精品解析：山东省单县第一中学2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试题

单县一中高三第二次模拟考试 数学试题 时间120分钟，分值150分 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的运算性质得出，再根据子集的性质和集合性质得出即可求出答案. 【详解】由得到，由子集的性质可知． 对于任意的实数，,不能等于，由集合元素的互异性，不成立， 故只能是；求出. 故选：C 2. 已知复数，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数，得到复数z在复平面内对应的点，即可得到答案． 【详解】，则，则． 所以复数在复平面内对应的点为，该点位于复平面的第三象限． 故选：C． 3. 已知向量且则在上的投影向量为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求出再利用投影向量公式求解. 【详解】解：因为， 所以 所以在上的投影向量为， 故选：D 4. 若则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，将二项式变形为，然后利用二项式展开的通项公式，即可求得a1的值. 【详解】因为， 令，则，所以， 又因为展开式的通项为， 令，解得，所以， 故选：D. 5. 设a，bR，则下列结论正确的是（ ） A. 若a>b，则 B. 若a<b<0，则 C. 若a+b=2，则≥4 D. 若，则a>b 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明判断AD；利用不等式的性质推理判断BC. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，，，当且仅当a＝b＝1时取等号，C正确； 对于D，取满足，而不成立，D错误. 故选：C 6. 已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由，点到直线距离公式列出方程，求出此时，充分性成立；求出所过定点，再由存在唯一k使得直线l与相切”，得到或定点在圆上，得到方程，求出相应的答案，必要性不成立. 【详解】时，到的距离为， 故，解得， 满足存在唯一k使得直线l与相切”，充分性成立， 经过定点， 若，，若，此时直线， 直线与相切，另一条切线斜率不存在， 故满足存在唯一k使得直线l与相切”， 当在上，满足存在唯一k使得直线l与相切， 故， 又，解得，必要性不成立， 故“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的充分不必要条件. 故选：A 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】令易知是的一个根.当时，令利用导数研究其单调性可判断方程根的个数.当时画出两个函数的图象判断交点个数求解. 【详解】解：令 当时 故是的一个根. 当时 令 则 所以在上单调递增， 所以 所以时即方程在无实数根. 当时 在上单调递减，且 如图所示： 与的图象在上有两个交点， 所以方程在有两个不同的根. 综上所述，曲线与的交点个数为 故选：C 8. 正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求点的轨迹方程，并确定三棱锥体积最大时的点的位置，再代入三棱锥外接球的半径公式，即可求解. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ，，，由可知， ， 整理为， 所以点的轨迹是平面内，以为圆心，2为半径的圆， 如下图，点到平面的最大值为6，此时点在的延长线上，且， 所以平面，， 等腰直角三角形的外接圆的半径为， 所以三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知变量x，y的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为，则（ ） x 1 2 3 4 5 y 5 9 10 11 15 A. B. 当时，对应样本点的残差为 C. 表中y的所有样本数据的第70百分位数是11 D. 去掉样本点后，y与x的样本相关系数不变 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据表中的数据求出，代入回归方程可求出，对于B，根据残差的定义求解判断，对于C，根据百分位数的定义求解判断，对于D，由于且样本中心点在回归直线上，从而进行判断. 【详解】对于A，由表中数据可得，， 因为经验回归方程为经过点，则，解得，故A错误； 对于B，当时，，残差为，故B正确； 对于C，因为，所以表中y的所有样本数据的第70百分位数是第4个数，为11，故C正确. 对于D，因为，所以去掉样本点后，y与x的样本相关系数不变，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数与其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A.由为奇函数判断；BC.由求导判断；D.由还原原函数判断. 【详解】解：因为为奇函数，所以所以A正确； 由A可知，求导数所以关于直线对称， 又所以即故B错误，C正确 因为所以 所以D错误. 故选：AC 11. 在平面直角坐标系xOy中，给定n个点到这n个点的距离之和为定值d的点的轨迹，称为“多焦点曲线”，其轨迹方程记为已知则（ ） A. 多焦点曲线所围成图形的面积为 B. 多焦点曲线是焦点为的椭圆 C. 若存在满足方程的点则 D. 若多焦点曲线所围成图形的面积为S，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，可知表示以为圆心，1为半径的圆，即可判断； 对于B，推出表示线段 对于C，取点以为边作等边其中点Q在内，得到即可判断； 对于D，分别以点、、为圆心，2为半径作圆弧、、推出满足条件的点M在三个圆弧分别与三角形的三条边围成的三个弓形内包含点、、即可求解. 【详解】对于A，表示到点的距离的曲线， 是以为圆心，1为半径的圆， 则多焦点曲线所围成图形的面积为故A正确； 对于B，表示到点和到点的距离之和为定值2的曲线， 因为所以多焦点曲线是线段故B错误； 对于C，存在满足方程的点 即 取点，可知和均为等边三角形， 显然当点M在内时，取得最小值， 如图： 以为边作等边，其中点Q在内，则， 由， 可得，，又，则≌， 可得， 则， 当且仅当点M为的中心时取等号，即，故C正确； 对于D，设满足多焦点曲线的点， 则， 若点M在内， 过点M作分别交、于点D、E， 则为等边三角形，即， 可知， 则 ， 故内的点不满足 若点M在三边上时， 根据对称性，不妨设点M在边上， 则 当且仅当点M与点或点重合时取等号， 因此，当点M在三边上时， 当且仅当点M与点、、重合时满足 若点M在外， 分别以点、、为圆心，2为半径作圆弧、、,如图： 根据对称性，不妨考虑点M在上的情况， 此时不满足 当点M在三段圆弧围成的曲边三角形外时，显然不满足 故满足的点M在三段圆弧分别与三角形的三条边围成的三个弓形内包含点、、 所以多焦点曲线应该是经过点而且在三段圆弧分别与三角形的三条边围成的三个弓形内的一条封闭曲线， 所以所围成图形的面积大于的面积小于外接圆的面积. 故多焦点曲线所围成图形的面积S满足.故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有人，则数学成绩超过分的人数大约为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据总体密度函数可知，结合对称性求出，再估计人数即可. 【详解】因为总体密度函数为：， 所以，即， 由，所以, 所以数学成绩超过分的人数大约为人， 故答案为：. 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 14. 抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】设直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，再结合导数的几何意义得到在A、B处的切线方程，联立后求出的坐标，从而得到，从而表达出，结合对勾函数单调性得到最值. 【详解】由题意得，当直线斜率为0时，不满足与抛物线交于两个点， 设直线方程为，联立得，， 设，， 则， 故，， 故， ，，故过的切线方程为， 同理可得过点的切线方程为， 联立与得 ， 故 ， 故， ，则， 故， 其中，由在上单调递增， 故当，即时，取得最小值， 最小值为. 故答案为：9 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 在前项和为的等比数列中，，，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据等比数列的通项公式，由，可以计算得出等比数列的公比或，分别再由得，验证，是否符合，得到，得出数列的通项公式. (2)根据，得出的通项公式，错位相减得出. 【小问1详解】 设数列的公比为， 由，得，所以，解得或， 若，则由，得，所以，与矛盾，所以， 若，则由，得，所以，，符合 ，所以，，所以. 故数列的通项公式为： 【小问2详解】 由， 两边乘以2得 ， 两式相减得：， 故数列的前项和. 16. 某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. （1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率； （2）设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； （3）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】（1）； （2）的分布列为： 1 2 3 数学期望为，方差为； （3）甲公司竞标成功的可能性更大. 【解析】 【分析】（1）将甲乙共答对2道题的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用相互独立事件的概率，结合古典概率求解作答. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望和方差作答. （3）求出乙公司答对题数的期望和方差，与甲公司的比对作答. 【小问1详解】 记“甲、乙两家公司共答对2道题” 的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥， 则有， 所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是. 【小问2详解】 设甲公司答对题数为，则的取值分别为， ， 则的分布列为： 1 2 3 期望，方差. 【小问3详解】 设乙公司答对题数为，则的取值分别为， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 期望， 方差， 显然， 所以甲公司竞标成功的可能性更大. 17. 如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，． （1）证明：； （2）过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 连结，因为是等腰直角三角形，且为斜边的中点， 所以，且， ，， 所以， 所以，且，平面， 所以平面，且平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系，证明平面，即可证明线线垂直； （2）根据线面平行的性质定理说明，再根据（1）的结果，以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连结，因为平面，平面，平面平面， 所以，即， 由（1）知平面， 如图以点为原点，为轴，过点作与平行的直线为轴， ，，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求证：当时，在不存在最小值； （3）若在存在极值点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）由得． ， 设，则． 当时，对任意的，，则在上单调递增． 此时，对任意的，， 故在单调递增，不存在最小值． （3）． 【解析】 【分析】（1）先求导函数，得出切线斜率再写出点斜式方程即可求解； （2）根据导函数得出函数单调性即可证明； （3）根据导函数得出函数单调性分是否为负根讨论求解. 【小问1详解】 当时，函数，． 则，又． 故曲线在处的切线方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，得， 因为在存在极值点，首先有负解． 得有负根，设， 当时，所以在单调递减． 且当时，，当时，． 因为有负根，所以，即．并设的负根为． 即，使，则当时，，单调递增， 当时，，单调递减，为的极大值点． 综上，若在存在极值点，则实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：构造函数，再求导函数根据函数单调性解题. 19. 已知椭圆的离心率为左、右焦点分别是过的直线与C交于M，N两点的周长为 （1）求C的标准方程； （2）若记线段MN的中点为 （ⅰ）求R的坐标； （ⅱ）过R的动直线l与C交于P，Q两点，PQ，PN的中点分别是S和T，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）或；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义可得的周长为4a，求出离心率解得利用求出b，可得椭圆的方程； （2）（ⅰ）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合数量积为0，求出直线的斜率，进而求R的坐标；（ⅱ）不妨设点R的坐标是此时直线MN的方程可化为设点S到直线MN的距离为d，求出三角形的面积，分类讨论，求出d的最大值，即可得出结论. 【小问1详解】 由椭圆的定义可得的周长为4a，所以所以 离心率解得所以 所以椭圆C的标准方程为 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可得点坐标易得过点的所有直线与椭圆一定有两个不同的交点， 由可得 ①直线MN斜率不存在时，在椭圆方程中令得 不妨设所以所以不成立； ②直线MN斜率存在时，设直线MN的斜率为k，则其方程为 设 由方程组消去y，得 则有 所以有 所以 当时 所以点R的坐标是 同理当时，点R的坐标是 综上所述，点R的坐标是或 （ⅱ）根据对称性面积最大值与点R所在象限无关， 不妨设点R的坐标是，此时直线MN的方程可化为 设点S到直线MN的距离为d， 因为T为PN的中点，R为MN的中点，所以可得 ①直线l斜率不存在时，点S坐标为，此时点S到直线的距离 ②直线l斜率存在时，设直线l方程为， 由方程组消去y，得 则有 所以点S坐标为 所以可得 令令 当时，即此时直线PQ与MN重合面积为 当即时，则有 从而当即时取得最大值 此时所以所以面积最大值为  【点睛】关键点点睛：解题的关键点是换元设函数再结合二次函数的性质求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 单县一中高三第二次模拟考试 数学试题 时间120分钟，分值150分 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 0 2. 已知复数，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量且则在上的投影向量为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 若则（ ） A. B. C. D. 5. 设a，bR，则下列结论正确的是（ ） A. 若a>b，则 B. 若a<b<0，则 C. 若a+b=2，则≥4 D. 若，则a>b 6. 已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知变量x，y的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为，则（ ） x 1 2 3 4 5 y 5 9 10 11 15 A. B. 当时，对应样本点的残差为 C. 表中y的所有样本数据的第70百分位数是11 D. 去掉样本点后，y与x的样本相关系数不变 10. 已知函数与其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系xOy中，给定n个点到这n个点的距离之和为定值d的点的轨迹，称为“多焦点曲线”，其轨迹方程记为已知则（ ） A. 多焦点曲线所围成图形的面积为 B. 多焦点曲线是焦点为的椭圆 C. 若存在满足方程的点则 D. 若多焦点曲线所围成图形的面积为S，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有人，则数学成绩超过分的人数大约为______． 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 14. 抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 在前项和为的等比数列中，，，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 16. 某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. （1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率； （2）设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； （3）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 17. 如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，． （1）证明：； （2）过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求证：当时，在不存在最小值； （3）若在存在极值点，求实数a的取值范围． 19. 已知椭圆的离心率为左、右焦点分别是过的直线与C交于M，N两点的周长为 （1）求C的标准方程； （2）若记线段MN的中点为 （ⅰ）求R的坐标； （ⅱ）过R的动直线l与C交于P，Q两点，PQ，PN的中点分别是S和T，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $