上海师范大学附属中学闵行分校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

上师火附中闵行分校 2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：丁奇峰 审题人：王进考生 注意： 1.试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答不得分. 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 抛物线的焦点的坐标为______． 2. 直线与直线平行，则_________. 3. 已知是定义在上的可导函数，若，则_________. 4. 若，则__________. 5. 若直线与圆相交，则实数的取值范围是_________. 6. 经过点，且与圆相切于原点的圆的方程为__________. 7. 若双曲线C的一条渐近线经过点，且焦点到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为______． 8. 设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为___________. 9. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是___________. 10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，且的最小值为，则到抛物线的准线的距离为___________. 11. 如图，小明同学听到外面有小狗的叫声，于是放下作业跑到窗台PQ：（）寻找小狗．已知矩形EFGH与曲边图形STB为视线遮挡物，其中线段EF：（），曲线SB：（）．小狗沿线段CB：（）以每秒1米的速度从C跑到B，则小明能看到小狗的最长时间为________秒．（精确到0.01） 12. 现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如图），其杯口内径为，深，现将一半径为的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则的取值范围为________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 15. 已知点集分别表示曲线，其中实数满足，则的公共点的个数可能为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（ ）个. ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数 （1）求出函数的单调区间 （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点． （1）当为椭圆的上顶点时，求的大小； （2）直线与椭圆交于，若，求的值. 19. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴为，短半轴为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为． (Ⅰ)求面积关于变量的函数表达式，并写出定义域； (Ⅱ)求面积的最大值． 20. 已知双曲线C的标准方程为.若虚轴长为，且双曲线上的任意一点P到左右两个焦点距离之差的绝对值为2. （1）求双曲线C的标准方程; （2）若点(0，1)，求的取值范围; （3）若斜率为的直线过右焦点，且与C的右支相交于A、B两点，问:在x轴上是否存在定点M，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立?如果存在，求出定点M的坐标;如果不存在，请说明理由. 21. 设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 上师火附中闵行分校 2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：丁奇峰 审题人：王进考生 注意： 1.试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答不得分. 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】##0.75 【3题答案】 【答案】1 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】或 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】或 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】C 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1）增区间为：，，减区间为：；（2）最大值为，最小值为. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（I） 　， 其定义域为 （II）梯形面积的最大值为 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3）存在， 【21题答案】 【答案】（1）是，理由如下： 设定义域为的函数 在上可导，导函数为 ． 若区间及实数满足：，对任意成立， 则称函数为上的“函数”． ，， ，在时恒成立， 是 上的函数． （2） （3）为的充要条件，理由如下： 若成立，则对任意正整数，有：， 即 为上的函数，成立．故为充分条件． 若成立，即对任意正整数，有：（2） 记函数的最大值为． 先证明恒成立． 反证法，假如存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与（2）矛盾． 则有恒成立，这意味着为上的严格减函数． 再证明恒成立． 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知， 但，所以， 于是． 对任意 ，可取一个与有关的正整数，使得， 由（2）知：． 于是成立，故也为的必要条件． 故为的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $