精品解析：河南郑州市明德中学2025-2026学年下学期期中考试高二年级数学

河南郑州市明德中学2025-2026学年下学期期中考试高二年级数学 满分150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 某校高一新生中的3名同学打算参加“动漫乐园”“学生公司”“篮球之家”“相声社”四个社团.每名同学必须参加一个社团，且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（ ） A. 64 B. 81 C. 24 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】 根据分步计数原理求解． 【详解】由题意方法数为． 故选：A. 【点睛】本题考查分步计数原理，掌握各步概念是解题关键． 2. 满足不等式（）的的值可能为（ ） A. 8 B. 9 C. 7 D. 11 【答案】D 【解析】 【详解】由可得 故，化简得，故，D选项满足条件. 3. 二项式的展开式中，的系数为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理即可求解. 【详解】解：根据二项展开式得通项， 令，解得， 所以当时，，所以的系数为10， 故选：A. 4. 如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3时的三种正态曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( ) A. σ1>1>σ2>σ3>0 B. 0<σ1<σ2<1<σ3 C. σ1>σ2>σ3>0 D. 0<σ1<σ2=1<σ3 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，可得结论． 【详解】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，可知： 当0＜σ＜1时，它与y轴交点的纵坐标大于f（0）=； 当σ＞1时，它与y轴交点的纵坐标小于f（0）．结合图象可知选D． 故选D． 【点睛】本题考查正态曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”． 5. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表：其经验回归方程为，则（ ） 3 4 5 6 7 2.4 4 4.6 5.2 A. 2.8 B. 3 C. 3.2 D. 3.4 【答案】A 【解析】 【详解】由表格知，，经验回归方程经过点， 所以，解得. 6. 假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可. 【详解】对A：由，故，故A正确； 对B：成立的条件为，为相互独立事件，故B错误； 对C：，， 成立的条件为，故C错误； 对D：，若，则， 成立的条件为，为相互独立事件，故D错误. 7. 给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（ ） A. 320 B. 630 C. 720 D. 1560 【答案】B 【解析】 【详解】现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同， 则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类： 若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法； 若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种； 若种4种花，有种， 则不同的种法总数为． 8. 从含有2个红球和4个黑球的盒子中任意摸出4个球，假设每个球被摸到的可能性相同，记摸出的4个球中黑球数与红球数的差的绝对值为，则（ ） A. B. C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】 的可能取值为：，计算，，，得到答案. 【详解】的可能取值为：， 则，，， 故， 故，. 故选：. 【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 二、多选题（每题6分，共18分；全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 设，则下列说法正确的有（ ） A. 的展开式中所有项的系数的和为1 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，取，得的展开式中所有项的系数的和为，A正确； 对于B，取，得，B正确； 对于C，取，得，而， 因此，C正确； 对于D，依题意，，当为偶数时，，当为奇数时，， 因此，D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有种 B. 甲乙等6名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间且甲乙必须站在一起的站法有192种 C. 将10个“三好生”名额分给4个班级，每班至少1个名额，共有84种分法 D. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，共有150种放法 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A至少取到1件次品的取法分为两类，抽1个次品1个正品和抽2个次品； 选项B特殊位置优先排，相邻问题要捆绑处理； 选项C相同元素分配问题，可用隔板法； 选项D不同元素分配问题，先分组再分配. 【详解】选项A：从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有种，故A错误； 选项B：甲乙等6名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间，故只需排6名学生， 老师左右各三个位置，甲乙必须站在一起，将甲乙捆绑看作一个元素， 若甲乙在老师左边，则左边还有1个位置可以在甲乙左侧或右侧，右边有3个位置， 若甲乙在老师右边，则左边还有1个位置可以在甲乙左侧或右侧，左边有3个位置， 共有种，故B正确； 选项C：隔板法，可以把问题看做由3个隔板插入10个相同元素中的9个空里，把10个元素分为4份，故共有种，C正确； 选项D：先分组，再排列， 第一类，将5个不同的小球分为数量为3、1、1的三组，再排列，有种； 第二类，将5个不同的小球分为数量为2、2、1的三组，再排列，有种 共有种，故D正确. 故选：BCD 11. (多选题)下列说法中正确的是（ ） A. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等. B. 若A、B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥. C. 某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，则每4人中必有1人抽中. D. 若回归直线的斜率，则变量与正相关. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图和回归直线方程，以及互斥事件和对立事件的概念，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A中，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确的； 对于B中，若A、B为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，所以不正确； 对于C中，某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，根据概率的概念，可得每4人中不一定必有1人抽中，所以是不正确的； 对于D中，若回归直线的斜率，根据回归系数的含义，可得变量与正相关是正确的． 故选AD． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图和回归直线方程的应用，以及互斥事件与对立事件的应用，其中解答熟记统计知识和互斥事件和对立事件的基本概念，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 三、填空题（每题5分，共15分) 12. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】应用条件概率公式及概率基本性质计算求解. 【详解】由，有， 又由， 可得. 故答案为： 13. 甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，甲乙共胜3盘有如下两种情况：甲胜1盘，乙胜2盘或者甲胜2盘，乙胜1盘，列出式子，即可得到结果. 【详解】甲乙共胜3盘有如下两种情况： 甲胜1盘，乙胜2盘，其概率为， 甲胜2盘，乙胜1盘，其概率为， 故甲乙两人在两轮比赛中共胜三盘的概率为. 故答案为： 14. 若，则_______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】由组合数的性质结合得，解得， 则． 四、解答题 15. 某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： （1）抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； （2）他能过关的概率． 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，由题意分析服从超几何分布，直接求出概率，写出分布列即可； （2）利用第一问直接求出能过关的概率． 【小问1详解】 记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布， 所以， 所以，， ，， 的概率分布列为： 0 1 2 3 【小问2详解】他能过关的概率为 16. 某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． （1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； （2）在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【答案】（1）1587 （2）0.0989 【解析】 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【小问1详解】 已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布． 由题意得.因为，又. 即，所以，解得. 因为甲市学生A的成绩为分，且. 又，即. 所以学生在甲市的大致名次为名. 【小问2详解】 在本次模拟考试的学生中，抽取名化学成绩在之内的概率为. 所以抽取名化学成绩在之外的概率为. 所以随机变量Y服从二项分布，即， 所以. 17. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下： 零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5 （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出y关于x的线性回归方程； （3）试预测加工10个零件需要多少时间. 参考公式：回归直线， 其中， 【答案】（1）见解析；（2）；（3）8.05 【解析】 【分析】（1）根据题中的数据画出散点图即可．（2）由题中数据求得，然后结合给出的参考公式求得后可得线性回归方程．（3）根据（2）中的方程进行预测即可得到结论． 【详解】（1）作出散点图如下： （2）由题意得 ， ∴， ∴． ∴所求线性回归方程为． （3）当x=10，得（小时）． ∴可预测加工10个零件大约需要8.05个小时． 【点睛】（1）判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图，根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关性，是正相关还是负相关． （2）求回归方程，关键在于正确求出系数，由于的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误． 18. 现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为，第2台车床的正品率为，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的. （1）从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率； （2）从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计的数学期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件概率求解即可； （2）求出的可能取值，则服从二项分布，由二项分布的均值公式求解即可. 【小问1详解】 不难知，第1台加工零件的次品率为，第2台加工零件的次品率为. 记事件表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是次品”， 事件表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是第台车床加工的”，. 则. 【小问2详解】 的可能取值为，且服从二项分布. 由（1）知，. . 19. 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. （1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2）. （3）第4项和第5项 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出的值，再求出展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和即可； （2）求出展开式的通项公式求解，令为整数即可； （3）设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果. 【小问1详解】 由题，可得，即，即，又，所以， 令，得，故系数和为，各项的二项式系数和为， 故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为. 【小问2详解】 因展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. 【小问3详解】 因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得或， 故展开式的第4项和第5项的系数最大， 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南郑州市明德中学2025-2026学年下学期期中考试高二年级数学 满分150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 某校高一新生中的3名同学打算参加“动漫乐园”“学生公司”“篮球之家”“相声社”四个社团.每名同学必须参加一个社团，且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（ ） A. 64 B. 81 C. 24 D. 72 2. 满足不等式（）的的值可能为（ ） A. 8 B. 9 C. 7 D. 11 3. 二项式的展开式中，的系数为 A. B. C. D. 4. 如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3时的三种正态曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( ) A. σ1>1>σ2>σ3>0 B. 0<σ1<σ2<1<σ3 C. σ1>σ2>σ3>0 D. 0<σ1<σ2=1<σ3 5. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表：其经验回归方程为，则（ ） 3 4 5 6 7 2.4 4 4.6 5.2 A. 2.8 B. 3 C. 3.2 D. 3.4 6. 假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（ ） A. 320 B. 630 C. 720 D. 1560 8. 从含有2个红球和4个黑球的盒子中任意摸出4个球，假设每个球被摸到的可能性相同，记摸出的4个球中黑球数与红球数的差的绝对值为，则（ ） A. B. C. D. 12 二、多选题（每题6分，共18分；全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 设，则下列说法正确的有（ ） A. 的展开式中所有项的系数的和为1 B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有种 B. 甲乙等6名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间且甲乙必须站在一起的站法有192种 C. 将10个“三好生”名额分给4个班级，每班至少1个名额，共有84种分法 D. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，共有150种放法 11. (多选题)下列说法中正确的是（ ） A. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等. B. 若A、B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥. C. 某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，则每4人中必有1人抽中. D. 若回归直线的斜率，则变量与正相关. 三、填空题（每题5分，共15分) 12. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则______. 13. 甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为________. 14. 若，则_______．（用数字作答） 四、解答题 15. 某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： （1）抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； （2）他能过关的概率． 16. 某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． （1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； （2）在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 17. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下： 零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5 （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出y关于x的线性回归方程； （3）试预测加工10个零件需要多少时间. 参考公式：回归直线， 其中， 18. 现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为，第2台车床的正品率为，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的. （1）从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率； （2）从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计的数学期望. 19. 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. （1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $