2026年山东省临沂市部分学校中考二模九年级数学试卷

2026年山东省初中学业水平考试 数学试题 本试卷共8页。满分120分。考试时长120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写 在答题卡上。答案写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求 1.在某知识竞赛中，答对一题得5分，记为+5分，答错一题扣3分，则应记为 A.+5分 B.-5分 C.+3分 D.-3分 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A B 3.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是 正面 B D 第3题图 4.2025年，山东省经济运行稳健向好、进中提质，全年地区生产总值达到10.3万亿元，成为全国第 三个过10万亿元省份.数据“10.3万亿”用科学记数法表示为 A.0.103×104 B.1.03×103 C.1.03×104 D.10.3×102 5.下列运算正确的是 A.a3.as=als B.(-2a2)4=16a3 C.2a+3b=5ab D.(a+b)2=a2+b2 6.我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一个问题，大意是：有人用银子买骆驼和马两种性口，买 10匹马的价钱和买6匹骆驼的价钱是一样的，但是每匹骆驼比每匹马贵8两银子，问一匹马、一 匹骆驼各值多少两银子？设一匹马值x两，一匹骆驼值y两，则根据条件所列方程组为 (10x=6y, 10x=6y, A. B. y-x=8 x-y=8 C 6x=10y, 6x=10y, D. y-x=8 (xy=8 7.在平面直角坐标系x0y中，点A(a,8)与点B(-5,b)关于y轴对称，则a-b= A.-13 B.13 C.3 D.-3 8.在“海洋强国”主题实践活动中，老师准备了“蛟龙号”“科学号”“奋斗者号”“向阳红01”四款载 人潜水器或科考船的模型，要求每个小组随机抽取两款模型，制作科普展板进行成果展示，若每 款模型被抽到的可能性相等，则某小组恰好抽到“蛟龙号”和“奋斗者号”的概率是 A立 c D. 9.如图，⊙0是边长为2的正六边形ABCDEF的外接圆，以点F为圆心，AF长为半径画弧AE,则图 ! 中阴影部分的面积为 2 A. B.3 B 0 8 6 D ! C. D.3 第9题图 10.如图①，某游乐园内摩天轮的中心0点距地面的高度为24m,靡天轮绕中心0按逆时针方向 匀速转动.摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t(min)后，点P的高度h与t的函数图象 如图②所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是 h/m .点立&虹加应t/min 图① 图② 第10题图 A.当>0时，h随t的增大而增大 B.摩天轮的直径为45m C.P点离地面最高为45m D.P点离地面35m时，摩天轮转动了4min 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11.写出使二次根式√x-3有意义的x的一个值为 2分式方程子24的解为 13.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根，则实数m的取值范围是 14.如图，∠MON=45°，点A是OM上一点，且OA=1,过点A作OM的垂线交ON于点B,再过点B 作ON的垂线交OM于点A1,过点A,作OM的垂线交ON于点B,再过点B,作ON的垂线交 0M于点A2,…,按照如此规律操作下去，则A2sB2%的长为 BBB, 第14题图 第15题图 15.如图，在Rt△ABC中，AB=4,∠ACB=30°，点D是斜边AC的中点，点P是BC上一动点，则AP+ PD的最小值为 三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.(8分) (1)计算：√25-(-1)226+1-21； (2)先化简，再求值：1a-22-4 其中a=-3. 17.（8分) 如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于点D. (1)尺规作图：作AE∥BC交BD的延长线于点E;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，若AB=2,求DE的长. B 第17题图 18.(8分) 在平面直角坐标系0y中，已知一次函数y=mx+(m≠0)与反比例函数y=(k≠0)满足以下 条件： ①一次函数的图象经过点A(2,6); ②一次函数与反比例函数图象的一个交点坐标为B(1,2-12)； ③在反比例函数中，当>0时，y随x的增大而减小. 请解答下列问题： (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)设一次函数与反比例函数图象的另一个交点为C,求△B0C的面积 19.（10分) 为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模 式.其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模 式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动.一学期结束后，为了解两种课后 服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分（满分10分）. 【数据收集与整理】 一班和二班学生综合素质评分的数据整理如下表： 分数（分）》 6 7 8 9 10 一班人数（人） 4 11 10 3 二班人数（人） 7 13 5 【数据分析与运用】 为了更深入地对比两种课后服务模式下学生综合素质的情况，学校对两组样本数据的众数、中 位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 m n 7.925 1.219 二班 8 8 0.978 (1)表中m的值为 ,n的值为 ,P的值为 (2)对于这次测试，班级成绩比较整齐的是 班；（填“一”或“二”） (3)在第二学期，八年级一班也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综 合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数 为9，则评分为10分的同学最多有多少人？ 20.（10分) 如图，口ABCD的顶点A,B,D在⊙0上，边BC与⊙0相切于点B,对角线AC经过圆心O,与 ⊙0交于点E,连接DE,BO. (1)求证：CD是⊙0的切线； (2)若⊙0的半径为4，求口ABCD的面积 D 第20题图 21.（9分) 【实验主题】大型滑梯滑道长度检测 【实验背景】某游乐场计划为大型滑梯更换耐磨防滑垫，由于滑梯落差很大（超过8米），且滑 道表面有弧度，工程人员无法直接使用软尺贴合测量，为此，项目组设计了一个“高度一角度辅 助测量法”，利用三角函数间接计算滑道长度 【实验原理】如图①，将滑梯的滑道简化为直角三角形的斜边AC,已知滑梯平台的垂直高度AB =h(固定值)，滑道与水平地面的夹角∠ACB=a.在Rt△ABC中，利用正弦函数关系，可由片和 α推算出滑道长度L(即斜边AC的长). 【实验数据与任务】已知该系列滑梯平台的垂直高度h=10米 (1)【模型建立】设滑道长度AC=L(米)，滑梯平台的垂直高度AB=h(米)，坡角∠ACB=a,请用 含h,心的代数式表示L; (2)【数据检测】工程师对两个不同坡度的滑梯进行了测量，数据如下表： 滑梯编号 坡角x 标准滑道长度L(米) 滑梯A 30° 20 滑梯B 45 20 请通过计算判断：哪个滑梯的滑道长度不符合标准？（参考数据：√万≈1.414) (3)【误差探究】工程师在现场测量时发现，滑梯底部并非直接着地，而是与水平地面有一个倾 斜的缀冲坡道（如图②），若工程师在计算时，未考虑缓冲坡道的影响，仍错误地将滑梯主体AC 的垂直高度H按h代人进行计算. 请分析：①由于缓冲坡道占据了一定高度，滑梯主体的实际垂直高度H h;(填“>”“<” 或“=”) ②这样计算出的滑道长度L会比滑梯主体的真实长度 .(填“偏大”或“偏小”) A 图① 图② 第21题图 22.(11分) 二次函数y=-x2+(k+1)x+k2-2k+4的图象与y轴的交点为A. (1)若点A的坐标为(0,3)，求该二次函数的表达式； (2)在(1)的条件下，若B(t-1,y),C(2t,y2)在函数图象上，总有y,<y2,求t的取值范围 (3)判断二次函数y=-x2+(k+1)x+k2-2k+4的图象与x轴正半轴是否一定有交点？ 23.(11分) 如图①，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于 点E (1)求证：BD=√5CE; (2)在同一平面内，将△ADE绕公共顶点A逆时针旋转，连接BD,CE. ①如图②，当点D在△ABC内部时，判断(1)中的结论是否仍然成立？ ②如图③，当ED⊥BD时，设线段CE交BD于点F,连接AF,判断四边形AEDF的形状，并说明 理由； ③如图④，当点D在△ABC内部时，设射线BD与线段CE交于点G,且CG=2EG,若BC=4,求线 段CE的长 图① 图② 图③ 图④ 第23题图 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每 △FOE均是边长为2的等边三角形，.S南形 小题只有一个选项符合题目要求， S扇形ERO,SAAOF=SAROF,.S扇形MP0一S△MOP=S期形E0 快速对答案：1~5 DABBB 6~10 ADBAC S△oP,即S号形0=S号形60，则阴影部分的面积为扇形 60m×222m 1.D AOB的面积，.S阴影= 360 3 2.A 3.B 4.B【解析】10.3万亿=1.03×10×104×103=1.03 ×1013 5. B【解析】逐项分析如下： D 选项 逐项分析 正误 第9题解图 A a3·a5=a8≠a5 10.C【解析】结合函数图象分析，当t>0时，h随t的 增大先增大后减小，按此规律循环变化，故选项A B (-2a2)4=16a8 错误；摩天轮的直径为(45-24)×2=42(m),故选 c 2a和3b不是同类项，不能合并 × 项B错误；P点离地面35m时，摩天轮转动的时 D (a+b)2=a2+2ab+b2*a2+62 × 间点有很多个，故选项D错误；P点离地面的高度 A 【解析】一匹马值x两，一匹骆驼值y两，.根 最高为45m,故选项C正确， 据“买10匹马的价钱和买6匹骆驼的价钱是一样 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 的”可列方程10x=6y,再根据“每匹骆驼比每匹马 11.6(答案不唯一)【解析】要使二次根式√x-3在 贵8两银子”可列方程y-x=8,所列方程组 实数范围内有意义，则需满足x-3≥0，解得x≥3， 为 10x=6y, ∴.填写大于等于3的任意一个实数即可. y-x=8. ⑨新考法解读教育部发布的《关于加强初中学 7.D【解析】关于y轴对称的两点的横坐标互为相反 业水平考试命题工作的意见》中明确指出：提高开 数、纵坐标相等..点A(a,8)与点B(-5,b)关于y 放性试题比例，近年的中考试题中开放性试题的 轴对称，.a=5,b=8,.a-b=-3. 比例越来越高，这类试题主要的考查形式有：条件 8.B【解析】记“蛟龙号”“科学号”“奋斗者号”“向 开放、过程开放和结论开放，其中2025年山西、湖 阳红01”四款科考船的模型分别为A,B,C,D,列表 北、武汉、广东等地均有考查.其中，条件开放主要 如下： 有①添加/补充条件；②选择条件；③组合多选，攀 A B C D 论开放主要有①写出满足条件的值或表达式；② (A,B) (A,C) (A,D) 提出合理化的建议、给出合理化的评价、制定合避 B (B,A) (B,C) (B,D) 化的标准，均在统计题中考查. C (C,A) (C,B) (C,D) 12.x=-1【解析】去分母，得2(2x+1)=x-1,去邦 D (D,A) (D,B) (D,C) 号，得4x+2=x-1,移项、合并同类项，得3x=-3,系 由表格可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽 数化为1，得x=-1,检验：当x=-1时，（x-1)(2x+1 到“蛟龙号”和“奋斗者号”的结果有2种，.某小 ≠0，∴.x=-1是分式方程的解。 阻恰好抽到“较龙号”和“奋斗者号”的概率为 13.m≤3且m≠2【解析】小关于x的一元二次方特 有实数根，.22-4×(m-2)×1=12-4m≥0，解得m ≤3，又：方程为一元二次方程，.m-2≠0，解得 m≠2，.实数m的取值范围是m≤3且m≠2. 9.A【解析】如解图，连接OA,OF,六边形ABC DEF是正六边形，：LA0B=LA0F=∠EOF=360° P解题技巧 6 由一元二次方程根的情况确定字母的值： =60°，0B=OA=0F=0E,.△A0B,△A0F, 一元二次方程aax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式为 b2-4ac,根据根的情况，列不等式或等式，确定字 情形1“两定点+一动点”型异侧线段和最小值 母的取值范围或取值.分以下四种情况： 问题（图①） (1)当方程有两个不相等的实数根时，b2-4ac>0; 在直线L上找一点P,使得PA+PB的值最小. (2)当方程有两个相等的实数根时，b2-4ac=0; 情形2“两定点+一动点”型同侧线段和最小值 (3)当方程没有实数根时，b2-4ac<0; 问题（图②） (4)当方程有实数根时，b2-4ac≥0. 在直线L上找一点P,使得PA+PB的值最小 此外，当字母在二次项系数中时，还需要考虑二次 项系数不为0的情况： B 14.2226【解析】∠M0N=45°，BA⊥0M,A1B⊥ B ON,.△AOB,△A1OB均是等腰直角三角形， 图① 图② OA=AB=AA1=1,BA⊥OM,BA1⊥OM,.BA∥ 三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字 B1A1,∴AB是△A1OB,的中位线，∴A1B1=2AB=2,同 说明、证明过程或演算步骤 理可得A1B1是△A20B2的中位线，.A2B2=2A,B,= 16.解：(1)原式=5-1+2 (3分) =6; 2,同理可得A2B2是△A0B3的中位线，.A3B2= …（4分) 2A2B2=2,…,AnB。=2”,A2sB2s的长为220% (2)原式=1-a-2(a+2)(a-2) a a(a+1) 15.4√5【解析】如解图，作点D关于BC的对称点 -1-a~2 a(a+1) D',连接PD',AD',过点D'作D'E⊥AB交AB的延 a (a+2)(a-2) 长线于点E,DD'交BC于点F,则PD=PD',DF= -1、a+1 D'F,.AP+PD=AP+PD'≥AD',当且仅当A,P,D' a+2 1 三点共线时，AP+PD'的值最小，最小值为AD'的 a+2 …(7分) 长.AB=4,LACB=30°，BC=4B 4 tan30。万 当a=-3时，原式=1 -3+2 =-1.…(8分) 3 17.解：(1)解法一：如解图①，AE即为所求；… 4V5,DD'⊥BC,AB⊥BC,.D'D∥AB,D为AC …（4分） 的中点.DF是△ABC的中位线BP=宁BC= E 25,DF-AB-2,"DD'LBC,ABLBC,D'E AB,.四边形BFD'E是矩形，.ED'=BF=25, B BE=D'F=DF=2,·AE=AB+BE=4+2=6,在 第17题解图① Rt△AED'中，根据勾股定理得AD'=√AE2+EDz= 【解法提示】以点C为圆心，适当长为半径画弧分 √6+(23)2=45，.AP+PD的最小值为45. 别交AC,BC于点M,N,再以点A为圆心，CM长为 半径画弧交AC于点P,再以点P为圆心，MW长为 半径画弧与前弧交于点Q,连接AQ并延长，交BD 的延长线于点E,则AE即为所求 解法二：如解图②，AE即为所求；…（4分) D' 第15题解图 P解题技巧 点P为BC上一动点，点A,D为定点，即两定一 动，故考虑利用“将军饮马”模型求解 求线段和最小值问题的常见情形如下： 第17题解图② 解法三：如解图③，AE即为所求； …（4分)》 在一次函数y=2x+2中，令y=0,得x=-1, D(-1,0),…(6分州 Sac=5amt5aw00.lxl1+2o0-划 分142=3.（8分 1 2 第17题解图③ (2)AB=AC,∠BAC=36° 六L4BC=∠4C8=×(180-36°y=72, BD平分∠ABC, 第18题解图 LABE=LEBC=LABC=36 更多新考法试题见“考前预测大题”P21第1附 题、P24第20题 ,AE∥BC, 19.解：(1)8；8；8.35；…(3分) .∠EAD=LACB=72°，∠E=∠EBC=36°，… 【解法提示】一班和二班各40名学生，∴.一班得 …（6分) 分为8分的人数为40-4-11-10-3=12（人），二勇 ∴∠ABE=∠E,∠EDA=180°-∠EAD-∠E=180° 得分为8分的人数为40-1-7-13-5=14（人）； -72°-36°=72°， 班得分为8分的人数为12，是出现次数最多的， .AE=AB=2,∠EDA=∠EAD, 众数m=8;一班得分数据按从小到大的顺序排列 DE=AE=2.… (8分) 更多新考法试题见“考前预测大题”P21第17 后，第20,21个数分别为8,8，中位数n=8+8 2 题、P23第17题、P25第17题 1 18.解：(1)根据条件②，把(1,2-12)代人反比例函数y 8;二班的平均分p=40x(6×1+7×7+8×14+9x13 =兰（0)中，得-2=-解得=3或=4， 10x5)=8.35 (2)二；…(5分 根据条件③，在反比例函数中，当x>0时，y随x的 【解法提示】.1.219>0.978，.一班成绩的方 增大而减小， 大于二班成绩的方差，二班的成绩比较整齐 ∴.反比例函数图象在第一、三象限， (3)由(1)知，一班总人数为40人， .k>0,k=4, 中位数为8.5， 反比例函数的表达式为y=兰，一次函数与反比 ·.将所有同学的成绩按从小到大的顺序排列后 第20,21名同学的成绩分别为8分和9分， 例函数图象的一个交点坐标为B(1,4), … .评分为9分和10分的人数为20人， …(2分) 又众数为9， 根据条件①，把(2,6)，(1,4)代人一次函数y=mx .评分为10分的同学最多有9人.…（10分 +n中， 得2m*n=6, 更多新考法试题见“考前预测大题”P22第华 解得 (m=2, 题、P26第19题 m+n=4, n=2, 20.（1)证明：如解图①，连接0D, .一次函数的表达式为y=2x+2;…(4分) D (2)令2x+2=4,解得x=1或x=-2, 当x=-2时2=2=2,7 ∴C(-2,-2),画出草图如解图，…（5分) 第20题解图① 设一次函数图象与x轴交于点D, .AC经过圆心0，D在⊙0上，.∠ADE=90° :BC切⊙O于点B, 长度一致，符合标准； ∠CB0=90°，∴.∠ADE=∠CB0 :四边形ABCD是平行四边形， 滑梯B:a=45°，L=10 -10=10反（米）≈ sin 45 ∴.ADBC,AD=BC,CD∥AB, 2 .∠EAD=∠OCB,∴.△AED≌△COB, 14.14(米)，与标准长度20米不符，不符合标准， .DE=BO,∠DE0=∠COB. 综上，滑梯B不符合标准； …(7分) OB=OD=OE,..DE=OD=0E, (3)①<；②偏大. (9分) .△DOE是等边三角形， 【解法提示】①由于缓冲坡道占据了一定高度， .∠D0E=∠DE0=60°，∴.∠C0B=60°， 滑梯主体AC的实际垂直高度H小于h;②工程师 .∠0AB=∠C0B=30°， 错误地将h代入公式L=h进行计算，“H<h, 2 sin o .CD∥AB, :真实长度应为H<h,即计算出的滑道长 ‘.∠DC0=∠OAB=30°， sin a sin a .∠D0E+∠DC0=60°+30°=90°， 度L会比真实长度偏大 .∠0DC=90°， 0D是⊙0的半径， .CD是⊙O的切线； (5分)》 22.解：(1)把A(0,3)代人二次函数y=-x2+(k+1)x+ (2)解：如解图②，连接OD,BD,… (6分) k2-2k+4中， 由(1)知∠DC0=30°， 得2-2k+4=3,解得k=1, LDAC=7∠D0E=30°，AD=CD .二次函数的表达式为y=-x2+2x+3;…(3分) ∴，∠DAB=∠DAC+∠CAB=30°+30°=60°， (2) ∠ABD=∠DE0=60°， ®解题思路。 ∴.△DAB是等边三角形， 二次函数的表达式为y=-x2+2x+3, ⊙0的半径为4，.AE=8, .二次函数图象的对称轴为直线x=1, 在Rt△AED中，AD=AE·cos∠EAD=8cos30°=4W5, .当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随 .AD=AB=BD=43, x的增大而减小 ①肖t12t时，即tK-1,则t-1<-2, SAC2m=2 AB2=24V5.·(10分) 4 .2<51<-2 此时点B,C均在二次函数图象的对称轴左侧，在 D 对称轴左侧，y随x的增大而增大，横坐标大的纵 坐标大 B 不符合题意，舍去； 第20题解图② ②当t-1=2t时，即t=-1,则B,C两点重合， ∴y1=y2,不符合题意，舍去； ③当t-1<2t时，即t>-1,则点B在点C的左侧. 21.解：(1)在Rt△ABC中，in&=A8么 AC,变形可得 若-1<2≤1，即-1≤分则y, 此时，点B,C在二次函数图象的对称轴左侧或对称 h L= …………… (2分) 轴上，y随x的增大而增大，横坐标大的纵坐标大 sin a (2)分别代人h=10米，结合参考数据计算两个滑 若t-1<1<2t,即号<t<2,要使y1<y2,则1-(t-1)> 2 梯的理论滑道长度： 26-1 1010 滑梯A:a=30°，L= 此时点B在对称轴左侧，点C在对称轴右侧，且点 in30°1 =20(米)，与标准 B离对称轴的距离大于点C离对称轴的距离 2 1 即K12K1, 23.(1)证明：：△ABC是等腰直角三角形，∠AC =90°， 若1≤t-1<2t,则y>y2,不符合题意，舍去 .AC=BC,AB=√2AC, 综上，-1<t<1;… (7分) ,点D是AB的中点，DEBC, （3)解法一：在二次函数y=-x2+(k+1)x+k2-2k+ 4中， 5点8是AC的中点，80=宁B, 令y=0,得-x2+(k+1)x+k2-2k+4=0, CE=2AC, (+124(-2+4=5-6t+17=5(5-3+ .BD=√2CE; (2分) 草 (2)解：①：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB =90°， .方程有两个不相等的实数根， ∴.∠CAB=∠CBA=45°， .二次函数的图象与x轴一定有两个不同的 由题图①中DE∥BC,∠ACB=90°，得DE⊥AE, 交点 易知△ADE是等腰直角三角形，∠DEA=90°， 设方程-x2+(k+1)x+2-2k+4=0的两根为名1，x2, 则x1x2=-(2-2k+4)=-[(k-1)2+3], 六AD=2AE,即 AE =2, (k-1)2≥0，.(k-1)2+3≥3>0， ·MB=2AC,即 =瓦， C 因此，x1x2=-[(k-1)2+3]<0,两根之积为负数， AB AD “.方程的两个根为一正一负， AC AE ∴.二次函数y=-x2+(k+1)x+k2-2k+4的图象与x 根据旋转的性质得∠EAC=∠DAB, 轴正半轴一定有交点.… (11分) .△ACE∽△ABD, 解法二：在二次函数y=-x2+(飞+1)x+2-2k+4中， BD AB 令y=0,得-x2+(k+1)x+k2-2k+4=0, CE AC =2, :(+1)+4-2+4)=5张-6+17=5(63）+ .BD=√2CE; （1)中的结论仍然成立； …(4分 0, 76 ②四边形AEDF为正方形，理由如下：·(5分 易知△ADE是等腰直角三角形，∠DEA=90°， .方程有两个不相等的实数根， AE=DE,∠EAD=∠EDA=45°， “.二次函数的图象与x轴一定有两个不同的 DE⊥BD,.、∠EDF=90°， 交点 .∠FDA=45°， 在二次函数y=-x2+(k+1)x+2-2k+4中， 同理①可得△ACE∽△ABD, .-1<0, .∠CEA=∠BDA=45°， .二次函数图象开口向下， .∠CEA+∠EAD=90°， 令x=0,得y=k2-2k+4=(k-1)2+3>0, EF⊥AD, .二次函数图象与y轴交于正半轴， AE=DE, .二次函数y=-x2+(k+1)x+k2-2k+4的图象与x .EF垂直平分AD, 轴正半轴一定有交点.…（11分) ..AF=DF, ∴.∠FAD=∠FDA=45°， .∠EAF=∠EAD+∠FAD=90°， .LDEA=∠EAF=LEDF=90°， 、四边形AEDF是矩形， ·AE=DE, 四边形ADF是正方形 ③ 在△AGN和△MGN中， 國解题思路 [GN=GN, 如解图，过点C作CM∥DE交BG的延长线于点 ∠GNA=∠GNM, M,连接AM,延长CE交AM于点N,连接AG, AN=MN, M ∴.△AGN≌△MGN(SAS), ∴.AG=MG,∠AGN=∠MGN=45°， .∠DGA=180°-45°-45°=90°， A B MG=2DG, 第23题解图 ..AG=2DG, ←CMG人GDE人MCG5人DEG 在Rt△ADG中，由勾股定理得DG+AG2=AD2,即 ACMGAEDG DG2+(2DG)2=(22)2, 两角分别相等的两个三角形相似 CG MG CM 解得DG=2Vo 5, EG DG ED' ·CG=2EG, AG=2x21⑩4V10 5 5, .CM=2DE,MG=2DG, 在Rt△ABG中，由勾股定理得BG2+AG2=AB2,即 .BC=4, B0+4)2=(4a), AC=4,DE-2BC=2 5 ∴.CM=4,AB=√2AC=4√5，AD=√2DE=22, 解得BG=8V⑩ 5, ∴.CM=BC, BC=AC, ÷BD=BG-DG=8/02W⑩6v10 55 5 ∴.CM=AC, 由①知BD=√2CE, ∴.△ACM是等腰三角形， 由①得△ACE∽△ABD, CE=√2BD=2x6Y10=65 5 5 …(11分) 2 .·∠ACE=∠ABD, 【难点突破】第(2)③问，作出辅助线，通过在等腰 设∠ACE=∠ABD=,则∠CBM=45°-a, △ACM中的计算，求出∠AGB的度数，得出线段 .CM=CB, AG与DG的数量关系是解题的关键. ∴.∠C1MB=∠CBM=45°-a, .∠MCG=180°-90°-(45°-ax)×2-=a; .∠MCG=∠ACG=a,∠MGN=∠CGB=45°-a+a =45°， ∴.AN=MW∠4NG=∠MNG=90° 等腰三角形“三线合一”的性质