3米． 3．甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇． (1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少． (2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？ 【答案】(1)甲车的速度为，乙车的速度为 (2)乙车提速后的速度至少是每小时60千米 【分析】（1）设甲车的速度为，乙车的速度为，根据“若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇”列出方程组，即可求解； （2）设乙车提速后的速度为，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲车的速度为，乙车的速度为， 根据题意得，解得， 答：甲车的速度为，乙车的速度为； （2）解：设乙车提速后的速度为， 根据题意得， 解得， 答：乙车提速后的速度至少是每小时60千米． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组或不等式是解题的关键． 【类型四】一元一次不等式的应用—销售问题 1．“云健身”火了，也带动了小型居家健身器材的热销，某网店A，B两种健身器材的销量最高．已知售出2件A种健身器材和3件B种健身器材所得利润为700元，且售出每件A种健身器材的利润是每件B种健身器材利润的2倍． (1)求每件A种健身器材和B种健身器材的利润；（用二元一次方程组的知识解答） (2)由于需求量大，A，B两种健身器材很快售完，该店决定再次购进A，B两种健身器材共80件．如果将这80件健身器材全部售完后所得利润不低于10 000元，那么该店至少需要购进多少件A种健身器材？ 【答案】(1)每件种健身器材的利润为200元，每件种健身器材的利润为100元 (2)该店至少需要购进20件种健身器材 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出二元一次方程组和一元一次不等式． （1）设每件种健身器材的利润为元，每件种健身器材的利润为元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进件种健身器材，则购进件B种健身器材，根据总利润售出每件商品的利润销售数量结合总利润不低于元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件种健身器材的利润为元，每件种健身器材的利润为元， 由题意得：， 解得． 答：每件种健身器材的利润为200元，每件种健身器材的利润为100元． （2）解：设需要购进件种健身器材，则购进件种健身器材， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为20． 答：该店至少需要购进20件种健身器材． 2．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ (2)在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)方案1：生产A产品2件，B产品8件；方案2：生产A产品3件，B产品7件；方案3：生产A产品4件，B产品6件 (2)生产A产品2件，B产品8件获利最大，最大利润为26万元 【分析】（1）设生产A种产品件，则生产B种产品件，根据“工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元”列不等式组求解即可； （2）根据（1）中方案分别计算利润，比较即可； 【详解】（1）解：设生产A种产品件，则生产B种产品件（为非负整数）， 根据题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴， 对应三种生产方案：方案1：生产A产品2件，B产品8件； 方案2：生产A产品3件，B产品7件； 方案3：生产A产品4件，B产品6件； （2）解：方案1：总利润（万元）， 方案2：总利润（万元）， 方案3：总利润（万元）， ∵， ∴生产A产品2件，B产品8件获利最大，最大利润为26万元． 3．某商场销售A、两种商品，售出1件A种商品所得利润为200元，售出3件种商品和5件种商品所得利润为1100元． (1)求每件种商品售出后所得利润； (2)由于需求量大，A、两种商品很快售完，该商场决定再一次购进A、两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么该商场至少需购进多少件种商品？ 【答案】(1)售出每件种商品所得利润为100元 (2)该商场至少需购进6件种商品 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出一元一次方程和不等式成为解题的关键． （1）设售出每件种商品所得利润为元，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设购进件A种商品，则购进件种商品，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设售出每件种商品所得利润为元， 依题意得： 解得：． 答：售出每件种商品所得利润为100元． （2）解：设购进件A种商品，则购进件种商品， 依题意，得：．解得：． 为整数． 的最小值为6． 答：该商场至少需购进6件种商品． 【类型五】一元一次不等式的应用一三边与角度问题 1．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 (1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围； (2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系列不等式求解即可； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （3）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴，解得：． （2）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4． （3）解：设， 由题意可得：，解得：． 2．如果一个三角形的一边长为，另一边长为． (1)求这个三角形第三边的长的取值范围； (2)当第三边长为偶数时，求三角形的周长． 【答案】(1)第三边的长 (2)三角形的周长为或 【分析】（1）根据三角形的三边关系，即可求解． （2）根据（1）的结论，第三边长为偶数时，得出第三边长为或． 【详解】（1）解：∵一个三角形的一边长为，另一边长为，设第三边的长为， ∴， ∴， 即这个三角形第三边的长的取值范围是：第三边的长； （2）解：∵，且为偶数， ∴ 当时，三角形的周长为， 当时，三角形的周长为， ∴三角形的周长为或 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，求不等式的整数解，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 3．在中，，设的度数为，的度数为． (1)求与的函数表达式； (2)若是锐角三角形，请确定的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形的内角和等于180°即可得到答案． （2）由锐角的特征列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：由已知，则， ∴； （2）解：依题意有 解得： 【点睛】本题考查三角形的内角和、解不等式组，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【类型六】一元一次不等式的应用—收费与方案问题 1．如图是第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，寓意为“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．某商店计划采购x对吉祥物钥匙扣，两个工厂收费方式如下． 甲厂收费方式：收模具费元，另外每对收制造费元． 乙厂收费方式：不超过对时，每对钥匙扣收制造费元；超过对时，超过部分每对钥匙扣收费元： (1)①当不超过时，甲厂的收费为________元，乙厂的收费为________元；②当超过时，乙厂的收费为________元； (2)采购多少对吉祥物钥匙扣时，甲、乙两厂收费相同? (3)直接写出选择哪个厂更节省费用． 【答案】(1)①；；② (2)对或对 (3)当或时，选乙厂更节省费用；当时，选甲厂更节省费用；当或时，两厂收费相同 【分析】本题考查了分段函数在实际问题中的应用，通过建立甲、乙两厂的收费函数，利用方程和不等式求解收费相同及费用更省的情况，熟练运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据甲厂“固定模具费每对制造费”的收费模式，以及乙厂“不超过对和超过对”的分段收费规则，分别列出对应 x 取值范围的收费表达式； （2）分“不超过对”和“超过对”两种情况，令甲、乙两厂收费函数相等，通过解方程求出收费相同时的采购数量； （3）分“不超过对”和“超过对”两种情况，分别建立甲厂收费小于、等于、大于乙厂收费的不等式，通过解不等式确定不同采购数量下更节省费用的工厂选择． 【详解】（1）解：由题意可得，当不超过时，甲厂的收费为元，乙厂的收费为元，当超过时，乙厂的收费为元； （2）解：当不超过时，， 解得：； 当超过时，， 解得：； 答：采购对或对吉祥物钥匙扣时，甲、乙两厂收费相同； （3）解：当不超过时， ，解得：， ，解得：， ，解得：， 当超过时， ，解得：， ，解得：， ，解得：， 答：当或时，选乙厂更节省费用；当时，选甲厂更节省费用；当或时，两厂收费相同． 2．甲、乙两家复印社复印纸张的收费标准如下： 甲复印社：无论复印多少页，每页收费0.2元． 乙复印社：当复印的页数不超过20页时，每页收费0.3元；当复印的页数超过20页时，超过的部分每页收费0.15元． (1)若要复印50页，请问选择哪家复印社比较省钱，并说明理由； (2)设复印的页数为x页（x超过20页），分别求出甲、乙两家复印社的收费（用含x的代数式表示）； (3)当复印的页数超过______页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 【答案】(1)选择甲复印社比较省钱，因为甲收费10元，乙收费10.5元。 (2)甲复印社收费：元；乙复印社收费：元。 (3)60 【分析】此题考查了一元一次不等式及列代数式的应用，找出题中的数量关系是解本题的关键． （1）根据甲、乙两家复印社收费标准即可求解； （2）根据题意，分别求出甲、乙两家复印社的收费即可； （3）根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：复印50页时： 甲复印社收费：(元) 乙复印社收费：前20页每页0.3元，超过部分每页0.15元， 即(元)， 因为， 所以选择甲复印社比较省钱． （2）解：设复印张数为页 甲复印社收费：元． 乙复印社收费：元． （3）解：要使乙复印社收费比甲便宜，需满足： 解不等式得： 所以当复印的页数超过60页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 故答案为：60． 3．一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种：设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数）． 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 (1)若时，选择方案①的总费用为______元，选择方案②的总费用为_________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）依据题意，方案①：会员证280元每次20元，可得，总费用为元；方案②：根据题意可得总费用为元，进而得解； （2）依据题意，分时、时讨论，分别计算可以得解． 【详解】（1）解：方案①：会员证280元每次20元， ∴x为次数，总费用为元； 方案②：前30次费用元超过30次部分（次），每次元， ∴总费用为元； 故答案为：；； （2）解：①当时， 方案①费用：； 方案②费用：， 令， ∴． 当时，，方案②更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案①更优惠； ②当时，方案①费用：；方案②费用：； 令， ∴． 当时，，方案①更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案②更优惠． 【类型七】作差法比较大小 1．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请尝试用这种方法解决下面的问题： (1)比较与的大小； (2)若，，请比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求差法比较大小的应用及不等式的性质，熟练掌握整式的运算及不等式的性质是解题的关键． （1）利用求差法比较大小即可； （2）利用求差法及不等式的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ， ； （2）， ，， ，， ． ． 2．【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法求解即可； （2）利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以； （2）解：， 因为， 则， 所以， 即， 所以． 3．【阅读理解】我们解决数学问题时，经常要用“作差法”比较两个数或代数式的大小，依据是不等式(或等式)的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知， ，其中，求证：． 证明： ，故． 【新知理解】（1）比较大小： (填“”“”或“”) 【问题解决】（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示(a为正整数)，其面积分别为，，请比较、的大小关系． 【拓展应用】（3）请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板；方案二：用4块A型钢板，7块型钢板．每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小，方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较的大小． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了整式运算的应用． （1）作差即可作出判断； （2）分别求出，然后作差，根据a是正整数即可做出判断； （3）设A型钢板的面积为，型钢板的面积为，，分别求出，然后作差，最后根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ， ∴ ∵a为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设A型钢板的面积为，型钢板的面积为，， 根据题意可知：，， ， ∵， ∴， ∴ 【类型一】一元一次方程的解为正(负)数 1．若关于x的方程的解为正数，且关于y的不等式组，恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是含参数的一元一次方程的解法，一元一次不等式组的解法，熟练的利用方程的解的含义与不等式组的整数解的个数求解参数的范围是解本题的关键．表示出关于x的方程的解，由方程有非负数解确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组恰好有两个偶数解，得到a的值相加即可． 【详解】解：， 去括号，得， 解得， ∵关于x的方程的解为正数， ∴， 解得：， ∵， 由①得：， 由②得：， 解得， 由不等式组有解且恰好有两个偶数解，得到偶数解为2，0， ∴， 解得， ∴， 则满足题意a的值有，， 则符合条件的所有整数a的和是： ． 故选：D． 2．如果关于x的方程的解为非正数，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的整数a有（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先解关于x的方程求出a的取值范围，然后由二元一次方程组求出a的范围，最后求出整数解即可得出答案． 【详解】解：解关于x的方程得， ∵方程的解为非正数， ， ∵， ， 由二元一次方程组将得， 满足， ， ， ， ， 为整数， 满足条件的整数a有，，，，，，0，共7个. 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程与二元一次方程组，能熟练解方程是解题的关键 3．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式，解题的关键是解一元一次不等式． 先解方程求x的值，然后根据解是正数，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 关于x的方程的解是正数， ， 解得：． 故答案为：． 【类型二】一元一次不等式(组)有、无解 1．若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解即解集存在公共部分，列出关于a的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，； ∵不等式组有解，两个解集存在公共部分， ∴， 解得． 2．若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求参数的取值范围，解第二个不等式可得，再结合原不等式组有解即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式可得：， ∵关于的一元一次不等式组有解， ∴， 故选：D． 3．关于x的不等式组无解，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组无解问题． 分别解不等式组中的两个不等式，得到和．不等式组无解的条件是两个不等式的解集没有公共部分，即，解此不等式即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组无解，则， 即， 所以． 故答案为：． 【类型三】一元一次不等式(组)的新定义运算 1．对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如：，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解新运算法则是解题的关键． 根据新运算法则可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 该不等式的正整数解为1，2共2个， 故选：B． 2．对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解不等式，准确理解新定义是解题的关键．根据新定义将不等式转化为关于的一元一次不等式组，求出解集后根据整数解的个数确定的范围。 【详解】解：， 即， 解得， 解集中有3个整数解， 故整数解为， 故， 解得． 故选C． 3．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、新定义，根据，可以将不等式组不等式组可以转化为，然后求解即可．解答本题的关键是明确新定义，会利用新定义转化不等式组． 【详解】解：由题意可得，不等式组可以转化为， 解得， 故答案为：． 【类型四】一元一次不等式(组)的最值问题 1．已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，，利用不等式的性质求最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 将代入得， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为． 2．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 3．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 【类型五】二元一次方程组的解与不等式结合 1．关于x、y的二元一次方程组，则下列四个结论正确的个数是（    ） ①若，则上述方程组的解为； ②若，则； ③若，，则k的最小值为； ④若则的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先解出方程组中，关于的表达式，再逐一验证四个结论，统计正确结论的个数即可． 【详解】解:原方程组，两式相加得， ，代入得， ① 当时，，，方程组的解为，故①正确． ② 若，则， ，得，故②正确． ③ 若，，则： ，，得； ，，得； 的取值范围是，可以取到，故的最小值为，③正确． ④ ，由得，代入得： ，若，随增大而增大， 当时，的最大值为，不是，故④错误． 综上，正确的结论共3个，答案选C． 2．若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于m，n的二元一次方程组的解为自然数，则所有满足条件的整数a的个数为________． 【答案】1 【分析】先解一元一次不等式组，根据至少有2个整数解确定a的取值范围，再解二元一次方程组，根据解为自然数筛选出符合条件的整数a，统计个数即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 不等式组至少有2个整数解， ， 解得， 由题意得，， 得： 解得， 将代入得：， 方程组的解为自然数，a为整数，若为负因数，则n为负数，不是自然数， ∴是8的正因数， 又∵8的正因数为， ∴对应整数a的值为， ∵， ∴， 当时，，，m不是自然数，不符合； 当时，，，m不是自然数，不符合； 当时，，，均为自然数，符合； 综上所述，满足条件的整数a只有1个． 【点睛】本题融合不等式组整数解与方程组自然数解，通过解集范围限定、因数分析与逐值验证，考查了分类讨论、转化化归思想及对自然数概念的精准把握． 3．（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，，求a的取值范围． 分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据，列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得，又因为，，所以解得______． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，，求的取值范围； ②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，，求出的取值范围（结果用含m的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可； （2）①根据（1）阅读中的方法解题即可求解；②解方程组得：，根据，，可得，进一步得到的取值范围． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 故答案为：； （2）①设，则， 解得：， ，， ， 解得：， 即； ②解方程组得：， ，， ， 解得：， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能得出关于的不等式组是解此题的关键． 【类型六】解特殊不等式组 1．阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 2．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 3．阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题． （2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题． 【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得： ①或②， 解不等式组①，无解；解不等式组②， 的解集为 （2）由两数相除，同号为正，得： ①或②， 解不等式组①，；解不等式组②， 不等式的解集为或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 【类型七】二元一次方程组与不等式的解决应用 1．2026年4月23日是第31个“世界读书日”．为进一步营造浓厚的读书氛围，王老师要为班级补充一些名著，现获取信息如下： (1)求每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价． (2)现按照优惠方案购买《西游记》． ①当购买数量不超过10本时，请直接写出王老师应选择哪种优惠方案； ②当购买数量超过10本时，王老师应如何选择优惠方案？ 【答案】(1)每本《朝花夕拾》的原价为15元，每本《西游记》的原价为20元 (2)①选择方案二优惠；②当购买数量为20本时，两种方式的费用一样；当时，选择方案二；当时，选择方案一 【分析】（1）设每本《朝花夕拾》的原价为x元，每本《西游记》的原价为y元，根据小明与小亮的对话内容列出方程组，求解即可； （2）设购买《西游记》m本，①当购买数量不超过10本时，列出两种方案的付费金额，比较即可解答； ②当购买数量超过10本时，列出两种方案的付费金额，分类讨论即可． 【详解】（1）解：设每本《朝花夕拾》的原价为x元，每本《西游记》的原价为y元， 根据题意，得， 解得． 答：每本《朝花夕拾》的原价为15元，每本《西游记》的原价为20元． （2）解：设购买《西游记》m本，则， ①当购买数量不超过10本时， 方案一：付费元， 方案二：付费元， 而， ∴选择方案二优惠； ②当购买数量超过10本时， 方案一：付费：元， 方案二：付费：元， 当，解得， 当，解得， 当，解得， ∴当购买数量为20本时，两种方式的费用一样；当时，选择方案二； 当时，选择方案一． 2．山西孝义皮影戏是国家级非物质文化遗产，其造型古朴、雕刻精湛，深受大众喜欢．某非遗体验馆计划定制一批皮影文创，用于研学活动和非遗文化推广．已知定制2个传统人物皮影和1个动物皮影共需200元，定制3个传统人物皮影和2个动物皮影共需320元． (1)求一个传统人物皮影和一个动物皮影的价格分别是多少元． (2)该体验馆计划定制两种皮影共70个，为丰富研学活动的展示内容，馆方希望在总费用不超过5100元的前提下，尽可能多定制传统人物皮影，求最多可定制多少个传统人物皮影． 【答案】(1)一个传统人物皮影的价格为80元，一个动物皮影的价格为40元 (2)57个 【分析】（1）设一个传统人物皮影的价格为x元，一个动物皮影的价格，根据题意找出等量关系列出方程组并求解即可； （2）设定制m个传统人物皮影，则定制个动物皮影，根据不等关系列出不等式求解最大整数解． 【详解】（1）解：设一个传统人物皮影的价格为x元，一个动物皮影的价格为y元， 由题意得，， 解得， ∴一个传统人物皮影的价格为80元，一个动物皮影的价格为40元． （2）解：设定制m个传统人物皮影，则定制个动物皮影， 由题意得，， 解得：， ∵m取最大值，且为正整数， ， ∴最多可定制57个传统人物皮影． 3．安徽有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等均产自安徽．某商场计划购进A、B两种茶叶，已知A种茶叶每盒的进价比B种茶叶每盒的进价少20元．若购进A种茶叶6盒，B种茶叶5盒，则共需要1200元． (1)A、B两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ (2)该商场采购了A、B两种茶叶共500盒．若A种茶叶的标价是进价的2倍，每盒B种茶叶按标价出售可获得利润180元．“五一”期间，商场对这两种茶叶进行优惠促销活动：A种茶叶每盒降价40元，B种茶叶打八折出售．将这500盒茶叶卖完后，总利润不低于40000元，求至少需要采购B种茶叶多少盒？ 【答案】(1)A种茶叶每盒的进价为100元，B种茶叶每盒的进价为120元 (2)至少需要采购B种茶叶167盒 【分析】（1）A种茶叶每盒的进价为元，B种茶叶每盒的进价为元，根据题意列出方程组，并求解即可； （2）设采购B种茶叶盒，则购进A种茶叶盒，根据题意列出不等式，解得，结合为整数，求出最小值即可． 【详解】（1）解：设A种茶叶每盒的进价为元，B种茶叶每盒的进价为元，由题意得， ， 解得， 答：A种茶叶每盒的进价为100元，B种茶叶每盒的进价为120元． （2）解：设采购B种茶叶盒，则购进A种茶叶盒， 根据题意，总利润， ， ∵， ∴， 解得， ∵为整数， ∴，即的最小值为． 答：至少需要采购B种茶叶167盒． 【类型八】一元一次不等式的应用一几何问题 1．如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以 的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，连接，，．设点运动时间为． (1)若，则的取值范围是______； (2)求为何值时，平分的面积； (3)求为何值时，． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，三角形中线的性质，数形结合是解答本题的关键． （1）根据当时，点在点的右侧运动可得答案； （2）根据当平分的面积时，点是线段的中点可得答案； （3）分类讨论：点在点左侧和点在点的右侧时，可得关于的一元一次方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：当时，， ， 解得， 故答案为：； （2）解：平分的面积， ， ， ； （3）解：分两种情况讨论： 点在点左侧时，， 则， 解得； 当点在点的右侧时，， 则， 解得， 综上所述，或时，． 2．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)的取值范围为或或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，分点在上运动和点在上运动两种情况，分别列式即可； （3）分点在上，点在上，点在上，三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式即可； （4）分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点运动到点的时间为， 故答案为：； （2）解：∵，为的中点， ∴， ∴点运动到点的时间为， 点运动到点的时间为， ∴当点在上运动时，， 当点在上运动时，， 综上，； （3）解：当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴； （4）解：当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 综上，的取值范围为或或． 3．如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则t的取值范围是 ； (2)当t为何值时，； (3)是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论； （2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 当时，， 故答案为：； （2）解：由题意得：，， 或， ， 或， 解得：或， 即或时，； （3）解：， 点在线段上， ， 和的高相等， ， 即， 解得：， 即当秒时，． 【类型九】一元一次不等式(组)的新定义应用 1．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1)① (2)或 (3) 【分析】（1）求出两个不等式组的解集，根据定义进行判断即可； （2）根据定义得到关于a的不等式组，进而计算可以得解； （3）根据“相容不等式组”的定义求出的取值范围，再根据两个不等式组整数解相同求出的取值范围，取两个取值范围的公共部分即可． 【详解】（1）解：不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相容不等式组”． 故答案为：①． （2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， ∴或． ∴或 （3）解：∵不等式组是的“相容不等式组” ， 解得 的整数解为2，3，4，且和的整数解相同， ∴ ∴ 综上所述： 2．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查新定义，涉及解一元一次方程、解一元一次不等式组等知识，理解新定义的“关联方程”是解决问题的关键． （1）解题中给出的三个一元一次方程及不等式组的解集，根据“关联方程”验证即可得到答案； （2）解一元一次方程得到，解不等式组得到，根据“关联方程”的定义得到求解即可确定答案． 【详解】（1）解：①，解得； ②，解得； ③，解得； ， 解不等式①得； 解不等式②得； 原不等式组的解集为； 、在范围内；不在范围内， 不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②； （2）解：，解得； 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集为； 关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ，解得． 3．定义运算：．已知，． (1)直接写出：______，______； (2)若关于x的不等式组有解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式的解集． 【答案】(1)2；1 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义、解二元一次方程组、求一元一次不等式（组）的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据新定义，列出二元一次方程组，解方程组可求出的值； （2）根据（1）求出的的值和新定义列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出t的取值范围； （3）根据（1）求出的的值和新定义列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系，再根据解一元一次不等式的步骤即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 联立， 解得：， 故答案为：2；1． （2）解：由题意得，，， 则不等式组为， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组有解， ， 解得：． t的取值范围为． （3）解：不等式转化为， 整理得：， 的解集为， ， 解不等式得到， ， ， ， 解得：， 不等式转化为， 整理得：， ， 解得：． 不等式的解集为． 1．（25-26九年级下·吉林长春·月考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， ． 2．（25-26七年级下·山东东营·月考）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：对选项A，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得，故A错误； 对选项B，由得，不等式两边同加，得，故B错误； 对选项C，∵，∴， ∵不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ∴，故C正确； 对选项D，中分母为，当时，式子无意义，故D错误． 3．（25-26七年级下·山东东营·月考）某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可以打（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 【答案】B 【分析】设商品打折，根据题意列出不等式解答即可求解． 【详解】解：设商品打折， 由题意得，， 解得， ∵打折数越小，折扣力度越大， ∴的最小值为， ∴最多可以打折． 4．（25-26七年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式组得到解集，再根据只有3个整数解的条件，得到参数a的取值范围． 【详解】解：， 由①得 由②得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组只有3个整数解， ∴3个整数解为1，0，， ∴． 5．（25-26九年级下·河南郑州·月考）不等式组的最大整数解是________． 【答案】 2 【分析】先分别解出两个一元一次不等式，再确定不等式组的解集，最后找出解集中的最大整数即可． 【详解】解：由，移项得， 由，移项，系数化为得， 不等式组的解集为， 不等式组的最大整数解是． 6．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）根据“x与y的2倍的和是非负数”，列出的不等式为_________． 【答案】 【分析】先表示出y的2倍，再表示x与y的2倍的和，最后根据非负数的定义列出不等式即可． 【详解】解：由题意得：y的2倍为，x与y的2倍的和为，非负数是大于或等于0的数， 所以，． 7．（25-26八年级下·山东枣庄·月考）运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作．若输入后程序操作进行了两次就停止，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于5，第二次运算结果大于5列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 8．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 按照解不等式的基本步骤解答即可． (2) 按照解不等式的基本步骤解答即可． 【详解】（1）解：， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求出非负整数解． 【答案】；图见解析；非负整数解为0或1． 【分析】分别解出不等式①和②，在数轴上表示出来即可求得解集及非负整数解．本题关键是根据一元一次不等式的解法求解不等式，利用数轴即可求出不等式组解集． 【详解】由①得：，则； 将②得：，则； 不等式组的解集为，如图： 它的非负整数解为0或1． 10．（25-26八年级下·山东枣庄·月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1)实数的取值范围为 (2)整数的值为 【分析】（1）将方程组的两个方程相加，可得，结合，可列出关于m的不等式，求解即可； （2）根据不等式的解集为得到，再结合（1）可求出m的取值范围，找出整数m即可解答． 【详解】（1）解： ，得， ∴． ， ， ∴． （2）解：不等式可变形为． ∵的解集为， ， ， 由（1）有， ∴ ∴整数的值为． 1．（25-26七年级下·湖南永州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 移项，得 ． 系数化为1，得 所以解集在数轴上位于表示的点的左侧，且包含这个点． 2．（25-26八年级下·山西太原·期中）某农户投入元种植千克蔬菜，在生长过程中有的蔬菜因病虫害受损无法售卖．若要使总收益比成本至少高，则每千克蔬菜的售价至少为多少元？设每千克蔬菜的售价为元，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意知这批蔬菜可卖元，根据“总收益比成本至少高”即可列出不等式． 【详解】解：设每千克蔬菜的售价为元， 依题意，得：． 3．（25-26七年级下·安徽池州·期中）按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则的值为（   ） A．32 B．33 C．34 D．35 【答案】B 【分析】根据程序图得到关于的一元一次不等式组求解，进而得出、的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得：， 所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n， ，， ． 4．（25-26七年级下·安徽池州·期中）已知实数m，n满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知等式得到与的关系，代入不等式求出和的范围，再计算各选项代数式的范围，判断错误选项即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 将代入不等式得，解得，故A正确； ∵ ，， ∴，不等式两边同加得，即，故B正确； 对于选项C，， ∵， ∴，不等式两边同加得，即，故C正确； 对于选项D，， ∵，不等式两边同乘，不等号方向改变得， 不等式两边同减得，即，与选项D的范围不符，故D错误． 5．（25-26七年级下·河南周口·期中）关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出关于x的方程的解，再根据方程的解是非负数，列出不等式求解a的取值范围即可． 【详解】解：解关于x的方程，得， ∵关于x的方程的解是非负数， ∴， 解得． 6．（25-26七年级下·安徽池州·期中）若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则m的值为______． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同建立等式求解参数． 【详解】解：由题意得， 解得； 解得， 两个不等式的解集相同， 解得． 7．（25-26八年级下·河北保定·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数建立关于的不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 不等式组的解集为， 不等式组有且仅有4个整数解， 不等式组的个整数解为，，0，1， ． 8．（25-26八年级下·福建三明·期中）解不等式（组） (1)． (2)． (3)解不等式组，并写出所有的正整数解． 【答案】(1) (2) (3)；它的正整数解为1，2，3． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解：， ， ， ， ， （3）解：， 由，得， 由，去分母得， 解得； 则不等式组的解集为； 它的正整数解为1，2，3． 9．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）下表中有两种手机通话计费方式：（月使用费固定收取：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费，被叫免费） 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元/分钟） 被叫 方式一 50 150 0.2 免费 方式二 80 350 0.25 免费 (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需 元，按方式二计费需 元； (2)王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为 分钟； (3)当月主叫通话t分钟满足什么条件时，选择方式一比方式二省钱． 【答案】(1)60，80 (2)430 (3)或 【分析】（1）根据“方式一”“方式二”的计费方式，分别求得李明不同通话时间对应的费用即可； （2）设按“方式二”计费时主叫通话时间为t分钟，根据按“方式二”计费列出方程，解方程即可； （3）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次不等式并求解即可得到答案． 【详解】（1）解：李明按方式一计费为：（元）， 按方式二计费为：80元． （2）解：设王华该月主叫通话时间为t分钟， ∵王华某月按方式二计费需100元， ∴根据题意，得， 解得：， ∴王华该月主叫通话时间为430分钟． （3）解：当时，方式一费用为50元，方式二费用为80元， ∴方式一省钱； 当时， ∵方式一计费<方式二计费， ∴， ∴； 当时， ∵方式一计费<方式二计费， ∴， ∴， 综上或时，选择方式一比选择方式二省钱． 10．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一种组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集内点”，当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集外点”． (1)请直接判断下列组合中方程的解是_____（填“集内点”或“集外点”）； (2)若关于x的组合中方程的解是“集内点”，求a的取值范围． 【答案】(1)集外点 (2) 【分析】本题先分别求解组合中的一元一次方程和一元一次不等式，再根据题干中“集内点”“集外点”的定义进行判断或求解参数的取值范围，用到的知识点为一元一次方程和一元一次不等式的求解方法． 【详解】（1）解：解方程， 移项得， 系数化为1得， 解不等式， 移项得， 系数化为1得， 不在的解集内， 方程的解是集外点． （2）解：解方程， 移项得， 系数化为1得， 解不等式， 两边同乘2得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 方程的解是“集内点”， 满足，即， 的取值范围是． 1．（24-25七年级下·山西长治·期末）不等式组的最小整数解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后按照判断不等式组解集的口诀求出不等式组的解集，从而求出其最小整数解即可． 【详解】解：， 由得，解得， 由得，解得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最小整数解为． 2．（25-26七年级下·上海金山·期末）下列不等式的解法中，正确的是（    ） A．，两边同乘，得 B．，两边同乘，得 C．，两边同时除以，得 D．，两边同时除以，得 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：A．，两边同乘，得，故A错误； B．，两边同乘，得，故B错误； C．，两边同时除以2，得，故C错误； D．，两边同时除以，得，故D正确． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先解不等式组得到其解集，再根据整数解的个数确定具体整数解，进而推导m的取值范围即可． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解共有3个， ∴整数解为1、0、， ∴； 故选C 4．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要考查取整函数，利用不等式即可得出为6的倍数，再计算小于100的正整数中6的倍数的个数． 【详解】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ∴， ∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且， ∴n的值为6，12，18，24，......96，共有16个， 故选：D． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）已知不等式，有，则的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据不等式的性质解题即可． 【详解】解：由 和 可知，不等式两边乘以 后不等号方向改变， ∴ ， 解得 ． 故答案为： ． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是求不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法． 先求出不等式组的解集，结合的取值范围找到所有整数解并求积即可． 【详解】解：由可得， ， 不等式组的解为，所有整数解为、、， 故所有整数解的积是． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）关于，的二元一次方程组，则下列四个结论： ①若，则上述方程组的解为； ②若x，y都为正数，则； ③无论k为何值，始终有x+y=4成立； ④若，则的最大值为． 其中正确的结论是______（请填写正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【分析】把代入方程组得关于，的方程组，解方程组求出，的值，然后判断即可； 利用加减消元法解方程组，解方程组求出，，再根据，都为正数，列出关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围，然后判断即可； 利用加减消元法解方程组，解方程组求出，，再求出，进行判断即可； 用加减消元法解方程组，解方程组求出，，再代入，然后根据，求出的最大值，把用表示出来，再求出的最大值，最后判断即可． 【详解】解：当时，方程组为：， 得：， 解得， 把代入得：， 方程组的解为，故的结论正确； ， 得：， 解得， 把代入得：， ，都是正数， ， 由得：， 由得：， 不等式组的解集为：，故的结论正确； ， 得：， 把代入得：， ， 故的结论正确； ， ， ， ， 当时，有最大值， 若，则的最大值为， 故的说法错误； 综上可知：正确的结论是． 8．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）按要求完成下列计算： (1)解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． (2)解不等式组：． 【答案】(1)，数轴上表示见解析，原不等式的正整数解为，，，， (2) 【分析】（1）解一元一次不等式按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1（不等号变向）的步骤求解，再标注数轴并找出正整数解； （2）分别解不等式组中的两个一元一次不等式，按“同小取小”的口诀即可确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 将解集在数轴上表示如图： ∴原不等式的正整数解为，，，，； （2）解：， 解，得， 解，得， ∴原不等式组的解集是． 9．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）某科技公司为开发一款智能助手，需要向云服务商采购两种AI算力资源：图像识别模块（简称模块A）和语言处理模块（简称模块B）． 下面是公司前两年在相同服务商的采购记录，用于建立成本预测模型： 素材1：前两年采购记录 年份 模块A数量（小时） 模块B数量（小时） 总费用（元） 2023 2024 素材2：版本升级说明 2025年起，服务商对模块进行了升级．新版本模块（称为“增强版”）每小时的租用费比旧版高元．为了与历史项目兼容，公司决定： ①当前新项目（项目代号X）使用的为增强版模块； ②已有老项目（项目Y、Z）仍使用旧版模块． (1)分别求出旧版模块A和模块B每小时的租用单价（单位：元） (2)根据老项目Y、Z的预算计划，公司为它们采购旧版模块的总预算为元，且预测模块A使用时间不超过小时，模块B使用时间不超过小时．若实际采购恰好用完全部预算，求模块A和模块B各采购了多少小时？写出符合约束条件的所有解； (3)公司本季度在算力采购上总共花费元．其中，新项目X的“增强版模块A”使用时间，占所有模块（A与B）使用总时长的，且增强版模块A使用时长少于小时．在不列出所有可能的情况下，直接计算出老项目Y、Z使用的“旧版模块B”总时长（小时）为__________． 【答案】(1)旧版模块A单价为元，旧版模块B单价为元； (2)应采购旧版模块A小时、旧版模块B小时或旧版模块A小时、旧版模块B小时； (3)小时． 【分析】（1）根据模块A,B的总费用列方程组即可求解； （2）根据采购旧版模块的总预算为元，模块A使用时间不超过小时，模块B使用时间不超过小时，列不等式组求解即可； （3）设增强版模块A使用小时，旧版模块A使用小时，旧版模块B使用小时，利用采购上总共花费元可列， 把代入可得，利用，且为正整数，列不等式求解即可. 【详解】（1）解：设：旧版模块A单价为元/小时，旧版模块B单价为元/小时 由题意，得 解得 答：旧版模块A单价为元，旧版模块B单价为元； （2）解：设采购旧版模块A小时，旧版模块B小时 由题意，得， 化简，得， ∵，且，均为正整数， ∴，解得， 或 答：应采购旧版模块A小时、旧版模块B小时或旧版模块A小时、旧版模块B小时； （3）解：设增强版模块A使用小时，则所有模块总使用时间小时，旧版模块总使用时间小时 设旧版模块A使用小时，旧版模块B使用小时， ∵， ∴， 增强版A花费：元， 旧版模块花费： 元 总花费： ， 把代入： ， 即 ， ∴， ∵， ∴ 即：， ∵， ∴ 即：， ∵为正整数， ， ∴当 时： ， ， 答：旧版模块B（老项目Y、Z使用）总时长为小时． 故答案为：小时. 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知正整数，，满足，求证：． 证明：，， ______． ． 即． ______，， ______． ． 即． (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)若，则 ______， ______， ______； (3)现有一张边长为的正方形纸片，可画成如图所示的宫格，其中，，则图中阴影部分面积的最小值为______． 【答案】(1)；； (2)；； (3) 【分析】（1）根据，得，进而得，再根据，得，继而得，由此即可得出结论； （2）由（1）的结论得，进而得，根据，，都是正整数，且得，则正整数，将代入，得，整理得，再根据，且，是正整数得，，由此即可得出，的值； （3）依题意得，，为正数，，，图中阴影部分的面积，进而得，则，由（1）的结论得，则，继而得，解此不等式得，由此即可得出图中阴影部分面积的最小值． 【详解】（1）解：证明：，， ， ． 即． ，， ， ， 即； （2）解：由（1）的结论得：， ， ， ，，都是正整数，且， ， 正整数， 将代入，得：， ， ， ， ， ， ，且，是正整数， ，， ，； （3）解：依题意得：，，为正数，，，图中阴影部分的面积， ， ， ， 由（1）的结论得：， 又， ， ， 解此不等式得：， 的最小值为， 图中阴影部分面积的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $