第11章 二次根式-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

**基本信息** 以二次根式概念为起点，通过基础-中等-优质三级题型梯度，构建从定义性质到综合应用的知识网络，渗透运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础类型|8类30+题|聚焦定义、性质、运算基础，如最简根式判断、非负性应用|概念生成→性质推导→基本运算，形成知识闭环| |中等类型|5类15+题|涉及估算、比较大小、数轴化简、实际应用，强调几何直观|从代数运算过渡到数形结合，体现数学思维的严谨性| |优质类型|8类20+题|包含几何最值、新定义、规律探究、海伦公式等，突出创新意识|跨知识整合，培养用数学语言表达现实问题的能力| |考情覆盖|3类30+题|模拟月考/期中/期末真题，覆盖高频考点|对接升学要求，强化应用意识与应试能力|

第11章 二次根式 思维导图 【类型一】(最简)二次根式的定义 1．下列一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式要求被开方数为非负数，逐项判断，即可． 【详解】解：选项A中，，的被开方数为负数，不是二次根式，故本选项不符合题意． 选项B中，当时，的被开方数为负数，不是二次根式，故本选项不符合题意． 选项C中，当时，，的被开方数为负数，不是二次根式，故本选项不符合题意． 选项D中，对任意实数，都有，则，被开方数恒为非负数，一定是二次根式，故本选项符合题意． 2．下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式需满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可. 【详解】解：对于选项A，，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 对于选项B，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式，是最简二次根式； 对于选项D，，被开方数含分母，不是最简二次根式. 3．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有____________个． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义，即被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式是否符合条件即可． 【详解】①：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，为最简二次根式； ②，不是最简二次根式； ③，不是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； ⑤：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因式，故为最简二次根式． 综上，最简二次根式有个． 【类型二】二次根式有、无意义 1．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二次根式有意义，则， 解得：． 2．在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】用二次根式被开方数非负、分式分母不为0的性质列不等式求解． 【详解】要使函数有意义，需同时满足两个条件： 二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不能为0， ∴， 解得：且. 3．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 【类型三】同类二次根式 1．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A、，最简后被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、，是整数，与不是同类二次根式； D、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式． 2．与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，即化为最简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，列方程求解即可． 【详解】解：∵，且与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 3．若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【答案】 【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 【类型四】二次根式的非负性 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．若都是实数，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件求出、的值，再把、的值代入求出结果． 【详解】解：， ， ， ， ． 3．已知实数x，y满足，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及立方的计算． 【详解】解：要使和有意义，需满足： 解不等式组得， ， ． 【类型五】二次根式的乘除运算 1．化简： 【答案】 【详解】 解 ∵， ∴原式 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算及二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式乘除法的运算法则．将系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后将结果化为最简二次根式． 【详解】解：原式， ， ， ， ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式乘法法则，将被开方数相乘，再化简结果为最简二次根式． （2）类比单项式乘单项式法则，系数相乘、被开方数相乘，再化简结果． （3）运用二次根式除法法则，被开方数相除，再进行分母有理化化简． （4）遵循二次根式乘除混合运算顺序，从左至右计算，被开方数依次乘除后化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【类型六】二次根式的加减运算 1．计算： (1)； (2)（）． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查二次根式的运算： （1）先化简二次根式到最简，再合并同类二次根式求解即可得到答案； （2）先化简二次根式到最简，再合并同类二次根式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【类型七】二次根式的混合运算 1．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则计算乘法，再将二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． （2）先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式计算，最后合并结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用二次根式的乘除运算法则化简，再合并同类项得到结果，用到二次根式的基本性质，，． 【详解】（1）解： （2）解： 【类型八】化简求值 1．已知，求下列代数式的值． (1)_______，_______； (2)． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ， （2）解：∵，， ∴ ． 2．已知，，求下列各式的值： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式将原式转化为，进而将已知数据代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 3．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方式，二次根式的性质，因式分解，整体代入的思想方法，准确利用整体代入的思想方法解答是解题的关键； 将代数式适当变形后利用整体代入的方法解答即可； 利用完全平方式的特征与整体代入的方法解答即可； 利用二次根式的性质和整体代入的方法解答即可； 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：，， ，， ， 由知：， 则， 原式； 【类型一】估算二次根式 1．估算的值在（   ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间 【答案】B 【分析】先根据二次根式的乘法法则化简原式的前半部分，再通过夹逼法估算无理数的大小，即可得到原式的取值范围. 【详解】解：， ∴原式 又∵ ∴，即 ∴，即原式的值在与之间. 2．估算的值在（） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 【答案】C 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算的取值范围，即可得到原式的范围． 【详解】解：∵， 又∵，，且， ∴ ， ∴ ， 即原式的值在和之间． 故选：C． 3．若估算的值在整数n和之间，则n=______． 【答案】4 【分析】本题考查估算无理数的大小．先化简，然后用平方法估算的大小即可． 【详解】解：， 又 即， ， 又的值在整数n和（n＋1）之间， ． 故答案为：4． 【类型二】二次根式取整求最值 1．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．18 【答案】B 【分析】根据二次根式为整数的条件，即被开方数为完全平方数，即可求出最小正整数． 【详解】解：，且是整数，n是正整数． 是整数，即为完全平方数． 当取最小正整数时，，此时． 因此的最小值为． 2．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 3．若m为正整数，且满足，则________． 【答案】10 【分析】先利用不等式的性质得到的取值范围，再估算出的取值范围，结合为正整数即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ， ， 为正整数，且满足， ． 【类型三】二次根式比较大小 1．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 2．比较大小：________（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】将两数分别平方后，比较平方结果的大小，平方大的原数更大，据此计算即可解答． 【详解】∵，， 且 ， ， ∵， ∴， ∴． 3．阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ； ② (2)计算： ； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 【答案】(1)①；② (2)2025 (3)，见解析 【分析】（1）①将分子分母同乘以化简即可；②将分子分母同乘以化简即可； （2）利用二次根式分母有理化的计算法则将括号内化简，再算乘法； （3）通过比较，的倒数，然后进行，的大小比较． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴， ∵， ∴． 【类型四】二次根式的数轴化简 1．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（ ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【详解】， ，， 原式 ． 2．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么化简______． 【答案】 【分析】先由图得，则，，再根据绝对值和算术平方根的性质化简即可求解． 【详解】解：由图可知，， ∴，， ∴． 故答案为：． 3．在七上第二章我们学习了数轴，我们知道数轴的三要素是：原点，正方向及单位长度． (1)在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为“”的线段作一个正方形，然后以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点”，根据图形回答： ①点表示的数是______； ②这个图形的目的是为了说明______； ③这种研究和解决问题的方式体现了______的数学思想方法． A．数形结合   B．代入   C．换元   D．归纳 (2)已知实数，，所对应的点在数轴上的位置如图所示请化简：． 【答案】(1)①；②无理数可以用数轴上的点来表示；③ (2) 【分析】（1）①计算的长，即可得出点表示的数；这个图形的目的是为了说明：无理数可以用数轴上的点来表示；研究文通的方式体现了数形结合的数学思想； （2）根据绝对值的性质和二次根式的性质即可化简． 【详解】（1）解：①由题意可知，， 点表示的数是， 故答案为：； 这个图形的目的是为了说明：无理数可以用数轴上的点来表示， 故答案为：无理数可以用数轴上的点来表示； 种研究和解决问题的方式体现了数形结合的数学思想方法， 故选：； （2）解：根据题意可知，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，二次根式与绝对值的性质等知识，熟练掌握各知识是解题的关键． 【类型五】二次根式的实际应用 1．有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】(1) (2)木工乙的想法可行，理由见解析 【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可； （2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为， ∴，， ∴长方形木板的面积为； （2）解：木工乙的想法可行，理由如下： ∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， ∴裁出的长方形的长为， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行． 2．如图，木工师傅从一块大正方形木板上裁去面积分别为和的两块小正方形木料． (1)裁去的两块小正方形木料的边长分别为______cm和______cm； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积． 【答案】(1)， (2)剩余木料（阴影部分）的面积为 【分析】（1）根据正方形的面积公式和算术平方根的意义求解即可； （2）根据求出的两块小正方形木料的边长列式计算即可． 【详解】（1）解：∵裁去的两块小正方形木料的面积分别为和， ∴裁去的两块小正方形木料的边长分别为，； （2）由（1）知裁去的两块小正方形木料的边长分别为，， ∴剩余木料（阴影部分）的面积为：． 3．如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)4680元 【分析】（1）根据题意利用长方形周长公式列式计算即可； （2）先计算出种植蔬菜部分的面积，再求出销售收入即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形空地的周长为 ∴长方形空地的周长为． （2）解：由题意得，蔬菜地的面积为， ∴销售收入（元）， ∴销售收入为4680元． 【类型一】二次根式的几何最值 1．如图，在四边形中，，，，，，点P在直线上方，且的面积为4，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】先推导出点P在平行于且与的距离为1的直线上运动，过P作直线交于，过点D作于，根据垂线段最短，结合含30度角的直角三角形的性质和矩形的性质可判断选项A、B；在上取点，使 ，则点B与点关于直线l对称，根据轴对称性质结合勾股定理判断选项C、D，进而可得答案． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴，则点P在平行于且与的距离为1的直线上运动， 如图，过P作直线交于，过点D作于， 则， 当时，最小，最小值为，故选项A正确，不符合题意； 当时，最小，最小值为的长， 过D作延长线于K，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴，即的最小值为，故选项B正确，不符合题意； 在上取点，使 ，则点B与点关于直线l对称，连接交直线l于点，此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为，故选项D正确，不符合题意； 连接并延长交直线l于点，此时最大，最大值为的长， ∵，， ∴， ∴的最大值为，故选项C错误，符合题意． 2．已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值．特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为________． 【答案】 【分析】根据等高三角形面积比等于底边比，推导出对角线分成的四个三角形中，相对两个三角形面积的乘积相等，最后利用题干给出的不等式性质求解． 【详解】解：设，， 与等高，与等高， ，， ， ， ，， ， 四边形的面积， 由题干结论可知，当，为非负实数时，， ， ， 即四边形的面积的最小值为． 3．【操作发现】由，得；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则出，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： 【问题解决】（1）已知，当 时，代数式的最小值为 ； 【灵活运用】（2）当时，求的最小值； 【拓展创新】（3）如图，四边形的对角线，相交于点O，，的面积分别是5和10，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）3，6；（2）4；（3） 【分析】本题考查了不等式的应用，二次根式的运算，特别是利用不等式来求代数式的最小值，涉及基本的不等式推导和应用．解题的关键是通过适当的变量代换，利用该不等式的条件在合适的情况下求得最小值，并且在特定条件下求得代数式的最优解． （1）令，根据不等式代入计算，得到．当且仅当时，等号成立，所以最小值为6． （2）设，利用不等式得到．当且仅当时，最小值为4，解得． （3）设的面积为x，根据面积比值关系．从面积关系中得出，计算四边形的面积并利用不等式得到最小值，当时，等号成立． 【详解】解：（1）已知，根据材料中不等式（，当且仅当时取等号），令，则． 当且仅当时，等号成立，解得（舍去）； ∴当时，代数式的最小值为6． 故答案为：3，6． （2）当时，， ∵， ∴令，，则由，得 ， 当且仅当时，中的等号成立，解得或（舍）， 即时，式子有最小值，最小值为4； （3）设，由，的面积分别是5和10， 根据等高三角形可知，， 即，整理，得， ∴四边形面积为， 当且仅当，即时取等号， 则四边形面积的最小值为． 【类型二】二次根式的数形结合最值 1．代数式的最小值是（    ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，二次根式的性质，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． 首先得到，如图所示，作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则，说明的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，利用矩形和直角三角形的性质可求得的值即可． 【详解】解：∵ ∴如图所示，作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则， ∴在和中，根据勾股定理可得： ，， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当点，，三点共线时，最小，即的最小值为的长， ∴的最小值为的长， 过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：C． 2．已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小师想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．则、长分别表示为，．最后利用几何知识可得代数式的最小值为，根据以上材料，可求代数式的最小值为______． 【答案】 【分析】构造如下：设，，，，则，过点D作，交的延长线于点H，结合题目方法解得即可．本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，三角形不等式求最值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，设，，，，则， 则， 根据， 当三点共线时，取得最小值， 过点D作，交的延长线于点H， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ． 3．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图1，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图2，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图3，若一条东西方向的笔直公路，其长为，在点正北方处有一村庄．在点的正北方处有一村庄，计划在上建一快递站，使得快递站到村庄、村庄的距离和最小． (1)在图3中，若，请用含的代数式表示：______ (2)小东利用【几何模型】求出了快递站到两村庄距离之和的最小值为______，此时快递站建在距点______处． (3)【拓展应用】①求当______时，代数式有最小值，最小值为______． ②已知，求的最小值 【答案】(1) (2)， (3)①，；② 【分析】（1）分别用勾股定理求出的长，求和即可； （2）作关于的对称点，连接，作，勾股定理求出的长，等积法求出的值，即可； （3）①同（2）法进行求解即可；②构造直角三角形，利用数形结合的思想进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：作关于的对称点，连接交于点，作，如图： 则，， ∴，当与点重合时，最小为的长， ∴， ∴快递站到两村庄距离之和的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时快递站建在距点处； （3）解：①如图，，，，，则， ∴， 作关于的对称点，连接交于点，作， 则，， ∴，当在线段上时，最小为的长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最小值为； ②如图，，， 则， ∴， ∴当四点共线时，的值最小为的长， 作，则，， ∴，即的最小值为. 【类型三】二次根式的新定义运算 1．对于任意的正数x、y定义运算为：，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先计算，，再计算即可 【详解】解：∵ ∴ 故选：B 2．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算_______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义的二次根式运算． 直接根据新定义计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．对于实数m，n，定义表示m，n两个数中的较小值，例如，． (1)填空：________． (2)已知，，且a和b为两个连续的正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式比较大小的方法可得，再根据定义可得答案； （2）根据定义可得，可估算出，则，据此代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∵a和b为两个连续的正整数， ∴， ∴． 【类型四】二次根式的规律 1．观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式规律探究，分式的乘法与加减混合运算观察各等式左边为带分数的平方根，右边为整数乘以分数部分的平方根．通过分析整数部分、分子、分母与n的关系，确定通式． 【详解】解：观察左边结构：每个等式左边为，其中整数部分为，分数部分分子为，分母为．例如： 当时，； 当时，． 验证右边结构：右边为，展开后与左边相等． 例如：当时，； 当时，． 则， 故选：A 2．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第11行从左向右数第10个数是______． 【答案】 【分析】观察数阵中每个平方根下数字的规律特征，依据规律推断所求数字． 【详解】观察可知，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的平方根，而每一行的个数依次为2、4、6、8、10… ∴第10行最后一个数是， ∴第11行倒数第10个数是． 【点睛】本题考查观察与归纳，要善于发现数列的规律性特征． 3．【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3）原式 【类型五】秦九韶一海伦公式 1．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C．28 D．32 【答案】A 【分析】 先根据三边长求出的值，再代入海伦—秦九韶公式计算三角形面积即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴的面积. 2．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查根式求值，根据题中所给公式，代入三角形的三边长度直接计算即可． 【详解】解：， ∴的面积 ， 故答案为：． 3．综合与实践 【阅读材料】小明在学习了二次根式的运算之后，对教材第16页阅读与思考的“海伦－秦九韶公式”进行了探究．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，古希腊几何学家海伦给出了这个三角形的面积公式为 （S表示三角形的面积，p表示三角形周长的一半），我国南宋数学家秦九韶给出的面积公式为，小明通过对秦九韶给出的公式进行变形可以得到海伦给出的公式，说明这两个公式实质上是同一个公式． 根据上面信息，解答以下问题： 【学以致用】（1）一个三角形的三边长分别为，，． ①请利用海伦给出的公式，计算p和S的值； ②请利用秦九韶给出的公式求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）如图，在中，是高，若，，，求的长及的面积． 【答案】（1）①，；②24；（2）， 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，理解定义，正确化简二次根式是解题关键． （1）直接利用已知公式求出p的值，进而代入海伦的三角形面积公式中得出答案；②直接利用秦九韶给出的公式代入求值即可． （2）因为三角形的三边长都是整数，所以代入海伦公式求出求p和S，然后根据面积求出三角形的高，根据勾股定理求出，再利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：（1）①因为，，， 所以．     所以 =     ．     ②           ．     （2），，， 所以．     所以．     ∵， ∴．     ∴． ∴ ． 【类型六】整数部分与小数部分 1．阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)已知是是整数部分，是的小数部分，求的值 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，与无理数有关的整数部分的运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，即的整数部分为，小数部分为； （2）模仿题干过程，得，即，结合是的小数部分，则，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，∵， ∴， 则的整数部分为，小数部分为； （2）解：依题意，∵， ∴， ∴， 即， ∵是是整数部分， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 即． 2．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)2， (2)4 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的取值范围是解题的关键． （1）先求出的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）先求出的取值范围，进而确定的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2，小数部分是． （2）解：， ，即， 的整数部分是， 小数部分是． ． 3．阅读材料，解决问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个实数的最大整数，这个实数的小数部分是这个实数与它的整数部分差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为0.4，的整数部分为1，小数部分为，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到：如果，其中是整数，且，那么，．请解答： (1)的整数部分为______，小数部分为______； (2)如果，其中是整数，且，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减法、相反数，解题的关键是确定无理数的整数部分． （1）估算出，即可确定整数部分为，根据定义，即可求出小数部分为； （2）估算出，即可得出，即可确定和的值，再代入计算即可； （3）估算出，即可得出，即可确定和的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即的整数部分为， 则小数部分为； 故答案为：，． （2）解：， ， ， ，， ． （3）解：， ， ． ，其中是整数，且， ，， ， 的相反数为． 【类型七】分母有理化 1．阅读材料，并计算． 【材料一】我们规定：如果两个含有二次根式的式子的积中不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 【材料二】我们在进行二次根式的化简时，需要把分母中的二次根式进行有理化，此时，需要将分子和分母同时乘上分母的有理化因式，从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化． 如：． 请利用分母有理化的知识，化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质、平方差公式，将分母有理化即可； （2）根据二次根式的性质、平方差公式，将分母有理化即可． 【详解】（1） ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ． 2．阅读下面问题： ；；，……．试求： (1)的值； (2)（为正整数）的值． (3)根据你发现的规律，请计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法进行求解即可； （2）根据分母有理化的方法进行求解即可； （3）利用分母有理化进行运算，从而可求解； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 3．材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：， 观察上面的解题过程，并解答下列问题： (1)____，的倒数是____． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化化简即可解答； （2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可； （3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 的倒数是； （2）解：∵， ∴， 即的整数部分为2， ∴． 当时，； （3）解：原式 ． 【类型八】复合二次根式化简 1．综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将7转化为，进行求解即可； （2）将其转化为完全平方的形式，再化简即可； （3）根据，得到，，结合a，b，m，n均为正整数，m，n满足，求出a，b的值即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ； （3）解：由 可知：，    ，b，m，n均为正整数，为无理数， ，     由可得：， ，        ， ， 正整数a，b可取或， 又∵b，m，n均为正整数，为无理数， ， ． 3．小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 或 【分析】（1）根据题意，得解答即可． （2）根据所学方法求解即可； （3）利用完全平方公式，等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 且，故，． （2）解：根据题意，得 ， 故； （3）解：， ， 或， 或， 故或． 1．（25-26八年级下·陕西延安·月考）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故A选项错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，无法直接合并，故，B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项正确，符合题意． 2．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）估计的值应在（   ） A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】先利用乘法分配律化简原式，再通过比较平方数估算无理数的大小，即可得到结果的范围． 【详解】解：先化简原式： ， ∵ ， ∴ 不等式同乘2得 不等式同减1得 ∴ 原式的值在和之间． 3．（25-26八年级下·天津和平·月考）若实数在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图得出，根据二次根式性质化简，再化简绝对值，最后合并即可. 【详解】解：由数轴可知 ， ，， 原式 . 4．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在中，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】过点作于点，证明得到，再由三角形面积公式即可判断①；确定点在直线上运动，延长至点，使得，交直线于点，连接，则点为点关于直线上的对称点，那么，则，当点三点共线时，取得最小值为，在中，求出，即可判断②；由于点在直线上运动，则，故的最小值为4，即可判断③． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故①正确； 由上知， ∴点到直线的距离为2， ∴点在直线（直线l在直线下方，，且直线l到直线的距离为2）上运动， 如图所示，延长至点，交直线于点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴点为点关于直线上的对称点， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为，②错误； ∵点在直线上运动， ∴， ∴的最小值为4，故③正确， ∴正确的为①③， 5．（25-26八年级下·陕西延安·月考）若二次根式在实数范围内有意义，则的值可以是__________．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【详解】解：由题意得 ， 解得 ， 的值可以是． 6．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】11 【分析】根据同类二次根式的定义，最简二次根式为同类二次根式时被开方数相等，据此列方程求解，同时验证二次根式有意义即可得到结果． 【详解】解：因为最简二次根式与是同类二次根式， 所以根据同类二次根式的定义，得， 移项，得， 计算得， 当时，，二次根式有意义． 7．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）已知，化简 _____________ ． 【答案】 【详解】解：，有意义， ， ， ． 8．（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据进行计算即可求解； （2）根据进行计算即可求解； （3）根据进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 9．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）已知 ，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算出， 再利用完全平方公式得到，进而即可得解； （2）由（1）知，再算出，将原式变形为，然后整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：由（1）知 ， ∵， ． 10．（25-26八年级下·云南玉溪·月考）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： (1)请用上面的方法一或者方法二化简；； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】（1）根据材料中的方法一、方法二求解即可； （2）先利用方法一化简，然后合并同类二次根式即可； （3）先化简a，然后将化为，然后将a的值代入求值即可． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：． （2）解： ． （3）解：， 所以， ． 1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式需满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：对选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式，不符合题意； 对选项B：，被开方数含有分母，∴不是最简二次根式，不符合题意； 对选项C：的被开方数，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴是最简二次根式，符合题意； 对选项D：，被开方数含有分母，∴不是最简二次根式，不符合题意． 2．（25-26八年级下·四川泸州·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用完全平方公式可得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，平行四边形的周长为12，对角线，相交于点O，点E在上，．，，则长度为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据且可得为等腰直角三角形，求出，求出；设，利用含角的直角三角形性质及等腰直角三角形性质表示出，结合周长列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵ ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ， ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，绕点摆动到的位置，取的中点，连接、，求绕点摆动的过程中，下列结论正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】首先根据勾股定理求出的长，进而得到和的长，判断选项 A；取的中点，连接，，证明，可得，从而将求的最小值转化为求的最小值，根据两点之间线段最短可知当三点共线时和最小，最小值为的长，进而判断选项 C、D；根据，利用当三点共线且在延长线上时，取得最小值，进而判断B． 【详解】解：在 中，，，， ， 绕点摆动到， ， 为的中点， ，故选项 A 错误； 如图，取的中点，连接，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时和最小，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为，故选项C错误，选项D正确； ∵， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∵当三点共线且在延长线上时，取得最小值，此时点与点重合，即此时， ∴的最小值为，故选项B错误． 5．（25-26八年级下·北京·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据条件列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义． ． 移项得． 不等式两边同除以，不等号方向改变，得． 6．（25-26八年级下·北京·期中）一个面积为的三角形，若其底边长为，则该底边上的高为_________． 【答案】 【分析】根据三角形面积公式推导出底边上高的计算式，代入已知的面积和底边长，利用二次根式的除法运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：设该底边上的高为， 整理计算得： 7．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，， ，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，证明为等腰直角三角形即可推出结果． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 8．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据二次根式加减运算法则进行计算即可． （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】先对括号内进行通分后，对分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法后，约分化简，最后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 ． 10．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读下列解题过程： ， ， ． … 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_______； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； (3)利用上面的规律，请计算的值． 【答案】(1)29 (2) (3)2026 【分析】（1）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （2）用n表示连续的整数，利用完全平方公式，求解即可； （3）根据规律，直接求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得 ； （3）解：根据题意， 故 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：输入， 第一步运算：， ， ， 选择“是”的分支进行运算， 输出值为： ． 2．（25-26七年级上·山东威海·期末）若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 【答案】B 【分析】把189分解成平方数与另一个因数相乘的形式即可解答． 【详解】解：， ∵是整数，且n是正整数， ∴正整数的最小值是21． 3．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【答案】B 【分析】先求出a，b的所有可能取值，再根据条件筛选出符合要求的取值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去， ∵时，和都满足， 当时，， 当时，， ∴的值为2或10． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质和勾股定理．根据题意判断出为的平分线是解题关键．过点F作于Q．由勾股定理可求出．根据题意可判定为的平分线，又可得出，从而可得出，，进而可求出．设，则，在中，根据勾股定理可列出关于x的等式，求出x，即得出的长，再利用勾股定理可求出的长，从而可求出的长． 【详解】解：如图，过点F作于Q． ∵在矩形中，，， ∴． 根据题意可知为的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 设，则． ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简______． 【答案】a 【分析】由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 6．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】证明出是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，然后求出矩形的面积，得到，证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 7．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，等腰，，，点为边上一点，，点为边上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最小值为______． 【答案】 【分析】如图所示，过点作的垂线交于点，连接并延长，根据等腰三角形的性质可判定可得点在过点与垂直的射线上运动，作点关于的对称点，连接与射线交于点，根据两点之间线段最短可得，当点与点重合时，的值最小，过点作的垂线，交于点，根据题意可求出，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作的垂线交于点，连接并延长， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在过点与垂直的射线上运动， 作点关于的对称点，连接与射线交于点， ∴，则， 根据两点之间线段最短可得，当点与点重合时，的值最小，即， 过点作的垂线，交于点，则是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵点关于的对称点为， ∴，则， ∵，且， ∴在中，， ∴. 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短路径，两点之间线段最短，动点与轨迹，勾股定理的综合运用，掌握点的运动轨迹，构造轴对称最短路径的方法是解题的关键． 8．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，是一块正方形场地，小华和小芳在边上取定了一点E，测量知，，求这块场地的边长． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理得， ． 9．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知，． (1)求和的值； (2)求的值； (3)若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）把，代入和，分别求解即可； （2）把变形为，把（1）中数据代入求解即可； （3）先根据求出的小数部分是，的整数部分是，得出、的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ． （2）解：． （3）解：∵， ∴，， ∴的小数部分是，的整数部分是， ∵的小数部分是，的整数部分是， ∴，， ∴． 10．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 二次根式 思维导图 【类型一】(最简)二次根式的定义 1．下列一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有____________个． 【类型二】二次根式有、无意义 1．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【类型三】同类二次根式 1．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．7 3．若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【类型四】二次根式的非负性 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若都是实数，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知实数x，y满足，则的值是______． 【类型五】二次根式的乘除运算 1．化简： 2．计算：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【类型六】二次根式的加减运算 1．计算： (1)； (2)（）． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)． 【类型七】二次根式的混合运算 1．计算： (1)． (2) 2．计算： (1) (2) 3．计算： (1) (2) 【类型八】化简求值 1．已知，求下列代数式的值． (1)_______，_______； (2)． 2．已知，，求下列各式的值： (1) (2)． 3．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【类型一】估算二次根式 1．估算的值在（   ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间 2．估算的值在（） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 3．若估算的值在整数n和之间，则n=______． 【类型二】二次根式取整求最值 1．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．18 2．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 3．若m为正整数，且满足，则________． 【类型三】二次根式比较大小 1．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小：________（填“”“”或“”） 3．阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ； ② (2)计算： ； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 【类型四】二次根式的数轴化简 1．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（ ） A． B．1 C． D．3 2．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么化简______． 3．在七上第二章我们学习了数轴，我们知道数轴的三要素是：原点，正方向及单位长度． (1)在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为“”的线段作一个正方形，然后以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点”，根据图形回答： ①点表示的数是______； ②这个图形的目的是为了说明______； ③这种研究和解决问题的方式体现了______的数学思想方法． A．数形结合   B．代入   C．换元   D．归纳 (2)已知实数，，所对应的点在数轴上的位置如图所示请化简：． 【类型五】二次根式的实际应用 1．有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 2．如图，木工师傅从一块大正方形木板上裁去面积分别为和的两块小正方形木料． (1)裁去的两块小正方形木料的边长分别为______cm和______cm； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积． 3．如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【类型一】二次根式的几何最值 1．如图，在四边形中，，，，，，点P在直线上方，且的面积为4，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 2．已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值．特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为________． 3．【操作发现】由，得；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则出，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： 【问题解决】（1）已知，当 时，代数式的最小值为 ； 【灵活运用】（2）当时，求的最小值； 【拓展创新】（3）如图，四边形的对角线，相交于点O，，的面积分别是5和10，求四边形面积的最小值． 【类型二】二次根式的数形结合最值 1．代数式的最小值是（    ） A． B． C． D．10 2．已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小师想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．则、长分别表示为，．最后利用几何知识可得代数式的最小值为，根据以上材料，可求代数式的最小值为______． 3．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图1，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图2，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图3，若一条东西方向的笔直公路，其长为，在点正北方处有一村庄．在点的正北方处有一村庄，计划在上建一快递站，使得快递站到村庄、村庄的距离和最小． (1)在图3中，若，请用含的代数式表示：______ (2)小东利用【几何模型】求出了快递站到两村庄距离之和的最小值为______，此时快递站建在距点______处． (3)【拓展应用】①求当______时，代数式有最小值，最小值为______． ②已知，求的最小值 【类型三】二次根式的新定义运算 1．对于任意的正数x、y定义运算为：，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算_______． 3．对于实数m，n，定义表示m，n两个数中的较小值，例如，． (1)填空：________． (2)已知，，且a和b为两个连续的正整数，求的值． 【类型四】二次根式的规律 1．观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 2．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第11行从左向右数第10个数是______． 3．【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【类型五】秦九韶一海伦公式 1．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C．28 D．32 2．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为______． 3．综合与实践 【阅读材料】小明在学习了二次根式的运算之后，对教材第16页阅读与思考的“海伦－秦九韶公式”进行了探究．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，古希腊几何学家海伦给出了这个三角形的面积公式为 （S表示三角形的面积，p表示三角形周长的一半），我国南宋数学家秦九韶给出的面积公式为，小明通过对秦九韶给出的公式进行变形可以得到海伦给出的公式，说明这两个公式实质上是同一个公式． 根据上面信息，解答以下问题： 【学以致用】（1）一个三角形的三边长分别为，，． ①请利用海伦给出的公式，计算p和S的值； ②请利用秦九韶给出的公式求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）如图，在中，是高，若，，，求的长及的面积． 【类型六】整数部分与小数部分 1．阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)已知是是整数部分，是的小数部分，求的值 2．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 3．阅读材料，解决问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个实数的最大整数，这个实数的小数部分是这个实数与它的整数部分差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为0.4，的整数部分为1，小数部分为，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到：如果，其中是整数，且，那么，．请解答： (1)的整数部分为______，小数部分为______； (2)如果，其中是整数，且，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【类型七】分母有理化 1．阅读材料，并计算． 【材料一】我们规定：如果两个含有二次根式的式子的积中不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 【材料二】我们在进行二次根式的化简时，需要把分母中的二次根式进行有理化，此时，需要将分子和分母同时乘上分母的有理化因式，从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化． 如：． 请利用分母有理化的知识，化简： (1)； (2)． 2．阅读下面问题： ；；，……．试求： (1)的值； (2)（为正整数）的值． (3)根据你发现的规律，请计算：． 3．材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：， 观察上面的解题过程，并解答下列问题： (1)____，的倒数是____． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用上面的解法，请化简：． 【类型八】复合二次根式化简 1．综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 2．小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 3．小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 1．（25-26八年级下·陕西延安·月考）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）估计的值应在（   ） A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间 3．（25-26八年级下·天津和平·月考）若实数在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在中，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（25-26八年级下·陕西延安·月考）若二次根式在实数范围内有意义，则的值可以是__________．（写出一个即可） 6．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 7．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）已知，化简 _____________ ． 8．（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）化简： (1)； (2)； (3)． 9．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）已知 ，，求下列各式的值： (1)； (2)． 10．（25-26八年级下·云南玉溪·月考）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： (1)请用上面的方法一或者方法二化简；； (2)化简； (3)若，求的值． 1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川泸州·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，平行四边形的周长为12，对角线，相交于点O，点E在上，．，，则长度为（    ）    A． B． C．2 D．3 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，绕点摆动到的位置，取的中点，连接、，求绕点摆动的过程中，下列结论正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 5．（25-26八年级下·北京·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 6．（25-26八年级下·北京·期中）一个面积为的三角形，若其底边长为，则该底边上的高为_________． 7．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，， ，若，，则的长为______． 8．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）计算： (1)； (2)． 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求代数式的值，其中． 10．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读下列解题过程： ， ， ． … 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_______； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； (3)利用上面的规律，请计算的值． 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 2．（25-26七年级上·山东威海·期末）若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 3．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简______． 6．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 7．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，等腰，，，点为边上一点，，点为边上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最小值为______． 8．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，是一块正方形场地，小华和小芳在边上取定了一点E，测量知，，求这块场地的边长． 9．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知，． (1)求和的值； (2)求的值； (3)若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 10．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $