精品解析：浙江杭州市临安区2025-2026学年下学期九年级期中数学试题

2025学年第二学期期中学业水平测试九年级（数学）试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分，考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答，答题时在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的答案一律无效． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 将实数，，，0表示在数轴上，数对应的点在最左边的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 生活中，我们常用的五号电池整体可以近似看作一个圆柱体叠上一个圆柱体．如图，这是五号电池的示意图，则该电池的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 第五十七次《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达亿人，较2024年底增长，将数据602000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 5. 某班级进行综合素质评价，以学习态度、课堂表现、作业完成、小组合作四项进行打分，各项权重依次为．小明四项得分分别为：7分，8分，9分，6分，则小明的最终得分是（ ） A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分 6. 皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子．若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，则道具上的另一点对应到幕布上的点为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示为一张矩形纸片，圆圆和方方在探究矩形和菱形的联系，通过尺规作图在矩形中作出一个菱形．圆圆的作法是：连结对角线，作的中垂线分别交，于点，，连结，，则四边形是菱形．方方的作法是：作的中垂线分别交，于点，，连结，，则四边形是菱形．对于两人的作法，判断（ ） A. 两人都正确 B. 两人都错误 C. 圆圆正确，方方错误 D. 圆圆错误，方方正确 8. 《张丘建算经》是中国古代数学的重要典籍，书中记载了著名的“百钱买百鸡”问题．现有一道“买鸡”问题如下：“鸡翁每只值五钱；鸡母每只值三钱；鸡雏每三只值一钱．”某人用五十六钱买鸡三十只，且鸡翁的数量比鸡母多两只．问鸡翁，鸡母，鸡雏各有几只？设鸡母只，鸡雏只，根据题意可列方程组，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，连接，相交于点．已知，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 8 10. 已知抛物线（为常数），点，，在抛物线上，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 12. 若，则___________． 13. 如图，在中，，，是的中点，是上一点，已知，，，则______． 14. 某学校引入智能学习工具，提供3项智能学习功能：口语测评，错题整理，知识点抽测，圆圆和方方随机选择一种功能使用，则两人恰好选中同一种学习功能的概率是______． 15. 某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 16. 如图，是的内接三角形，平分，若，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式：，并把它的解表示在数轴上． 19. 如图，在中，，过点作边上的高线，． （1）求的长； （2）若，求的长． 20. 某校为了制订学生跳绳项目合格成绩的衡量标准，随机抽取25名学生的1分钟跳绳测试成绩，从小到大排序，获得以下数据（单位：个）：73，96，120，130，138，145，149，152，154，157，165，168，169，171，172，177，180，184，186，188，191，194，200，208，239． （1）求这25名同学跳绳成绩的中位数； （2）为制定及格标准和优秀标准，以中位数（不包含该数）左右侧数据的中位数分别作为及格标准和优秀标准，求及格标准和优秀标准； （3）在（2）的基础上，该校七年级共有400名学生，请估计达到优秀标准的学生人数． 21. 考拉兹猜想（又称猜想）是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当时，分步进行考拉兹运算： 第1步：；第2步：；第3步：；第4步：；第5步：；第6步： （1）若从某正整数出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数； （2）小杭同学说：若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，则（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 为偶数 若为奇数，则下一步考拉兹运算后为； 若为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数，则下一步考拉兹运算得到； 可以多次考拉兹运算为的形式； 一定也符合考拉兹猜想． 若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 22. 如图，是的半径，弦垂直平分，以为边向圆外作等边，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 23. 某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离米和飞行高度米的数据，记录数据如下表： 照相机频闪时间/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 水平距离米 0 5 10 15 20 25 30 … 飞行高度米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 … （1）根据表格中的数据描点，连线，发现与近似地满足二次函数关系，请写出与之间的函数表达式； （2）根据表格数据，可知水平距离与时间满足关系式．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间； （3）乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度（米）与水平距离（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？ 24. 如图1，点是正方形对角线延长线上一点，．连结，，将线段绕着点逆时针旋转一定的角度后与的延长线交于点． （1）求证：①是等腰三角形； ②； （2）连交于点，设，的面积为，求与的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中学业水平测试九年级（数学）试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分，考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答，答题时在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的答案一律无效． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 将实数，，，0表示在数轴上，数对应的点在最左边的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴的性质，数轴上左边的点对应的数小于右边的点对应的数，因此找出四个数中最小的数即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∵ 数轴上数越小对应的点位置越靠左， ∴ 对应的点在最左边． 2. 生活中，我们常用的五号电池整体可以近似看作一个圆柱体叠上一个圆柱体．如图，这是五号电池的示意图，则该电池的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A: 内部的小圆是虚线，不符合“能看到”的特征，错误； B: 由一个大圆和一个中心的实线小圆组成，完全符合俯视图的特征，正确； C: 只有一个大圆，没有体现顶部的凸起部分，错误； D: 这是电池的主视图（正视图），不是俯视图，错误． 3. 第五十七次《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达亿人，较2024年底增长，将数据602000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到答案． 【详解】解：． 4. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．，故本选项计算错误； B．，故本选项计算正确； C．，故本选项计算错误； D．，故本选项计算错误． 5. 某班级进行综合素质评价，以学习态度、课堂表现、作业完成、小组合作四项进行打分，各项权重依次为．小明四项得分分别为：7分，8分，9分，6分，则小明的最终得分是（ ） A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分 【答案】C 【解析】 【分析】根据权重比，得到对应权重，再利用加权平均数的计算公式计算． 【详解】解：， 对应权重为， 则小明的最终得分是（分）． 6. 皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子．若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，则道具上的另一点对应到幕布上的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得位似比为，由道具上的点可得对应到幕布上的点的坐标． 【详解】解：∵皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为， ∴位似比为， ∴道具上的另一点对应到幕布上的点为． 7. 如图所示为一张矩形纸片，圆圆和方方在探究矩形和菱形的联系，通过尺规作图在矩形中作出一个菱形．圆圆的作法是：连结对角线，作的中垂线分别交，于点，，连结，，则四边形是菱形．方方的作法是：作的中垂线分别交，于点，，连结，，则四边形是菱形．对于两人的作法，判断（ ） A. 两人都正确 B. 两人都错误 C. 圆圆正确，方方错误 D. 圆圆错误，方方正确 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：如图1中，圆圆的作法正确．可以根据邻边相等的平行四边形是菱形． 如图2中，方方的作法错误．，四边不相等． 8. 《张丘建算经》是中国古代数学的重要典籍，书中记载了著名的“百钱买百鸡”问题．现有一道“买鸡”问题如下：“鸡翁每只值五钱；鸡母每只值三钱；鸡雏每三只值一钱．”某人用五十六钱买鸡三十只，且鸡翁的数量比鸡母多两只．问鸡翁，鸡母，鸡雏各有几只？设鸡母只，鸡雏只，根据题意可列方程组，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意表示出鸡翁的数量，再根据“总买鸡数量为30只”，“总花费为五十六钱”两个等量关系列方程组，对比选项得到结果． 【详解】解：∵设鸡母只，鸡雏只，鸡翁的数量比鸡母多2只， ∴鸡翁数量为只， ∵总买鸡数量为30只，总花费为56钱， ∴根据总数量列方程得： ，整理得 . 根据总钱数列方程：鸡母每只3钱，总钱为；鸡翁每只5钱，总钱为； 鸡雏每三只值1钱，只鸡雏总钱为，因此总钱方程为 . 最终可得方程组． 9. 如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，连接，相交于点．已知，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质推出，判定是等腰直角三角形，得到，由三角形内角和定理推出，判定，推出． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10. 已知抛物线（为常数），点，，在抛物线上，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，得到对称轴，再利用抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大列不等式求解即可． 【详解】解：点，，在抛物线上， 抛物线对称轴为， 到对称轴的距离为1， 时，，且，抛物线开口向上， 当时， ，即， 或，解得或， 当时， ，即， 平方得，，整理得， 解得， 综上，时，． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：直接运用完全平方公式分解即可.a2-6a+9=（a-3）2. 考点：因式分解. 12. 若，则___________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为. 13. 如图，在中，，，是的中点，是上一点，已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可求，，然后证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵是的中点，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴． 14. 某学校引入智能学习工具，提供3项智能学习功能：口语测评，错题整理，知识点抽测，圆圆和方方随机选择一种功能使用，则两人恰好选中同一种学习功能的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先列出所有等可能的结果，再找出满足两人恰好选中同一种学习功能的结果数，代入概率公式求解即可． 【详解】解：记三种学习功能分别为A，B，C， 列表： A B C A B C 圆圆和方方依次选择，所有等可能的结果总数为 9 种. 其中两人恰好选中同一种学习功能的结果为，共种， 两人恰好选中同一种学习功能的概率 15. 某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为，再根据，解出即可求解． 【详解】解：设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为， 根据题意，，，又， ，即， 解得， ， 则充满电所需的时间将缩短． 16. 如图，是的内接三角形，平分，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点E，延长，过点D作于点F，证明，得出，证明，得出，根据，得出，求出，根据，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于点E，延长，过点D作于点F，如图所示： ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】原式分别计算，，，然后再合并即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式：，并把它的解表示在数轴上． 【答案】，把解表示在数轴上如图： 【解析】 【详解】解： ， ， ． 19. 如图，在中，，过点作边上的高线，． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，根据余弦的定义求出的长度，然后根据勾股定理求解即可； （2）先求出的长度，然后在中，根据勾股定理求解即可. 【小问1详解】 解：为边上的高线， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ，， ． 20. 某校为了制订学生跳绳项目合格成绩的衡量标准，随机抽取25名学生的1分钟跳绳测试成绩，从小到大排序，获得以下数据（单位：个）：73，96，120，130，138，145，149，152，154，157，165，168，169，171，172，177，180，184，186，188，191，194，200，208，239． （1）求这25名同学跳绳成绩的中位数； （2）为制定及格标准和优秀标准，以中位数（不包含该数）左右侧数据的中位数分别作为及格标准和优秀标准，求及格标准和优秀标准； （3）在（2）的基础上，该校七年级共有400名学生，请估计达到优秀标准的学生人数． 【答案】（1）中位数是169 （2）及格标准是147，优秀标准是187 （3）估计达到优秀标准的学生人数为96人 【解析】 【分析】（1）根据中位数定义求解即可； （2）分别求出中位数左侧和右侧数据的中位数，即可求解； （3）将七年级人数400乘以样本中达到优秀标准的学生人数比例，即可求解． 【小问1详解】 解：将25名学生的成绩从小到大排序后，处于中间位置的是第13个数据，为169， 故中位数为169． 【小问2详解】 解：中位数左侧有12个数据，处于中间位置的数据是145，149，故左侧数据的中位数为， 中位数右侧有12个数据，处于中间位置的数据是186，188，故右侧数据的中位数为， 所以及格标准是147，优秀标准是187． 【小问3详解】 解：样本中达到优秀标准的学生有6人， 所以估计达到优秀标准的学生人数为（人）． 21. 考拉兹猜想（又称猜想）是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当时，分步进行考拉兹运算： 第1步：；第2步：；第3步：；第4步：；第5步：；第6步： （1）若从某正整数出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数； （2）小杭同学说：若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，则（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 为偶数 若为奇数，则下一步考拉兹运算后为； 若为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数，则下一步考拉兹运算得到； 可以多次考拉兹运算为的形式； 一定也符合考拉兹猜想． 若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 【答案】（1）或32 （2） 证明：为任意正整数， 为奇数， 则下一步考拉兹运算结果为. 为偶数， 则下一步考拉兹运算结果为. 为偶数， 则下一步考拉兹运算结果为， ∴ 经过三步考拉兹运算后得到． ∵ 为正整数， ∴ 是形如（为正整数）的数．根据题设，形如的数均符合考拉兹猜想，故一定也符合考拉兹猜想． 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论：当n是偶数时，；当n是奇数时，； （2）经过三步考拉兹运算后得到，由此证明即可． 【小问1详解】 解：当为偶数时：， ， 当为奇数时：， ， 或32； 【小问2详解】 略 22. 如图，是的半径，弦垂直平分，以为边向圆外作等边，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的半径，弦垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵以为边向圆外作等边， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由垂直平分，得，则，所以，因为是等边三角形，所以，则，即可证明是的切线． （2）设交于点E，由于点E，且，得，，，所以，则，因为，所以，求得，则，即可由，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点E， ∵于点E，且， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴阴影部分的面积为． 23. 某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离米和飞行高度米的数据，记录数据如下表： 照相机频闪时间/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 水平距离米 0 5 10 15 20 25 30 … 飞行高度米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 … （1）根据表格中的数据描点，连线，发现与近似地满足二次函数关系，请写出与之间的函数表达式； （2）根据表格数据，可知水平距离与时间满足关系式．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间； （3）乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度（米）与水平距离（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？ 【答案】（1） （2）持续时间秒 （3）当水平距离为20米时，最大高度差为4米 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）令，解出x的值求解即可； （3）设高度差为h，，根据二次函数的性质判断即可． 【小问1详解】 解：设，将、、代入，得 ， ； 【小问2详解】 解：令，， ，， 将，代入得， 得，， 持续时间秒． 【小问3详解】 解：设高度差为， ， 当水平距离为20米时，最大高度差为4米． 24. 如图1，点是正方形对角线延长线上一点，．连结，，将线段绕着点逆时针旋转一定的角度后与的延长线交于点． （1）求证：①是等腰三角形； ②； （2）连交于点，设，的面积为，求与的关系式． 【答案】（1） 证明：①∵是正方形的对角线， 平分，即， 又， 在和中， ， ∴ . ∵， ∴， ∴为等腰三角形； ②解：过点作，交于点，则， ，且， ， 在正方形中，对角线， 又 ， ，即， ， ∴， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质可得，再根据边角边证明即可得出是等腰三角形； ②过点作，交于点，则，得，，求出，可得结论； （2）过点作，交的延长线于点，过点作于点，证明，得，求出，同理可得，得到，求出，运用三角形面积公式可得． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点作，交的延长线于点，过点作于点， ， ， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴ ， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ， 同理可得， ， ∵， 同理得：，即, ∴， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $