10.3实际问题与二元一次方程组（第3课时）课时分层训练2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

**基本信息** 本同步练习通过“基础-综合-拓展”三层设计，以生活及文化情境为载体，实现从二元一次方程组概念应用到综合问题解决的梯度进阶，培养模型意识与创新思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识分点练|二元一次方程组建立与求解|结合早餐销售、行程问题等生活情境，通过选择、解答题巩固基本模型，培养抽象能力| |能力综合练|复杂情境及数学文化应用|融入《增删算法统宗》《九章算术》等古算问题，通过图表信息题提升推理能力与数学文化理解| |拓展探究练|跨学科及方案优化综合应用|设置杆秤杠杆原理、物流机器人调度等复杂问题，通过方案设计题发展创新意识与综合应用能力|

10.3实际问题与二元一次方程组（第3课时） 知识分点练 夯基础 1．一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 2．某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 3．小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 4．一艘船在某河道上航行，已知顺水航行需要，逆水航行需要．那么，该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少？ 5．智能分拣机器人凭借高效、适应性强、减少错误和优化数据管理等特点，广泛应用于快递、制造、物流仓储及食品行业，显著提升运营效率与成本效益．某物流公司智能分拣中心拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 1 1 3 求两种型号智能机器人的单价． 6．如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 能力综合练 练思维 7．龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载绳索量竿问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．则下列说法不正确的是（   ） A．设竿的长度为尺，可列方程为 B．设绳索的长度为尺，可列方程为 C．设竿的长度为尺，绳索的长度为尺，可列方程组为 D．竿的长度为20尺 9．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为． (1)求箭壶内水位起始高度和箭尺每小时上升的高度； (2)若开始记录时是上午，求当箭尺读数为时的时间． 10．新学期、新气象、新面貌．开学之际，学生对书包的需求量增加． 【市场调研】 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款920元．已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵40元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利． 【问题解决】 (1)求A、B两款每个书包的进价分别为多少元？ 【信息应用】 (2)利用列方程解应用题，求出信息二中B款书包的打几折出售？ 拓展探究练 提素养 11．学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图； 方案1：_______________ 方案2：__________________； (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ (3)该工厂购买块板材和套铁架（且），共花费1815元，其中板材价格33元/块，铁架价格17元/套．请你求出所有购买方案，并求出能做成椅子数量的最大值． 12．综合与实践 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中称盘质量为克，重物质量为m克，秤砣质量为M克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【方案设计】 秤盘 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务：确定和的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； (2)当称盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，请列出关于，的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． (4)若用此杆秤称质量为400克的重物，此时秤砣应放在距离零刻度线____厘米处． 13．根据以下素材，探索完成任务． 阳光体育·足球促销 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元． 素材二 该商场在3月份购进A款、B款两种足球共50个，进货共用3600元 素材三 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）： ① “买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 (1)求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 14．剪纸艺术是中华优秀传统文化瑰宝，学校以剪纸育美润心，传承非遗技艺，展现学子匠心与青春风采．学校打算开展“闽南剪纸文化艺术节”活动，需要在商场购买甲、乙两种剪纸彩纸制作窗花60朵，已知1张甲彩纸和1张乙彩纸共能剪窗花8朵，2张甲彩纸和3张乙彩纸共能剪窗花19朵．购买时正好赶上商场促销活动：买一张甲彩纸，就赠送一张乙彩纸．已知甲彩纸每张4元，乙彩纸每张3元．请你解决以下问题： (1)制作窗花的过程中，若甲、乙彩纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些窗花需要两种彩纸各多少张，并求出最低采购费用． (2)由于实际需要，需要再制作闽南古厝纸雕42个．已知1张甲彩纸可做纸雕3个，1张乙彩纸可做纸雕2个．总共采购两种彩纸的费用要求低于65元．在尽可能减少甲乙两种彩纸的余料的情况下，请你设计出一种窗花、纸雕的制作数量方案（要求：同一张彩纸只能做同一类手工，即不能既做窗花又做纸雕）． 15．根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 16．数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖和横式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)【任务1】若，求，，的值； (2)【任务2】求的最大值． 17．某市快递收费标准因快递公司、包裹重量、目的地（省内/省外）和是否轻抛件（体积较大而重量较轻）而异，以下是2026年快递公司收费规则： 快递公司 省内 省外 首重（） 续重 首重（） 续重 顺丰 12元 2元/kg 22元 8元/kg 德邦 11元 3元/kg 11元 10元/kg 轻抛件计费规则：取实际重量和体积重的较大值进行计费，其中体积重体积． 例如：用顺丰寄往省内的轻抛件实际重量，体积为，其体积重，由于，则按收费共需支付元． 某商家需采购省内外的乒乓球（轻泡件）和乒乓球拍（非轻泡件），由于厂家不同，乒乓球与球拍需分开计算快递费用，其3月进货量如下： 种类 省内 省外 重量/kg 体积/ 重量/kg 体积/ 乒乓球 2 24000 0.5 6000 乒乓球拍 15 / 10 / (1)若该商家3月与顺丰合作，请计算3月的快递费用共需多少钱？ (2)因乒乓球热销，该商家计划于5月再采购一批乒乓球，由于仓库容量有限，暂拟采购，省内外均有订货，且全部发轻泡件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜50元，问该商家省内与省外的体积重分别是多少kg？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3实际问题与二元一次方程组（第3课时） 知识分点练 夯基础 1．一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：套餐①和套餐②各一杯牛奶，共杯，单独售出牛奶m杯， ∴，A选项正确，不符合题意； 套餐①一个饭团，共个，单独售出饭团n个， ∴，B选项正确，不符合题意； 套餐②两个面包，共个，单独售出面包p个， ∴，C选项正确，不符合题意； 总收入等于套餐①、套餐②的收入加上单独售出的收入， 即， D选项错误，符合题意． 2．某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 【答案】(1) (2)需甲车型辆，乙车型辆 【分析】（）根据丙型车需要的运载量除以每一辆丙型汽车运载量即可得出丙型车的数量； （）设分别需甲、乙两种车型辆，辆，由题意得，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：丙型车的数量为（辆）， （2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆， 由题意得， 解得， 答：需甲车型辆，乙车型辆； 3．小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 【答案】小华家离学校 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小华家到学校的上坡路长，平路长，根据时间路程速度结合小华从家里到学校需，从学校到家里需，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小华家到学校的上坡路长，平路长， 根据等量关系，得：， 解得， 于是，上坡路与平路的长度之和为， 答：小华家离学校． 4．一艘船在某河道上航行，已知顺水航行需要，逆水航行需要．那么，该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少？ 【答案】船在静水中的速度为，水流速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组和流水行船问题中的基本公式运用，解题的关键是根据顺水速度和逆水速度与路程、时间的关系建立方程组，易错点是混淆顺水速度、静水速度和水流速度之间的关系；设船在静水中的速度为，水流速度为​。根据公式：顺水速度​，逆水速度，结合题目中给出的顺水航行和逆水航行的路程与时间列出方程组，求解即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为，水流速度为． 由题意可得： 顺水航行： 逆水航行： 化简方程组： 解得 答：船在静水中的速度为，水流速度为． 5．智能分拣机器人凭借高效、适应性强、减少错误和优化数据管理等特点，广泛应用于快递、制造、物流仓储及食品行业，显著提升运营效率与成本效益．某物流公司智能分拣中心拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 1 1 3 求两种型号智能机器人的单价． 【答案】A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元 【分析】设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可． 【详解】解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 根据题意，得， 解得， 答：A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． 6．如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 【答案】(1)，乙的速度是 (2)4分钟或7分钟 【分析】（1）设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、三种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ∵经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等 ∴， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， 甲到达A点所用时间为， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则， 解得； ③当，，， 令，则， 解得：； 综上所述，甲出发4分钟或7分钟后，两人与点的距离相等． 能力综合练 练思维 7．龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干中的相等关系列方程组即可． 【详解】解：设杯身高为，底座高为， 根据杯身高与底座高之和是，可得：， 杯身高占总高的， 总高为， 杯顶高与杯身高之和是， 又杯顶高与杯身高之和是， ， 可列方程组为． 8．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载绳索量竿问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．则下列说法不正确的是（   ） A．设竿的长度为尺，可列方程为 B．设绳索的长度为尺，可列方程为 C．设竿的长度为尺，绳索的长度为尺，可列方程组为 D．竿的长度为20尺 【答案】D 【分析】根据题意找出等量关系，验证各选项列方程的正确性，再求解竿长即可得到错误选项． 【详解】解：A选项：设竿的长度为尺， 绳索比竿长尺， 绳索长为尺， 对半折后绳索比竿短尺， ，A正确． B选项：设绳索的长度为尺， 绳索比竿长尺， 竿长为尺， 对半折后绳索比竿短尺， ，B正确． C选项：设竿长尺，绳索长尺， 绳索比竿长尺， ， 对半折后绳索比竿短尺， ， 可得方程组，C正确． D选项：解方程， 去括号得， 整理得， 解得，即竿长为尺，不是尺，D错误． 9．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为． (1)求箭壶内水位起始高度和箭尺每小时上升的高度； (2)若开始记录时是上午，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】(1)箭壶内水位起始高度为，箭尺每小时上升的高度为； (2)当箭尺读数为时的时间是． 【分析】（1）设箭尺每小时上升，开始高度为，根据供水小时和供水小时箭尺的高度列方程组求解即可； （2）设当箭尺读数为时，时间为，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：， 将代入①得：， 故方程组的解为， 答：箭壶内水位起始高度为，箭尺每小时上升的高度为； （2）解：设当箭尺读数为时，时间为， 则， 解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 10．新学期、新气象、新面貌．开学之际，学生对书包的需求量增加． 【市场调研】 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款920元．已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵40元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利． 【问题解决】 (1)求A、B两款每个书包的进价分别为多少元？ 【信息应用】 (2)利用列方程解应用题，求出信息二中B款书包的打几折出售？ 【答案】(1)每个A款书包的进价为60元，每个B款书包的进价为100元； (2)B款书包的打九折出售． 【分析】（1）通过设A、B款书包的进价为未知数，根据题意列二元一次方程组即可求解； （2）设打折出售，根据利润列出一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：设每个A款书包的进价为元，每个B款书包的进价为元， 由题意，得， 解得， 即每个A款书包的进价为60元，每个B款书包的进价为100元； （2）解：设B款书包实际销售时打折出售， 由题意得： ， 解得， 故B款书包打九折出售． 拓展探究练 提素养 11．学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图； 方案1：_______________ 方案2：__________________； (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ (3)该工厂购买块板材和套铁架（且），共花费1815元，其中板材价格33元/块，铁架价格17元/套．请你求出所有购买方案，并求出能做成椅子数量的最大值． 【答案】(1)方案1：裁剪1块椅座，6块椅背，图形见解析；方案2：裁剪4块椅座，2块椅背，图形见解析 (2)有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪 (3)购买方案为：购买38块板材和33套铁架或购买21块板材和66套铁架或购买4块板材和99套铁架；最多能做成66个椅子 【分析】（1）根据题意可得可以裁剪1块椅座，6块椅背或裁剪4块椅座，2块椅背，即可解答； （2）设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意，列出方程组，即可求解； （3）根据题意得：，再由a，b均为正整数，可得b为33的正整数倍，从而得到b取33，66，99，即可求解． 【详解】（1）解：方案1：裁剪1块椅座，6块椅背，如图： 方案2：裁剪4块椅座，2块椅背，如图： （2）解：设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意得： ， 解得：， 答：有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪； （3）解：根据题意得：， ∴， ∵a，b均为正整数， ∴b为33的正整数倍， ∴b取33，66，99， 当时，，此时最多能做成33个椅子； 当时，， 设有x块板材按方案1裁剪，有y块板材按方案2裁剪； 此时，解得：， 即有6块板材按方案1裁剪，有15块板材按方案2裁剪， 此时最多能做成个椅子； 当时，， 若4块板材按方案2裁剪，可以做成个椅子； 若3块板材按方案2裁剪，有1块板材按方案1裁剪，可以做成个椅子； 若2块板材按方案2裁剪，有2块板材按方案1裁剪，可以做成个椅子； 若4块板材按方案1裁剪，可以做成4个椅子； 此时最多能做成12个椅子； 综上所述，购买方案为：购买38块板材和33套铁架或购买21块板材和66套铁架或购买4块板材和99套铁架；最多能做成66个椅子． 12．综合与实践 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中称盘质量为克，重物质量为m克，秤砣质量为M克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【方案设计】 秤盘 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务：确定和的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； (2)当称盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，请列出关于，的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． (4)若用此杆秤称质量为400克的重物，此时秤砣应放在距离零刻度线____厘米处． 【答案】(1) (2) (3) (4)20 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）将已知数值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）由题意得：， ∴， ∴； （3）由（1）（2）可得：， 解得：； （4）根据题意得：，，，， 代入得：， 解得：， ∴此时秤砣应放在距离零刻度线20厘米处． 13．根据以下素材，探索完成任务． 阳光体育·足球促销 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元． 素材二 该商场在3月份购进A款、B款两种足球共50个，进货共用3600元 素材三 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）： ① “买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 (1)求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 【答案】(1)3月份该商场购进A款足球20个，购进B款足球30个； (2)选择促销方案①更合适 【分析】（1）设3月份该商场购进A款足球x个，购进B款足球y个，根据该商场在3月份购进A款、B款两种足球共50个，进货共用3600元建立方程组求解即可； （2）分别求出两种方案需要的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设3月份该商场购进A款足球x个，购进B款足球y个， 由题意得，， 解得， 答：3月份该商场购进A款足球20个，购进B款足球30个； （2）解：方案①的费用为元， 方案②的费用为， ∵， ∴选择促销方案①更合适． 14．剪纸艺术是中华优秀传统文化瑰宝，学校以剪纸育美润心，传承非遗技艺，展现学子匠心与青春风采．学校打算开展“闽南剪纸文化艺术节”活动，需要在商场购买甲、乙两种剪纸彩纸制作窗花60朵，已知1张甲彩纸和1张乙彩纸共能剪窗花8朵，2张甲彩纸和3张乙彩纸共能剪窗花19朵．购买时正好赶上商场促销活动：买一张甲彩纸，就赠送一张乙彩纸．已知甲彩纸每张4元，乙彩纸每张3元．请你解决以下问题： (1)制作窗花的过程中，若甲、乙彩纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些窗花需要两种彩纸各多少张，并求出最低采购费用． (2)由于实际需要，需要再制作闽南古厝纸雕42个．已知1张甲彩纸可做纸雕3个，1张乙彩纸可做纸雕2个．总共采购两种彩纸的费用要求低于65元．在尽可能减少甲乙两种彩纸的余料的情况下，请你设计出一种窗花、纸雕的制作数量方案（要求：同一张彩纸只能做同一类手工，即不能既做窗花又做纸雕）． 【答案】(1)最低采购费用为36元，对应方案：甲彩纸6张、乙彩纸10张，或甲彩纸9张、乙彩纸5张； (2)一种可行方案：窗花用甲6张、乙10张，纸雕用甲10张、乙6张，总费用64元． 【分析】（1）设1张甲彩纸能剪窗花朵，1张乙彩纸能剪窗花朵，根据题意列出二元一次方程组，可求得1张甲彩纸能剪窗花5朵，1张乙彩纸能剪窗花3朵；再设需要甲彩纸张，乙彩纸张，根据题意列出二元一次方程，求解即可； （2）设制作窗花用甲彩纸a张、乙彩纸b张；制作纸雕用甲彩纸m张、乙彩纸n张．根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设1张甲彩纸能剪窗花朵，1张乙彩纸能剪窗花朵， 根据题意得， 解得， ∴1张甲彩纸能剪窗花5朵，1张乙彩纸能剪窗花3朵； 设需要甲彩纸张，乙彩纸张， 由题意得， 整理得，需满足是3的倍数，， ∴，；，；，；，； 促销规则：买1张甲彩纸赠送1张乙彩纸，所以实际需要购买的乙彩纸数量为 (若)，否则只需买甲彩纸； 方案1：，， 费用：元； 方案2：，， 费用：元； 方案3：，， 费用：元(因为，赠送的乙彩纸足够) ， 方案4：，， 费用：元； 所以最低采购费用为36元，对应方案：甲彩纸6张、乙彩纸10张，或甲彩纸9张、乙彩纸5张； （2）解：设制作窗花用甲彩纸a张、乙彩纸b张；制作纸雕用甲彩纸m张、乙彩纸n张． 满足： 1.窗花： (同第一问) ， 2.纸雕：， 3.总费用： 4.余料最少： 即a，b，m，n尽量满足等式，无多余； 由，m，n都是非负整数， ∴或或或或或或， 总费用：， 整理得， 当时，不满足； 当时，满足； 此时，总费用， ∴一种可行方案：窗花用甲6张、乙10张，纸雕用甲10张、乙6张，总费用64元，无余料． 15．根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 【答案】(1) (2)千瓦时． (3)①见解析，②14.6 【分析】（1）根据题意列出方程组并解方程组即可； （2）设型机器人用了台，型机器人用了台．列出方程并求出正整数解即可得到答案； （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台．根据题意列出二元一次方程，并求出正整数解即可；②根据各方案的耗电量进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：设型机器人用了台，型机器人用了台． 由题意，得， 整理，得． 因为，都是正整数，所以是4的倍数， 所以，， 所以总耗电量为（千瓦时）． （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台． 由题意，得， 整理，得． 由题意得，是2的倍数，故所有可行方案列表如下： 方案 型/台 型/台 型/台 总耗电量/千瓦时 一 2 16 1 14.9 二 4 12 2 14.8 三 6 8 3 14.7 四 8 4 4 14.6 ②方案四：有A型号的机器人台，有B型号的机器人台，有C型号的机器人台；最省电，其耗电量为14.6千瓦时 16．数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖和横式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)【任务1】若，求，，的值； (2)【任务2】求的最大值． 【答案】(1)，，的值分别为、、 (2) 【分析】（1）张标准卡纸通过剪裁得到张小长方形，而一张可以剪裁个小长方形，先算出总的小长方形，减去，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以即可求解，根据个竖式叠盖纸盒需要个小长方形和个正方形，个横式叠盖纸盒个小长方形和个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要个小长方形，则，求其整数解，判断其最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 则， 解得， ∴，，的值分别为、、． （2）解：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， 即， 其整数解为、、、， ∴的最大值为． 17．某市快递收费标准因快递公司、包裹重量、目的地（省内/省外）和是否轻抛件（体积较大而重量较轻）而异，以下是2026年快递公司收费规则： 快递公司 省内 省外 首重（） 续重 首重（） 续重 顺丰 12元 2元/kg 22元 8元/kg 德邦 11元 3元/kg 11元 10元/kg 轻抛件计费规则：取实际重量和体积重的较大值进行计费，其中体积重体积． 例如：用顺丰寄往省内的轻抛件实际重量，体积为，其体积重，由于，则按收费共需支付元． 某商家需采购省内外的乒乓球（轻泡件）和乒乓球拍（非轻泡件），由于厂家不同，乒乓球与球拍需分开计算快递费用，其3月进货量如下： 种类 省内 省外 重量/kg 体积/ 重量/kg 体积/ 乒乓球 2 24000 0.5 6000 乒乓球拍 15 / 10 / (1)若该商家3月与顺丰合作，请计算3月的快递费用共需多少钱？ (2)因乒乓球热销，该商家计划于5月再采购一批乒乓球，由于仓库容量有限，暂拟采购，省内外均有订货，且全部发轻泡件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜50元，问该商家省内与省外的体积重分别是多少kg？ 【答案】(1)3月的快递费用共需174元 (2)该商家省内体积重是，省外体积重是 【分析】本题考查有理数混合运算与二元一次方程组的实际应用. （1）先根据轻抛件计费规则确定各包裹的计费重量，再结合顺丰的收费标准分别计算各部分费用，求和得到总费用； （2）设省内和省外的体积重分别为未知数，根据总体积和费用差列出二元一次方程组，求解即可得到结果． 【详解】（1）解：计算省内乒乓球费用：体积重，，按计费，费用（元）； 计算省外乒乓球费用：体积重，，按计费，费用（元）； 计算省内乒乓球拍费用：非轻抛件按计费，费用（元）； 计算省外乒乓球拍费用：非轻抛件按计费，费用（元）； 总费用（元）； 答：3月的快递费用共需174元； （2）解：， 设该商家省内体积重为，省外体积重为， 由体积重公式可得总体积满足， 整理得， 计算顺丰总费用：， 计算德邦总费用：， 由顺丰比德邦便宜50元，可得， 整理得， 联立方程组得 解得， 答：该商家省内体积重是，省外体积重是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $