精品解析：上海师范大学附属中学闵行分校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

上师火附中闵行分校 2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：丁奇峰 审题人：王进考生 注意： 1.试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答不得分. 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 抛物线的焦点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以该抛物线的焦点坐标为，即焦点的坐标为. 2. 直线与直线平行，则_________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据给定条件，确定二直线的纵截距不等，由斜率相等列式求出a值作答. 【详解】显然直线与直线的纵截距分别为， 因此这二直线平行，当且仅当，解得， 所以. 故答案为： 3. 已知是定义在上的可导函数，若，则_________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的定义写出答案即可. 【详解】由导数定义知：. 故答案为：1 4. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】，则，解得， 则，则. 5. 若直线与圆相交，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系的判断方法，计算即得. 【详解】依题意，由圆的圆心到直线的距离， 解得，. 故答案为：. 6. 经过点，且与圆相切于原点的圆的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知圆心坐标及切点确定圆心在直线，又由圆过两点得圆心在直线上，从而得出圆心坐标和半径，得圆标准方程． 【详解】由题意已知圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所求圆与圆切于原点，则圆心在直线上，设圆心为， 又圆过点及原点，所以圆心在直线上，即，， 所以圆方程为． 故答案为：． 7. 若双曲线C的一条渐近线经过点，且焦点到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分焦点在轴与焦点在轴分别讨论，结合双曲线的渐近线方程，代入计算即可得到结果. 【详解】双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为（，），∴该双曲线的渐近线方程为，又∵一条渐近线经过点，∴，得．由焦点到该渐近线的距离为2，可得，得，则双曲线的方程为； 当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为（，），∴该双曲线的渐近线方程为，又∵一条渐近线经过点，∴，得，由焦点到该渐近线的距离为2，可得，得，则双曲线的方程为． 故答案为:或． 8. 设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设函数与直线平行的切线为，利用导数的几何意义得出切点，再由距离公式得出的最小值. 【详解】设函数与直线平行的切线为，则的斜率为， 由，得，所以切点为， 则点到直线的距离就是的最小值，即. 故答案为：. 9. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】求导函数，确定函数的单调性和极值点，利用函数在区间上有极值点，即可求实数的取值范围． 【详解】函数的定义域为R，且． 当时，恒成立，故在R上单调递增，从而没有极大值，也没有极小值． 当时，令，得， 解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 从而时有极小值，函数没有极大值． 依题意有，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：． 10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，且的最小值为，则到抛物线的准线的距离为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，根据已知条件列方程组，由此求得进而求得正确答案. 【详解】设直线的方程为， 由消去并化简得， ， 则①， ， 当时等号成立，所以②， 由①②解得或， 所以到抛物线的准线的距离为或. 故答案为：或 11. 如图，小明同学听到外面有小狗的叫声，于是放下作业跑到窗台PQ：（）寻找小狗．已知矩形EFGH与曲边图形STB为视线遮挡物，其中线段EF：（），曲线SB：（）．小狗沿线段CB：（）以每秒1米的速度从C跑到B，则小明能看到小狗的最长时间为________秒．（精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别作直线,切线，求出的值即可得解. 【详解】如图，连接并延长交于点，过作于抛物线相切交于点， 由题意，， 则由可得，， 设直线， 则由可得， 则，解得或 即直线或， 当时，由可得切点纵坐标为，符合题意， 当时，由可得切点纵坐标，不符合题意， 故所求切线方程为，令，可得， 故， 所以（秒）. 故答案为： 12. 现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如图），其杯口内径为，深，现将一半径为的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，问题转化为杯壁任一点到小球球心的距离最小值在杯底处取到.建立直角坐标系设半椭圆上任一点，球心，将最值转化为函数最值研究即可. 【详解】以杯口内径为短轴，杯深为长半轴，建立如图所示的直角坐标系， 故可设半椭圆轴截面方程为， 设小球球心为，为半椭圆上任一点， 则，其中， 设， 则函数图象的对称轴为，当时， 即当时，函数在单调递增， 则当时，取最小值，此时小球放入玻璃杯中，小球可以接触杯底 且； 当时，，则函数在单调递减， 即最小值必不在处取到，故此时小球放入玻璃杯中，小球不接触杯底. 综上所述，小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则半径的取值范围为. 故答案为：. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆焦点所在的轴联立不等式，即可求解. 【详解】由题意得，解得. 14. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以， 又因为切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C 15. 已知点集分别表示曲线，其中实数满足，则的公共点的个数可能为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据对称性分析可知：曲线的公共点的个数不可能为奇数，再说明若曲线在坐标轴上有交点，则交点也为4个，不会出现2个，并举例说明4个交点的可能. 【详解】对于， 用替换可得：， 即，方程不变，可知曲线关于y轴对称； 用替换可得：， 即，方程不变，可知曲线关于x轴对称； 综上所述：曲线关于x、y轴对称； 同理可知：曲线关于x、y轴对称； 且，可知原点不为公共点， 结合对称性可知：曲线的公共点的个数不可能为奇数，故AC错误； 根据对称性：不妨假设， 若曲线在第一象限内有交点，根据对称性可知：每个象限内均有交点，即交点个数为4的倍数； 若曲线在坐标轴上有交点，不妨设为曲线的公共点， 则，解得， 此时曲线，曲线， 显然也为曲线的公共点， 结合对称性可知：此时至少有4个公共点，即曲线不可能有2个交点，故B错误； 例如， 则曲线，曲线， 令，则，解得， 即，解得或或或， 即交点为，为4个，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：分析方程的对称性，结合对称性可知交点个数必为偶数. 16. 年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（ ）个. ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题设椭圆中可得，又、判断①②；令得，特殊值判断③；利用椭圆定义求焦点三角形周长判断④. 【详解】由题意，椭圆中几何量，所以，则， 故①正确； 因为，由椭圆性质可知， 所以，故②正确； 设，则 ，取， 则，故③错误； 由椭圆定义知，， 所以的周长，故④正确，故答案为①②④. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题③的关键点在于设，由表示出，结合三角函数的性质即可得出答案. 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数 （1）求出函数的单调区间 （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）增区间为：，，减区间为：；（2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】 （1）利用导数求函数的单调区间即可. （2）根据（1）的单调性求最值即可. 【详解】（1）， 令，解得，. ，，为增函数， ，，为减函数， ，，为增函数. 所以的增区间为，减区间为. （2）由（1）知：，为增函数，，为减函数， ，为增函数. ，，，. 所以在区间上的最大值为，最小值为. 【点睛】本题第一问考查利用导数研究函数的单调性，第二问考查函数的最值，属于简单题. 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点． （1）当为椭圆的上顶点时，求的大小； （2）直线与椭圆交于，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，即可求出的大小； （2）联立直线与椭圆的方程，由韦达定理求出，，再由弦长公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，，， 所以，，所以 【小问2详解】 设，，联立， 可得， 所以，， 所以 ，解得. 19. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴为，短半轴为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为． (Ⅰ)求面积关于变量的函数表达式，并写出定义域； (Ⅱ)求面积的最大值． 【答案】（I） 　， 其定义域为 （II）梯形面积的最大值为 【解析】 【详解】试题分析：（1）建立平面直角坐标系，得椭圆标准方程，即满足的方程： (y≥0)，由于，可解得y＝2 (0<x<r)．从而得梯形面积，其中；（2）要求最大值，可先求的最大值，这可由导数的知识求得解． 试题解析：（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系(如图)，设点C的横坐标为x. 点C的纵坐标y满足方程 (y≥0)， 解得y＝2 (0<x<r)． S＝ (2x＋2r) 2＝2(x＋r)·， 其定义域为{x|0<x<r}． （2）记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0<x<r， 则f ′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)． 令f ′(x)＝0，则x＝r.因为当0<x<时，f ′(x)>0； 当<x<r时，f ′(x)<0，所以f(r)是f(x)的最大值． 因此，当x＝r时，S取得最大值，最大值为＝r2，即梯形面积S的最大值为r2. 考点：椭圆在实际问题中的应用，用导数求函数的最值． 20. 已知双曲线C的标准方程为.若虚轴长为，且双曲线上的任意一点P到左右两个焦点距离之差的绝对值为2. （1）求双曲线C的标准方程; （2）若点(0，1)，求的取值范围; （3）若斜率为的直线过右焦点，且与C的右支相交于A、B两点，问:在x轴上是否存在定点M，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立?如果存在，求出定点M的坐标;如果不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由已知可得，计算即可求得双曲线C的方程； （2）利用两点间距离公式，结合二次函数性质即可求得结果； （3）由题意，得直线方程，联立方程，写韦达定理，根据向量数量积的坐标公式，整理方程，可得答案. 【小问1详解】 由题意得，解得，则双曲线． 【小问2详解】 设，，则. 所以的取值范围为; 【小问3详解】 存在． 双曲线的右焦点，设， 由题意直线l的方程为，与双曲线方程联立消y得， 所以，得，且． 假设存在实数m，使得，则对任意恒成立． 所以，解得． 综上，存在，使． 21. 设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 【答案】（1）是，理由如下： 设定义域为的函数 在上可导，导函数为 ． 若区间及实数满足：，对任意成立， 则称函数为上的“函数”． ，， ，在时恒成立， 是 上的函数． （2） （3）为的充要条件，理由如下： 若成立，则对任意正整数，有：， 即 为上的函数，成立．故为充分条件． 若成立，即对任意正整数，有：（2） 记函数的最大值为． 先证明恒成立． 反证法，假如存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与（2）矛盾． 则有恒成立，这意味着为上的严格减函数． 再证明恒成立． 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知， 但，所以， 于是． 对任意 ，可取一个与有关的正整数，使得， 由（2）知：． 于是成立，故也为的必要条件． 故为的充要条件． 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义来判断即可； （2）根据函数，将问题转化为不等式问题，进一步转化为恒成立问题进行求解； （3）推导出为的充分条件，若成立，即对任意正整数，有：，记函数的最大值为．用反证法证明恒成立和恒成立，从而为的充要条件． 【小问1详解】 是 上的函数，理由略； 【小问2详解】 实数满足：函数为上的函数， 则有，得， 函数，有在上恒成立， 在单调递减，在上， 所以，即的取值范围为； 【小问3详解】 为的充要条件，理由略. 【点睛】思路点睛： 本题考查导数性质及应用、函数的单调性、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，（1）中直接根据定义来判断，（2）将不等式问题转化为恒成立问题来求解；（3）巧用反证法来证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师火附中闵行分校 2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：丁奇峰 审题人：王进考生 注意： 1.试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答不得分. 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 抛物线的焦点的坐标为______． 2. 直线与直线平行，则_________. 3. 已知是定义在上的可导函数，若，则_________. 4. 若，则__________. 5. 若直线与圆相交，则实数的取值范围是_________. 6. 经过点，且与圆相切于原点的圆的方程为__________. 7. 若双曲线C的一条渐近线经过点，且焦点到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为______． 8. 设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为___________. 9. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是___________. 10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，且的最小值为，则到抛物线的准线的距离为___________. 11. 如图，小明同学听到外面有小狗的叫声，于是放下作业跑到窗台PQ：（）寻找小狗．已知矩形EFGH与曲边图形STB为视线遮挡物，其中线段EF：（），曲线SB：（）．小狗沿线段CB：（）以每秒1米的速度从C跑到B，则小明能看到小狗的最长时间为________秒．（精确到0.01） 12. 现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如图），其杯口内径为，深，现将一半径为的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则的取值范围为________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 15. 已知点集分别表示曲线，其中实数满足，则的公共点的个数可能为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（ ）个. ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数 （1）求出函数的单调区间 （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点． （1）当为椭圆的上顶点时，求的大小； （2）直线与椭圆交于，若，求的值. 19. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴为，短半轴为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为． (Ⅰ)求面积关于变量的函数表达式，并写出定义域； (Ⅱ)求面积的最大值． 20. 已知双曲线C的标准方程为.若虚轴长为，且双曲线上的任意一点P到左右两个焦点距离之差的绝对值为2. （1）求双曲线C的标准方程; （2）若点(0，1)，求的取值范围; （3）若斜率为的直线过右焦点，且与C的右支相交于A、B两点，问:在x轴上是否存在定点M，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立?如果存在，求出定点M的坐标;如果不存在，请说明理由. 21. 设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $