精品解析：山东菏泽市单县第一中学等校2026届高三二模适应性考试数学试题

高三二模适应性考试 数学试题 2026.4.29 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因， 则. 2. 已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】， 因为复数的实部与虚部相等，所以，得. 3. 定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及已知条件，求得的周期；再根据函数的周期性，结合奇偶性即可求得函数值. 【详解】因为为奇函数，所以，因为为偶函数，所以，即， 从而，得 ， 所以以4为周期的周期函数， ， ， 所以． 故选：A 4. 在数列中，已知，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，由可得， 则数列为等差数列，因，得， 则数列的公差， 于是， 故. 5. 已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据公切线条数判断两圆的位置关系，再根据圆心距列式求解. 【详解】∵圆的标准方程为，∴圆的圆心为，半径为. 又圆的圆心为，半径为. ∴两圆的圆心距为. ∵两圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切， ，解得. 6. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】角的终边经过点， 点到原点距离， ，， 所以.​ 7. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可作出其图象，由此可得到的图象，将方程有且仅有4个不同的实根，转化为和对应的方程的根的总数为4个，数形结合，即可求解. 【详解】由可得定义域为，且， 当且时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以：是极大值点，； 当时，；当时，； 由此可作出函数的图象： 令，则原方程可化为：， 得或， 原方程有且仅有4个不同的实根，等价于和对应的方程的根的总数为4个； 结合的图象可得的图象： 由题意知以及，故，且， 结合图象，要使得和有且仅有4个不同的实根， 需满足且，即得，此时有1个解，有3个解， 即. 8. 椭圆的左、右焦点分别为、，上点位于第一象限内，为坐标原点，，线段与轴交于点且，若的面积等于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据得，再根据以及与轴交于点列两组等式求出，并得到，由此可判断出的形状，并据此及的面积列等式求出c的值，最后再求出． 【详解】 设，根据可得， 因为，所以、、共线， 可得，化简得（1）， 又因为直线过点、，可得直线的方程为， 代入得，化简得（2）， 联立（1）（2）可得，易知，所以，即， 所以，即，又，所以轴， ，解得， 因此，在中，， 所以． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知平面向量，，则下列说法错误的有（ ） A. 当时， B. 若，则或 C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 若和的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量共线求解选项A.根据向量垂直求解选项B.根据投影向量求解选项C.根据向量数量积求解即可. 【详解】对于A，因为，，， 所以或，A错误； 对于B.，则，化简得， 解得或，B正确. 对于C.当时，，， 所以在方向的投影向量为，C正确； 对于D，因为与的夹角为钝角，所以，且，不反向平行， 由，解得，由可得或， 当时，，，，反向平行，夹角不是钝角， 当时，，，，方向相同， 所以若和的夹角为钝角，则的取值范围为，D错误. 10. 满足，且，则（ ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与交于，则的长为 D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用角平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出的长度，最后借助数量积的几何意义即可求出最大值. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 对于A：由余弦定理知，，因为，所以， 所以，即，故A正确； 对于B：因为， 所以的周长为，故B正确； 对于C：若的角平分线与交于，则， 因为， 所以， 即，解得，故C错误； 对于D：因为， 设外接圆的圆心为，半径为， 由正弦定理知，，所以， 过点作的垂线，垂足为，则， 当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示， 此时， 所以的最大值为，故D正确. 11. 已知在棱长为1的正方体中，为侧面内一点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则的最大值为 B. 若点在线段上，则的最小值为 C. 存在点，使得点和点到平面的距离相等 D. 三棱锥外接球的体积的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据题意，点的轨迹为线段，再判断的最值即可；对于B，将沿翻折到与平面共面，再计算最值即可；对于C，易得点在线段上；对于D，设平面的中心为，平面的中心为，易知三棱锥外接球的球心在线段上，令，外接球半径为，利用勾股定理表示出，结合函数的性质求最值即可． 【详解】易知平面， 又点在侧面内， 点的轨迹为线段，当点在处时，取最大值为，故A正确； 将沿翻折到与平面共面，且在的异侧， 如图，连接，交于点， 则即为的最小值， 易知最小值为，故B错误； 由平分可知点和点到平面的距离相等， 若点和点到平面的距离相等，必有平面， 又，点在线段上，故C正确； 设平面的中心为，平面的中心为， 易知三棱锥外接球的球心在线段上， 令，外接球半径为，则. 又，整理得， 当时，，此时外接球的体积为， 即点与点重合时，三棱锥外接球的体积取最小值，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程表示双曲线，确定m的范围，结合双曲线的渐近线方程可得关于m的方程，即可求得答案. 【详解】由方程表示双曲线，可知， 则方程即为方程，即得， 方程表示焦点在x轴上的双曲线，由已知其渐近线方程为， 则. 13. 如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为______. 【答案】## 【解析】 【详解】过作于点，如图： 则，. 由题意得，均为圆的切点， 由切线的性质可知 所以. 则，所以，所以球的半径， 所以球的体积，圆台的体积， 所以. 14. 已知实数a，b满足，若对任意实数c，d，记的最小值为M，则M的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得或，结合图形及几何意义进行求解． 【详解】解：， 或， 即或， 故点在如图直线族中， 表示点与点距离的平方， 又相邻两直线的距离， 所以的最小值， 故M的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明： ∴ 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【小问1详解】 ∵ ，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； 【小问2详解】 略 16. 甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立. （1）在前两个球发完后，求甲共得2分的概率； （2）设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） X 0 2 4 6 P . 【解析】 【分析】（1）设“第（1，2，3）个球甲发球成功”，“第（1，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得2分”，由，结合互斥事件、独立事件概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解. 【小问1详解】 设“第（1，2，3）个球甲发球成功”， “第（1，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得2分”， 则，且与相互独立， 与相互独立，与互斥， 所以. 【小问2详解】 X的可能取值为0，2，4，6. ， ， ， . 的分布列为： 0 2 4 6 P 故. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，． （1）证明：平面PAC； （2）已知，点满足平面PEC． （i）求； （ii）求平面PBD与平面PEC夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为ABCD为菱形，所以，设AC，BD交于点，则， 又因为，所以，因为，AC，平面PAC，所以平面PAC． （2）； 【解析】 【分析】（1）设AC，BD交于点，通过证明即可证明平面PAC； （2）（i）取PC中点，通过证明及可得OFEB是平行四边形，即可求得； （ii）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBD、PEC的法向量，通过法向量求解余弦值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）取PC中点，则且，由知， 所以，即四点共面， 因为平面PEC，平面OBEF，平面平面，所以， 因此OFEB是平行四边形，故，即． （ii）由（1）可知，平面PAC，因为平面ABCD，所以平面平面PAC， 因为平面平面，所以在平面PAC内作Oz垂直于AC，如图， 以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意可知，，，， 因为，且，所以，， 因此，，， ，， 由此可知，设平面PBD的一个法向量， 则，也即， 令，得，设平面PEC的一个法向量， 则，也即， 令，得，所以， 所以平面PBD与平面PEC夹角的余弦值为． 19. 已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点． （1）求的标准方程； （2）若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设， ， ，则，由题意有． 直线的斜率即 的斜率为，所以直线的方程. 所以，又，在椭圆上， ∴，∴. ∴， ∴. （ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）设椭圆焦距为 ，则椭圆过点，代入椭圆方程，结合 及，求出，即可得到椭圆的标准方程； （2）（ⅰ）设各点的坐标，利用点差法，用表示，即可证为定值；（ⅱ）根据直线的斜率与倾斜角的关系，利用两角差的正切公式，并结合基本不等式可求得的最小值． 【小问1详解】 由题意有 ，所以 . 设椭圆焦距为 ，易知椭圆过点，所以. 又，所以. 所以，即，解得. 所以 ，，故的标准方程为 ． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）∵， 而，， 由（ⅰ）知， ∴ ，又 ， ∴， ∴. 当且仅当，即时等号成立. 所以．的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三二模适应性考试 数学试题 2026.4.29 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 1 3. 定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 在数列中，已知，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的左、右焦点分别为、，上点位于第一象限内，为坐标原点，，线段与轴交于点且，若的面积等于，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知平面向量，，则下列说法错误的有（ ） A. 当时， B. 若，则或 C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 若和的夹角为钝角，则的取值范围为 10. 满足，且，则（ ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与交于，则的长为 D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为 11. 已知在棱长为1的正方体中，为侧面内一点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则的最大值为 B. 若点在线段上，则的最小值为 C. 存在点，使得点和点到平面的距离相等 D. 三棱锥外接球的体积的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则__________. 13. 如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为______. 14. 已知实数a，b满足，若对任意实数c，d，记的最小值为M，则M的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 16. 甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立. （1）在前两个球发完后，求甲共得2分的概率； （2）设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，． （1）证明：平面PAC； （2）已知，点满足平面PEC． （i）求； （ii）求平面PBD与平面PEC夹角的余弦值． 19. 已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点． （1）求的标准方程； （2）若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $