精品解析：新疆乌鲁木齐市新疆农业大学附属中学等校2025—2026学年下学期期中考试八年级数学试卷

新农大附中2025—2026学年度第二学期期中试卷 数学试卷 （卷面分值：150分；考试时间：100分钟） 一、选择题（每小题4分，满分86分）： 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义（被开方数为整数且不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断各选项． 【详解】解：A、被开方数含分母，可化简为，不是最简； B、被开方数含分母，可化简为，不是最简； C、，含平方因子，不是最简； D、，为质数，无平方因子，是最简二次根式； 故选：D． 2. 下列各组数中，能作为勾股数的是（ ） A. ，， B. 5，8，13 C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，3能作为勾股数，故此选项符合题意； B、∵， ∴5，8，13不能作为勾股数，故此选项不符合题意； C、∵不是正整数， ∴，，不能作为勾股数，故此选项不符合题意； D、∵不是正整数， ∴，，4不能作为勾股数，故此选项不符合题意． 3. 如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，数轴与实数，根据勾股定理计算即可，掌握勾股定理，数轴与实数的关系是解题的关键． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 故选：． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算，再开方，判断A；再根据二次根式的除法法则计算判断B；然后根据二次根式的加减法法则计算判断C；最后根据完全平方公式计算判断D． 【详解】因为，所以A不正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D不正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 5. 如图，在中，是斜边的中线，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理求出的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 6. 下列图象中，表示y是x的函数的有（ ） A. ①②④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，据此判断即可． 【详解】解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值，都有唯一的函数值y与之相对应， ①④符合题意． 故选：B． 7. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，即①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，即②错误； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个． 故选：A． 8. 如图，在菱形中，、交于O点，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 图①是由边长均为1的小正方形和构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图①按图②所示“嵌入”长方形中，则该长方形的面积为（ ） A. 60 B. 100 C. 110 D. 121 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点O，延长交于点P，证，得，同理，得，再证明，即可解决问题． 【详解】解：延长交于点O，延长交于点P，如图2所示： 根据题意可得， 四边形是正方形， ， ， 又中，， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ，即， ， ， 长方形的面积为：． 二．填空题（每小题4分，满分24分） 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是理解二次根式有意义，即被开方数大于或等于0． 11. 若三角形的三边长分别等于、、，则这个三角形是______三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理， 解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理可知， 当三角形中三边的关系为，则该三角形为直角三角形 ． 【详解】解：， 三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 12. 过五边形的一个顶点作对角线，可将五边形分成______个三角形．内角和是______． 【答案】 ①. 3 ②. ##度 【解析】 【分析】过边形的一个顶点作对角线，可将边形分成个三角形，边形的内角和为，据此可得答案． 【详解】解：过五边形的一个顶点作对角线，可将五边形分成个三角形，内角和是． 13. 如图，正方形的对角线为边作菱形，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和菱形的性质，根据正方形的性质得出，，根据菱形的性质得出，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 14. 如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，台阶左下角A处有一只蚂蚁要爬到右上角B处搬运食物，则它爬行的最短路程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿A爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，设．得到以下结论：①；②；③；④．则上述结论正确的是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先证明，可得到，继而证得，故①正确；延长交延长线于点M，再证明，可得，由，可得，故②正确；由勾股定理和面积可得：，故③正确；过点作于点，，交的延长线于点N，则四边形是矩形，证明，得到，则可证明四边形是正方形，得到，故④正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点是中点，点是中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图所示，延长交的延长线于点，    在和中， ， ， ， ， ， ∴，故②正确； ， ， ， ， ∴，故③正确； 如图所示，过点作于点，，交的延长线于点N， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④． 三、解答题（共8小题，满分90分） 16. 计算 （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：连接，交于点O． 在中，，． 又， ． ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】连接，交于点O，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】略 18. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O、过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P．判断四边形CODP的形状并说明理由． 【答案】 菱形，理由如下： 根据题意有：，， ∴四边形CODP是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC，OD=BD，OC=AC， ∴OD=OC， ∴四边形CODP是菱形． 【解析】 【分析】根据，，即可证出四边形CODP是平行四边形，由矩形的性质得出OC=OD，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质定理，菱形的判定定理是解题的关键． 19. 甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升．如图为甲、乙两个探测气球所在位置的海拔与气球上升时间的函数图象． （1）求两个气球上升过程中与函数解析式； （2）当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间． 【答案】（1）甲气球的函数解析式为；乙气球的函数解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用： （1）根据图象中坐标，利用待定系数法求解； （2）根据两个气球纵坐标之差的绝对值等于5，解方程即可． 解题的关键是结合实际情境分析函数图象． 【小问1详解】 解：设甲气球的函数解析式为：， 将，代入得， ， 解得：， 甲气球的函数解析式为：； 设乙气球的函数解析式为：， 将，代入解析式得： ， 解得：， 乙气球的函数解析式为：． 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：或， 当这两个气球的海拔高度相差5米时，上升的时间为或． 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据x、y的值，可以计算出的值，然后即可求得所求式子的值； （2）根据x、y的值，可以求得的值，然后将所求式子变形，再计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴ ． 【点睛】此题考查了求代数式的值、利用平方差公式和完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算等知识，熟练掌握求解的方法是解题的关键． 21. ，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）的长为______，______； （2）求证：矩形是正方形； 【答案】（1）；45 （2） 证明：如图所示，过点E作于点M，于点N， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，且， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理即可得到答案； （2）过点E作于点M，于点N，可证明四边形是矩形，且，则可证明，得到，据此可证明矩形是正方形． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 22. 在进行二次根式化简时，像，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：，，．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简：． （2）矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，二次根式的应用，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据题目中的例子进行分母有理化解答本题； （2）根据题意，可以求得矩形的另一边长，从而可以求得该矩形的周长． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵矩形的面积为，一边长为， ∴其邻边长为， ∴该矩形的周长为． 23. 综合与探究 【问题情景】 在菱形中，，P是射线上一动点，以为边向右作等边三角形，点E的位置随着点P位置的变化而变化． 【问题解决】 （1）如图1，当点P在线段上，点E在菱形的内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________； 【类比探究】 （2）如图2，当点P在线段上，点E在菱形的外部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）当点P在线段的延长线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；； （2）成立，理由如下： 如图，连接，如图所示， ∴，为等边三角形， 在和中，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到，，求出，即可证明； （2）连接，与交于点，证明，得到，，再求出，即可证明； （3）连接交于点O，连接，作于F，根据菱形的性质得出，平分，根据勾股定理分别求出，，最后求出即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，都是等边三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）略 （3）如图3中，连接交于点O，连接，作于F，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∵，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新农大附中2025—2026学年度第二学期期中试卷 数学试卷 （卷面分值：150分；考试时间：100分钟） 一、选择题（每小题4分，满分86分）： 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能作为勾股数的是（ ） A. ，， B. 5，8，13 C. ，， D. ，， 3. 如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是斜边的中线，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 6. 下列图象中，表示y是x的函数的有（ ） A. ①②④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③ 7. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在菱形中，、交于O点，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 图①是由边长均为1的小正方形和构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图①按图②所示“嵌入”长方形中，则该长方形的面积为（ ） A. 60 B. 100 C. 110 D. 121 二．填空题（每小题4分，满分24分） 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 11. 若三角形的三边长分别等于、、，则这个三角形是______三角形． 12. 过五边形的一个顶点作对角线，可将五边形分成______个三角形．内角和是______． 13. 如图，正方形的对角线为边作菱形，则________． 14. 如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，台阶左下角A处有一只蚂蚁要爬到右上角B处搬运食物，则它爬行的最短路程为______． 15. 如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，设．得到以下结论：①；②；③；④．则上述结论正确的是______． 三、解答题（共8小题，满分90分） 16. 计算 （1） （2）； 17. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 18. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O、过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P．判断四边形CODP的形状并说明理由． 19. 甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升．如图为甲、乙两个探测气球所在位置的海拔与气球上升时间的函数图象． （1）求两个气球上升过程中与函数解析式； （2）当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间． 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 21. ，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）的长为______，______； （2）求证：矩形是正方形； 22. 在进行二次根式化简时，像，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：，，．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简：． （2）矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 23. 综合与探究 【问题情景】 在菱形中，，P是射线上一动点，以为边向右作等边三角形，点E的位置随着点P位置的变化而变化． 【问题解决】 （1）如图1，当点P在线段上，点E在菱形的内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________； 【类比探究】 （2）如图2，当点P在线段上，点E在菱形的外部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）当点P在线段的延长线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $