精品解析：上海市华东师范大学附属周浦中学2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试卷

华东师范大学附属周浦中学 2025学年第二学期高二期中考试 数学试卷 一、填空题 1. 若，则的值为__________. 2. 函数在处的瞬时变化率__________. 3. 5人站成一排，其中甲站中间，共有______种排法.(用具体数字作答) 4. 在的二项展开式中的常数项______. 5. 已知函数的一个驻点为，则实数________． 6. 已知，则________．（用数字作答） 7. 已知函数满足：，且，则______. 8. 某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高二的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有__________种出场顺序.(用具体数字作答) 9. 已知函数的值恒大于零，则实数的取值范围为__________. 10. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________. 11. 记定义在上的可导函数的导函数为，且，，则不等式的解集为______． 12. 设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为__________． 二、选择题（4’×4） 13. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A. B. C. D. 1 14. 某校高二年级有6个班，现有4名插班生安排到该年级的两个班中，且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）． A. 函数在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上严格增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间内至多有两个零点 16. 若两点关于点成中心对称，则称为一对“相关点”，同时把和视为同一对“相关点”. 已知图像上有两对“相关点”，则等于（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. （1）若一次抽取3张卡片，事件表示“3张卡片上数字之和大于7”，求； （2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求. 18. 已知为非零实数，考虑二项展开式. （1）若，且展开式中的系数是的系数的7倍，求的值； （2）若，且展开式中的系数是的系数与的系数的算术平均数，求的值. 19. 某体育公园欲建连片的羽毛球馆若干间，用200万元购买土地15000平方米.该公园每间球馆的建设面积为1500平方米，球馆的总建筑面积的每平方米平均建设费用与球馆数有关：当建间球馆时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似用表示.为了使该球馆每平方米的综合费用最省（综合费用是建设费用与购地费用之和），该体育公园应建几个球馆？ 20. 设函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）令，求的单调区间； （3）已知在处取得极大值，求实数的取值范围． 21. 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数满足的条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范大学附属周浦中学 2025学年第二学期高二期中考试 数学试卷 一、填空题 1. 若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】，所以 2. 函数在处的瞬时变化率__________. 【答案】 【解析】 【详解】，所以 3. 5人站成一排，其中甲站中间，共有______种排法.(用具体数字作答) 【答案】 【解析】 【详解】甲站中间，其余四人全排列，共有种排法. 4. 在的二项展开式中的常数项______. 【答案】 【解析】 【详解】二项式展开式的通项为， 令，解得，所以常数项为. 5. 已知函数的一个驻点为，则实数________． 【答案】3 【解析】 【分析】求导，根据驻点的定义即可求解. 【详解】由得，由于是驻点，所以，即，所以， 故答案为：3 6. 已知，则________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，两边求导得到，再取，即可求出结果. 【详解】因为， 两边求导可得， 令，得到，即， 故答案为：. 7. 已知函数满足：，且，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由于，两边求导，得， 令，分别得，， 由，可得，所以. 8. 某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高二的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有__________种出场顺序.(用具体数字作答) 【答案】28800 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑，再把不相邻问题应用插空法计算求解. 【详解】将高三2个节目捆绑，内部排列有种方法；将此捆绑视为一个整体，与高一4个节目进行全排列，有种方法； 最后将高二的3个节目插入所形成的6个空中，有种方法； 根据分步乘法计数原理，共有种. 9. 已知函数的值恒大于零，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，问题转化为，对恒成立，令，利用导数求出的最大值，得解. 【详解】由题意，可得，即，对恒成立， 令，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以，所以，即实数的取值范围为. 10. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】因为，所以， 设切点为，则，切线的斜率， 所以切线方程为， 因为切线过原点，所以， 整理得，又切线有两条，所以， 整理得，解得或， 所以的取值范围为. 11. 记定义在上的可导函数的导函数为，且，，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先设函数，利用导数判断函数的单调性，不等式等价于，利用函数的单调性，即可求解. 【详解】设，，所以函数单调递增， 且，不等式，所以. 故答案为：. 12. 设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】将函数变形为，设， ，画出函数图像，当时取最值，得到答案. 【详解】 设 在上单调递增，在上单调递减， 设 画出函数图像： 对任意的实数和，总存在，使得 等价于求最大值里的最小值. 根据图像知：当时，最大值的最小值为2 故实数的最大值为2 答案为2 【点睛】本题考查了函数的存在性问题，变形函数，画出函数图像是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力. 二、选择题（4’×4） 13. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由从共有15个球中任取2个球，共有种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有种不同的取法，再利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，从共有15个除了颜色外完全相同的球，任取2个球，共有种不同的取法， 其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有种不同的取法， 所以概率为，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，以及古典概型及其概率的应用，其中解答中认真审题，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14. 某校高二年级有6个班，现有4名插班生安排到该年级的两个班中，且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分两步完成： 第一步，先把4名学生平均分成两组，每组2人，有种方案， 第二步，再从6个班中选两个班，将两组学生分配进班，有种方案， 所以不同的安排方案种数为. 15. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）． A. 函数在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上严格增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间内至多有两个零点 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象，结合函数的切线斜率、单调性、极值、零点与导数的关系逐项判断即可得结论. 【详解】选项A:曲线在点处的切线斜率等于零，故A错误； 选项B:函数在区间上单调递减，故B错误； 选项C:函数在左右两侧都单调递减，函数在此处不取得极大值，故C错误； 选项D:函数在区间先单调递增，再单调递减，故在区间内内至多有两个零点，故D正确． 故选：D． 16. 若两点关于点成中心对称，则称为一对“相关点”，同时把和视为同一对“相关点”. 已知图像上有两对“相关点”，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，，其关于点对称的函数为，问题转化为与在上有两个交点，联立方程得到，再将问题转化为的图象与直线有两个交点，利用导数求出的单调区间，画出函数图象，结合图象求解即可. 【详解】当时，关于点对称的函数为， 由题知与在上有两个交点， 由消得到， 又，得到，即， 令，， 则的图象与直线有两个不同的交点， ，令， 则， 所以在上递增，即在上递增， 因为，所以当时，， 当时，，所以在上递减，在上递增， 所以，当时，， 所以其大致图象如图所示，     由图可知当时，的图象与直线有两个不同的交点， 因为，所以． 三、解答题 17. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. （1）若一次抽取3张卡片，事件表示“3张卡片上数字之和大于7”，求； （2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 若一次抽取3张卡片，共包含个基本事件，其中事件包含2个基本事件， 所以. 【小问2详解】 若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，共包含个基本事件， 其中事件包含3个基本事件， 所以. 18. 已知为非零实数，考虑二项展开式. （1）若，且展开式中的系数是的系数的7倍，求的值； （2）若，且展开式中的系数是的系数与的系数的算术平均数，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理得到的通项，进而求出各项系数，再结合题意建立方程，合理取舍即可得到的值. （2）利用二项式定理得到的通项，进而求出各项系数，再结合算术平均数的定义建立方程，即可得到的值. 【小问1详解】 当时，，利用二项式定理对其展开， 通项公式为， 令，解得，则的系数为， 令，解得，则的系数为， 因为展开式中的系数是的7倍， 所以，即，解得或， 由，得. 【小问2详解】 当时，，利用二项式定理对展开， 通项公式为， 令，解得，则的系数为， 令，解得，则的系数为， 令，解得，则的系数为， 因为展开式中的系数是的系数与的系数的算术平均数， 所以，化简得， 因为为非零实数，所以，解得或. 19. 某体育公园欲建连片的羽毛球馆若干间，用200万元购买土地15000平方米.该公园每间球馆的建设面积为1500平方米，球馆的总建筑面积的每平方米平均建设费用与球馆数有关：当建间球馆时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似用表示.为了使该球馆每平方米的综合费用最省（综合费用是建设费用与购地费用之和），该体育公园应建几个球馆？ 【答案】5 【解析】 【分析】设应建间，得到综合费用函数，利用导数判断单调性，求出答案. 【详解】设应建间球馆，则总建筑面积为平方米，每平方米购地费用为元， 由题意，球馆的总建筑面积不能超过购买的土地面积，故，解得， 又为球馆间数，故是区间内的整数， 所以综合费用为， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为为正整数，又， , 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，故，即， 所以 所以，所以应建5个球馆. 20. 设函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）令，求的单调区间； （3）已知在处取得极大值，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用导数与切线斜率的关系即可求解； （2）分和两种情况，然后求解不等式和即可得到的单调区间； （3）对不同区间的进行分类讨论，并判断在附近的单调性，即可得到结果. 【小问1详解】 若，则，从而， 故，从而曲线在点处的切线斜率为，故所求切线为直线. 又，故所求切线方程为. 【小问2详解】 由，知. 当时，，故在上单调递增； 当时，； 从而的解集是，的解集是. 这表明在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 首先我们有. 当时，由上一问结论，知在上单调递增，在上单调递减. 这意味着当时，；当时，. 故在和上均单调递减，从而不是的极值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递增， 而，故在上单调递增. 这表明当时，有，从而在上单调递增， 故不可能是的极大值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递增， 故在上单调递增. 这表明当时，有，从而在上单调递增， 故不可能是的极大值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递减. 注意到此时，故当时，； 当时，. 从而在上单调递增，在上单调递减， 这说明是的极大值点，满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：在第三问中，关键点在于附近的单调性，从而在的情况下，需要仔细比较和的大小关系，也就是和的大小关系，这是分类讨论的一大出发点. 21. 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数满足的条件. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）求出给定函数的导数，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的范围作答. （2）根据“0跃点”函数的定义，可得方程在R上有3个不同的解，构造函数令，利用导数判断单调性，求出极值得解. （3）根据题意将问题转化为在R上恰有两根，再构造函数，借助导数求解作答. 【小问1详解】 函数的导函数为， 因为函数是“跃点”函数， 所以方程有解，即有解， 又，所以. 【小问2详解】 函数的导函数为， 由题意可得方程，即在R上有3个不同的解， 令，则，令，得或， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，，当时，，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 函数的导函数为， 因为函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”， 所以方程，即在R上恰有两根， 令，则， 当时，，在R上单调递增，此时最多只有一个实根，不合题意； 当时，令，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，且， 又当时，，当时，， 要使得在R上恰有两根，仅需，即. 综上，实数满足的条件为且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $