精品解析：江西赣州市厚德外国语学校等校2025-2026学年高二下学期4月数学学科训练

高二4月数学学科训练 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第二册第一章占50%，第二章第1节至第5节占50%. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 数列的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 已知奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若函数，则曲线在点处的曲率是（ ） A. B. C. D. 6. 某公益组织发起捐款活动，第1天捐款100元，从第2天开始，每日捐款额比前一天捐款额的2倍少80元.若第天的捐款额不低于2000元，则的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 已知函数是的导函数，的图象关于点中心对称，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知数列满足，若，则整数的取值个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若数列的前项和为，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则是等比数列 B. 若是等比数列，则 C. 若，则是等比数列 D. 若是等比数列，则是等比数列 11. 已知函数的公切线为，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为______． 13. 设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 14. 已知，则______，______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，该汽车的速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系式为. （1）求该汽车在这段时间里的平均速度； （2）求该汽车在第时的瞬时加速度，并说明它的意义. 16. 在数列中，. （1）证明：是等差数列. （2）求数列的前项和. 17. 在数列中，，且. （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）给定正整数，设函数，求. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线经过点的切线方程； （3）若曲线与曲线存在公共点，且在公共点处有公切线，求的值. 19. 设数列的前项和为，且，若，记数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）求； （3）记集合，若的子集个数为8，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二4月数学学科训练 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第二册第一章占50%，第二章第1节至第5节占50%. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 数列的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分子：，规律为. 分母：，规律为. 所以通项可以为 2. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以． 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】数列为等差数列，设等差数列的公差为. ，，即； ，得. 4. 已知奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助奇函数性质计算可得，再利用导数运算可得，即可得解析式，即可得的值. 【详解】由该函数为奇函数，则， 即， 即有，即，故， 则，则， 解得，故，则. 5. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若函数，则曲线在点处的曲率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据曲率定义，代入求解即可. 【详解】已知，， . 则，， 得. 所以曲率. 6. 某公益组织发起捐款活动，第1天捐款100元，从第2天开始，每日捐款额比前一天捐款额的2倍少80元.若第天的捐款额不低于2000元，则的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】设第天捐款数额为，由题意可知， 可知，即数列是以20为首项，以2为公比的等比数列， 则，得， 可得，化简得， 因，且是递增数列，故的最小值为8，此时. 7. 已知函数是的导函数，的图象关于点中心对称，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】已知，所以. 因为的图象关于点中心对称. 所以根据中心对称性质可得对任意实数恒成立. 对求导得，即 所以导函数的函数图像关于对称，即，解得. 此时， 因为的图象关于点中心对称，所以，解得. 故. 8. 已知数列满足，若，则整数的取值个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】结合题目条件逐项逆推即可得. 【详解】由题意可得，若，当为偶数时，，当为奇数时，； 由，则为偶数时，，当为奇数时，，不符，故舍去； 故，则为偶数时，，当为奇数时，，不符，故舍去； 故，则为偶数时，，当为奇数时，； 若，则为偶数时，，当为奇数时，不符，故舍去； 若，则为偶数时，，当为奇数时，不符，故舍去； 故或， 若，则为偶数时，，当为奇数时，； 若，则为偶数时，，当为奇数时，，故舍去； 综上可得：或或，故整数的取值个数是个. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助导数运算法则逐项计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 10. 若数列的前项和为，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则是等比数列 B. 若是等比数列，则 C. 若，则是等比数列 D. 若是等比数列，则是等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】举出反例可得A、D；借助等比数列性质计算可得B；借助与关系及等比数列定义计算可得C. 【详解】对A：取数列，可取，满足题意， 但此时该数列不是等比数列，故A错误； 对B：设该数列公比为，则，，， 则，故B正确； 对C：当时，，则， 即，当时，即， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故C正确； 对D：取等比数列，有，，， 此时、、不成等比数列，故D错误. 11. 已知函数的公切线为，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义得到切线方程，得到，，联立求出或，从而得到切线方程，求得答案. 【详解】设与相切于点， ，故切线斜率， 在点处的切线方程为， 即，故， 设与相切于点， ，则，所以，解得， 在处的切线方程为， 即，故， 所以， 将代入上式得， 整理得，解得或， 当时，切线方程为，此时，所以； 当时，切线方程为，故，，所以； 综上所述：或3. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，则． 13. 设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列前项和性质可得、，利用等差中项性质可得，即可得，代入计算即可得解. 【详解】，同理可得， 则. 14. 已知，则______，______． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】运用二项式的通项公式，结合求导的运算法则进行求解即可. 【详解】展开式的通项 ， 令，得，则，即． 设， 则． 令，得． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，该汽车的速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系式为. （1）求该汽车在这段时间里的平均速度； （2）求该汽车在第时的瞬时加速度，并说明它的意义. 【答案】（1） （2），说明在第附近，汽车的速度每秒大约减少. 【解析】 【分析】（1）借助定积分计算即可得； （2）借助速度函数求导计算即可得，结合瞬时加速度定义可说明其意义. 【小问1详解】 ， 即该汽车在这段时间里的平均速度为； 【小问2详解】 ，则， 即该汽车在第时的瞬时加速度为， 说明在第附近，汽车的速度每秒大约减少. 16. 在数列中，. （1）证明：是等差数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1） 由，则， 即， 又，故数列是以为首项，为公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）将变形可得，即可得证； （2）由（1）中所得可得通项公式，即可得的通项公式，再借助等差数列与等比数列求和公式分组求和即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 则 17. 在数列中，，且. （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）给定正整数，设函数，求. 【答案】（1） 由递推式，变形得. 令，则，且， 故是首项为，公差为的等差数列. 由等差数列通项公式得：， 即. 当时， ， 当时，，当时，，满足上式. 因此数列的通项公式为. （2） 【解析】 【分析】（1）通过递推式变形证明为等差数列，求其通项后用累加法得通项. （2）代入通项化简，逐项求导后用错位相减法求和，代入得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知， 将代入得：， 化简得， 所以， 整理得， 即. 令， 则， 两式相减得：. 将代入：， 计算得，故. 所以. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线经过点的切线方程； （3）若曲线与曲线存在公共点，且在公共点处有公切线，求的值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数几何意义计算即可得； （2）设出切点坐标，借助导数几何意义可求出切点，即可得切线方程； （3）设公共点坐标为，则有，，解出即可得. 【小问1详解】 ，则，又， 故曲线在点处的切线方程为， 整理得； 【小问2详解】 设切点为，由， 则切线方程为， 整理得，则有， 即，解得或， 若，则切线方程为，即为； 若，则切线方程为，即为； 综上可得：曲线经过点的切线方程为或； 【小问3详解】 设公共点坐标为，由， 则，， 则，有， 整理得，令，则在上单调递增， 又，故，则. 19. 设数列的前项和为，且，若，记数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）求； （3）记集合，若的子集个数为8，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助与的关系及等比数列定义计算即可得； （2）借助裂项相消法计算即可得； （3）借助等比数列求和公式计算可得关于的不等式有个正整数解，构造数列，借助作差法可判断该数列单调性，即可得该数列中最大的三个数，即可得解. 【小问1详解】 当时，，则， 即，当时，，即， 又，则有，故对任意恒成立， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； 【小问2详解】 ， 故 ； 【小问3详解】 ， 则 ， 由的子集个数为8，则中有个元素， 故关于的不等式有个正整数解， 令，则， ， 则数列在时单调递增，在时单调递减， 即， 又， 当时，， 故的三个正整数解为、、， 故，又，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $