2026年山东省济宁市部分学校中考二模九年级数学试题

数学试题 本试卷共8页.满分120分.考试时长120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指 定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答 案写在答题卡上。答案写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求 1.下列实数中，属于无理数的是 A.2 B.8 C.3.1415 D.227 2.石皱（如图）是中国古代文化的瑰宝，象征着万物丰茂、财丰物足.下列图形中，属于石鼓的俯视图 的是 D 第2题图 3.根据国家知识产权局数据，我国成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超5000000件的国家， P℃T国际专利申请量连续6年位居全球第一，数据“5000000”用科学记数法表示为 A.50×10 B.5×107 C.5×10的 D.0.5×10 4.下列计算正确的是 A.a2.a3=a6 B.2a2-a2=7 C.(2a33=6a6 D.10a4÷(-5a=- 2a 5.如图，AB∥CD,点E为AC上一点，连接DE,∠AED的平分线交AB于点F,若∠A=110·,∠D=28°， 则∠AFE= A.21· B.23° C.25· D.28 第5题图 第6题图 6.我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“有两尖田一段，其尖长不等，两大 斜三十九步，两小斜二十五步，中广三十步欲知其积几何？”其大意为：如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=39步，CB=CD=25步，BD=30步，则四边形ABCD的面积为 A.820平方步 B.840平方步 C.860平方步 D.900平方步 7紫色石蕊试剂是化学领域一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变 蓝，遇中性溶液不变色现有三个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有三种无色溶液： 蒸馏水（中性）、白醋溶液（酸性）、食用碱溶液（碱性）甲、乙两人分别随机选择这三个滴瓶的其中一 个取适量的溶液分别与紫色石蕊试剂混合，求甲、乙两人混合后溶液都变红的概率为 A.3 C D. 8.如图，△ABC内接于⊙0，连接A0并延长交⊙0于点D,若∠ABC=60°，AC=6,则劣 弧CD的长为 A.2W3 B.2π C.r D.n 第8题图 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为函数y=k≠0x×)的图象上一点，连接OA,点B 为OA的中点，将点B向右平移到函数y=(k+Ox))图象上的点C处若△ABC的面积为 2,则k的值为 A.号 B.4 c.9 D.6 10.数学课上，两位同学讨论关于x的方程mx-4=2x+nm,n为整数)的解的情况，： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为=2” 第9题图 乙同学.“我发现，当正整数m取最大值时，n=4；当正整数m取最小值时，n=-2.” 给出下列三个结论：①n≠-4；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个.上述结 论中，所有正确结论的序号是 A.①② B.①③ c.②③ D.①②③ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11.因式分解99-x2= 12若分式的值为0，则实数×的值为一 13.已知方程x(3x-2)-k=0的一个根是2，则方程的另一个根为. 14.如图，将偶数从2开始按如下方向排列，2位于第1层，数字4~10分布在第2层，数字12~ 24分布在第3层，数字2644分布在第4层，·，按此规律继续排列下去，数字2026出现 在第层 2第1层 0 4第2层 2 24第3层 26第4层 46 8 6 14 5层 42 28 48 ee 40161820 30 50 38 32 52 3634 545658 第14题图 第15题图 15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90·,将△ABC绕点A顺时针旋转90·得到△ADE,点B,C的对 应点分别为点D,E,连接BD并延长交CE于点F,若AC-4,则EF的长为一· 三、解答题：本题共8小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(8分) (1)计算：V2×V8-(3)-1+(-2026); (2)解不等式 :<2, 4x-5≥2(x-1) 17.(8分) 如图，在口ABCD (AB<AD)中设计了以下作图方案. 第一步：在AB上取一点K,以点A为圆心，以AK,的长为半径作孤，交AD于点K2再 分别以KK2为圆心，以大于KK2的长为半径作孤，两孤交于点P连接AP并延长，交BC 于点E 第二步：在BE上取一点K,以点B为圆心，以BK的长为半径作孤，交AB于点K再 以E为圆心，以.BK3的长为半径作孤，交EC于点K再以K5为圆心，以KK的长为半径作 孤，两孤交于点Q,连接EQ并延长，交AD于点F. 第三步：连接BF,CF 某同学按照方案利用无刻度的直尺和圆规作图如下 (I)判断四边形ABEF的形状，并说明理由； (2)经测量，∠ABF=28,∠CFD=7T,求∠EFC的度数 A K 第17题图 18.(8分) 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田的玉米株高进行抽样分 析，从两块田地中各随机选取20株玉米测量株高，将株高（用h表示，单位：cm) 划分为A,B,C,D四个等级，株高h≥90cm为长势优秀，对数据整理分析后得 到如下信息： 【信息整理】 a.等级划分： 等级 A B D 株高h(cm 95≤x≤100 90≤x<95 85≤x<90 x<85 b.试验田株高的条形统计图、对照田株高的扇形统计图如下： A20%D20% B15% C45% B D等级 第18题图 c.试验田B,C两组株高分别为：94,94.93,92.92.89,89,88,85： 对照田C组株高为：89,8988.88,88,88,88,87,86 【数据分析】两块田地株高的统计量统计表（部分数据缺失）： 田地类型 平均数 中位数 众数 优秀率 方差 试验田 88 8 95 m% 28.25 对照田 88 88 b 35% 32.10 (1)填空：a= b= ,m= (2)请根据题中提供的信息，评估试验田的玉米生长情况； (3)为评估试验田和对照田的玉米综合品质，研究人员从株高、产量、抗倒伏、抗 病性四个维度进行百分制评分，综合得分由株高、产量各占30%，抗倒伏、抗病 性各占20%计算加权平均分.两组玉米的评分如下表： 玉米类型 株高 产量 抗倒伏 抗病性 试验田 80 t 90 95 对照田 90 80 85 90 若试验田玉米的综合得分不低于对照田，求整数t的最小值： 19.(9分) 【活动背景】某兴趣小组要测量公园里一个凉亭（如图①）的高度，经实地查看，同学们发现凉亭位于一个人工湖 上，周围仅一条曲折的两侧带有栏杆的步道，设计了如下方案 【测量工具】测角仪、皮尺 【图纸设计】如图②，AB为凉亭，CD及CD为测角仪的支架，点C和C处为测角仪的位置 D' 图① 图② 第19题图 【方案设计】 要求一名同学在步道上正对凉亭站立，利用测角仪测得凉亭顶端的仰角。将测角仪向凉亭移动一段距离，再次测得 凉亭顶端的仰角. 【方案评价】 测角仪在本方案中发挥了正要作用，其规范使用会使得结果更加精确 【规范建议】 组员：测角仪的支架的高度要适当，避开两侧栏杆的影响 组长：测角仪的支架的高度移动前后要确保高度相同。 教师：移动测角仪时要保证前后位置与凉亭顶端所在的直线在同一平面内. 【方案实施】 测量数据：测角仪的支架高度CD=CD=1.5米，凉亭顶端的仰角分别为∠ACE=35·,∠ACE=39·,测量点D,D'之 间的距离DD=0.8米，CE⊥AB,CD⊥BD,CD'⊥BD,AB⊥BD,所有点在同一平面内. 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题 (1)求凉亭AB的高度：（保留一位小数.多考数据：s$sin35≈0.57cos35≈0.82，tan35≈0.70，sin39°=0.63，cos3 9°≈0.78，an39°≈0.81) 【方案反思】 (②在小组讨论决定测量方案时，某组员提出了“利用物体在阳光下的影子测量凉亭的高度”的方案没有被采纳，你 认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 20.(10分) 金秋时节，硕果飘香，某石榴种植基地采摘了一批优质石榴准备运往某地销售，经测算：用 2辆A型车和1辆B型车载满石榴一次可运送100吨用1辆A型车和2辆B型车 载满石榴一次可运送80吨. (1)1辆A型车和1辆B型车都载满石榴一次可分别运送多少吨？ (②)已知这批优质石榴共500吨，计划同时租用A型车和B型车一次运送完.为确保运输效 率与安全，要求所有车辆都载满石榴，且A型车数量不超过B型车数量的2倍，若1辆 A型车租金1000元/次，1辆B型车租金600元/次，设A型车租用×辆，求租车费用 W与×之间的函数关系式，并写出最少租车费用和费用最少时的租车方案 21.(10分) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，延长AB到点D,∠CBD的平分线交⊙0于 点E,过点E作AD的垂线，垂足为F,连接CE. (1)求证：EF为⊙0的切线： (2)若EF=3,CE=5,求⊙0的半径 D 第21题图 22.(11分) 【问题情境】数学兴趣小组开展了一次折纸活动如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC= 8,点E在边CD上，且CE=2,点P是边BC上的一个动点（不与点B,C重合） 小组进行了如下操作：将△ABP沿AP折叠，得到△ABP:再将△ECP沿EP折叠，得到△ECP. 【操作发观】(I)如图①，当点B恰好落在边AD上时，求线段B'C的长； 【绿究证明】（②）如图②，在点P的运动过程中，小组成员发现存在特殊位置，使得点P,B ,C恰好落在同一条直线上 ①求证：AP⊥PE: ②求此时BP的长； 【拓展应用】(3)如图③，连接AE,AC.在点P的运动过程中，△AEC的形状和大小随之改 变，请直接写出△AEC'面积的最大值 图① 图② 图③ 第22题图 23.(11分) 已知二次函数y=x2-21a-x-4a(a是常数). (1)当=2时，这个函数的图象是二次函数y=x的图象经过怎样平移得到的？ (②)求证：这个函数的图象经过一个固定的点，并求出这个固定点的坐标： (3)若当一1≤×≤1时，这个函数的最大值与最小值的差为3，求a的值数 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每 小题只有一个选项符合题目要求。 快速对答案：1~5 AACDA 6~10 BADCB 1A【解析】在反，海=2,31415，号中，无理数 是2、 2.A 3.C【解析】科学记数法的表示形式为a×10”,其中 1≤lal<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数 变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数 点移动的位数相同，5000000=5×10. 4.D【解析】a2·a3=a≠a,故选项A计算不正确； 2a2-a2=a2≠1，故选项B计算不正确；(2a2)3=8a ≠6a°，故选项C计算不正确；10a4÷(-5a3)=-2a, 故选项D计算正确. 5.A【解析】.AB∥CD,.∠A+∠C=180°，：∠A= 110°，.∠C=70°，∠D=28°，.∠AED=∠C+ ∠D=98°，BF平分LABD,∠ABP=之∠ABD= 49°，∴.∠AFE=180°-∠A-∠AEF=21°. 6.B【解析】如解图，连接AC交BD于点E,:AB= AD=39,CB=CD=25,∴AC垂直平分BD,.ACL BD,BE=DB=方BD=15,在R△ABE中，AB- √AB2-BE=√J392-152=36,在Rt△BCE中，CE= VBC-派=y25-1F=205w宁0 M+号0.08=×30x36+7×30x20=840(平方 步) D 第6题解图 7.A【解析】解法一：根据题意，画树状图如解图： 开始 甲 不变色 变红 变蓝 乙不 变 不变变 不 变 红 蓝 变 红蓝 变 红 蓝 色 色 色 第7题解图 学 由树状图可知，共有9种等可能出现的结果，其中 甲、乙两人混合后溶液都变红的有1种结果，.甲、 乙两人混合后溶液都变红的概率为。 解法二：根据题意，列表得： 蒸馏水 白醋溶液 食用碱溶液 (中性)》 (酸性) (碱性) 蒸馏水 (不变色 (不变色， (不变色， (中性) 不变色) 变红) 变蓝) 白醋溶液 （变红， (变红， （变红， (酸性) 不变色) 变红) 变蓝) 食用碱溶液 (变蓝， (变蓝， (变蓝， (碱性) 不变色) 变红) 变蓝) 由表格可知，共有9种等可能出现的结果，其中甲、 乙两人混合后溶液都变红的有1种结果，·.甲、乙 两人混合后溶液都变红的概率为人 新考法解读2022课标中29次提及“跨学科”， 要求初步了解数学作为一种通用的科学语言在其 他学科中的应用，通过跨学科主题学习建立不同学 科之间的联系.同时，教育部发布的《关于加强初中 学业水平考试命题工作的意见》中也明确提到：积 极探索跨学科命题.本题以化学中的酸碱指示剂的 变色规律为背景，考查概率的计算，体现了学科知 识的融合， 8.D【解析】如解图，连接OC,过点0作OE⊥AC于 点E,∠ABC=60°，.∠A0C=2∠ABC=120°， LCOD=60,OELAC,AC=6,AE=CE=ZAC= B.LA0E=)2A0C=609,0A=4E-3 sin60° 2 2万，劣弧CD的长为60mx25_23 180 3 m. B D 第8题解图 C【解析】设点B的坐标为(a,b),点B为OA的 中点，.A(2a,2b),:点C由点B向右平移得到， 设点C(m,b),点A,C在函数y=k(k≠0，x> 0)的图象上，.k=2a·2b=m·b,.m=4a, △A6c的面积为2子·(m-a）.b=分·(4a- a)·b= 2b=2ab=4 3k=2a·2b=4ab=3 10.B【解析】原方程移项、合并同类项，得(m-2)x= n+4.根据甲的表述，方程的唯一解为x=2,则m-2 ≠0，.m≠2，将x=2代人(m-2)x=n+4,得2(m 2》=+4,化简得=2m-8,a=”8,则≠-4，故 结论①正确；再根据乙的表述，m为正整数，且m 取最大值时n=4,m取最小值时n=-2,.将n=4 代入n=2m-8,得4=2m-8,解得m=6,.m的最 大值为6；将n=-2代入n=2m-8,得-2=2m-8, 解得m=3,∴.m的最小值为3，因此，满足条件的 正整数m为3,4,5,6（共4个），故结论②错误，结 论③正确. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11.(3+x)(3-x) 12.1【解析：分式*-的值为0，x-1=0且x+4 x+41 ≠0，解得x=1. 13.3 【解析】解法一：设方程x(3x-2)-k=0的另 一个根是m,方程x(3x-2)-k=0,可化为3x2-2x 2 k=0,由根与系数的关系可得2+m=3,m= 音另一个根为号 解法二：，方程x(3x-2)-k=0的一个根是2， 把x=2代人方程，得2×4-k=0,解得k=8,.方程 为3x2-2x-8=0,解方程得x=2或x=- 3方程 的另一个根为手 14.27【解析】规律列表如下： 找规律：最后一个 层数 每层最后一个数字 数字与层数的关系 第1层 2 2=1×2 第2层 10 10=2×5 第3层 24 24=3×8 续表 第4层 44 44=4×11 … 第n层 … nx(3n-1) .当n=26时，最后一个数字为26×(3×26-1)= 2002,当n=27时，最后一个数字为27×(3×27- 1)=2160,2002<2026<2160,.2026出现在 第27层. 15.22【解析】如解图，过点C作CG∥DE交BF的 延长线于点G,由旋转的性质得∠CAE=∠BAD= 90°，AE=AC,AB=AD,CB=DE,.△CAE和△BAD 为等腰直角三角形，.∠DBA=∠BDA=45°，： ∠ABC=90°，.∠ADE=90°，∠CBG=45°， ∠FDE=180°-∠BDA-∠ADE=45°，.CG∥DE, ∠CGB=∠FDE=45°，∠GCF=∠DEF,∴.∠CGB= ∠CBG,∴.CG=CB=ED,.△CGF≌△EDF (ASA),∴.EF=CF,在等腰Rt△CAE中，AC=4, E4CE/FCE 22. D B A 第15题解图 P类题通法 几何计算题辅助线作法： 主要以作平行线和作垂线为主，当题干中含或隐 含等腰三角形、特殊角度、倍角关系时考虑作垂 线，当题干中含或隐含角度相等、中点、角平分线、 中位线时考虑作平行线。 三、解答题：本题共8小题，共75分解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 16.解：(1)原式=√16-2+1 =4-2+1 (3分) =3;…(4分) 20. (2)令3 4x-5≥2(x-1)②， 解不等式①得x<7,…(5分) 解不等式②得x≥ 2 ，…（7分) ·原不等式组的解集为，≤x<7 …(8分) 17.解：(1)四边形ABEF是菱形，理由如下：… …（1分) 由作图可知，∠CEF=∠ABC, .AB∥EF. ·四边形ABCD是平行四边形， ∴.AF∥BE, .四边形ABEF是平行四边形 由作图可知，AP平分∠BAD, ∴.∠BAE=∠DAE. AF//BE, ∴.∠DAE=∠BEA, ∴.∠BAE=∠BEA, .AB=BE. .四边形ABEF是菱形；…(5分) (2).四边形ABEF是菱形，∠ABF=28°， ∴.∠EBF=∠BFE=28°， ∴.∠CEF=∠EBF+∠BFE=56°. .AD∥BC, ∴.∠CFD=∠ECF=77°， .∴.∠CFE=180°-77°-56°=47°. …(8分) 18.解：(1)88.5,88,40；…(3分) 【解法提示】试验田共20株，将株高按从小到大排 序后，中位数为第10,11位数的平均数，第10位 为88，第1位为89，故a=8+89-8.5对照田C 2 组株高数据中，88出现5次（次数最多），故b= 88;试验田优秀株(A,B等级)共3+5=8（株）， 8x100%=40%. (2)优秀率：试验田优秀率(40%)高于对照田 (35%),说明长势优秀的株数更多； 株高整齐度：试验田方差(28.25)小于对照田 (32.10),株高分布更均匀、波动更小； 集中趋势：试验田中位数(88.5)和众数(95)均高 于对照田，整体株高水平更优， .试验田的玉米生长状况更优；…(5分) (3)试验田综合得分：80×30%+t×30%+90×20%+ 95×20%=61+0.3t, 对照田综合得分：90×30%+80×30%+85×20%+90 ×20%=86, 若试验田玉米的综合得分不低于对照田，则61+ 0.3≥86，解得≥250 :t为整数，.t的最小值为84.…(8分) 19.解：(1)在Rt△AEC中，：tan∠ACE AE ΓEC1 .EC=AE AE tan35°0.70’ 在Rt△AEC'中，'tan∠AC'E=AE EC ·EC'=AE AE tan39°0.81' 易得四边形CCD'D是矩形， .CC'=DD'=0.8米， .EC-EC'=0.8米， AEAE 0.700.81 =0.8, AE≈4.12米. 易得四边形CEBD是矩形， EB=CD=1.5米， AB=AE+EB≈4.12+1.5≈5.6（米）， 答：凉亭AB的高度约为5.6米；…(7分)》 (2)“利用物体在阳光下的影子测量凉亭的高度” 的方案没有被采纳的原因可能是凉亭的影子在水 中，不方便测量.（答案不唯一，合理即可)… …(9分) 20.解：(1)设1辆A型车载满石榴一次可运送a吨，1 辆B型车载满石榴一次可运送b吨， 根据题意，得 at6-10解得a=0, a+2b=80, (b=20. 答：1辆A型车载满石榴一次可运送40吨，1辆B 型车载满石榴一次可运送20吨；…(5分) (2)根据题意，得租用A型车x辆，则租用B型车 500-40=(25-2x)辆， 20 ∴.租车费用W=1000x+600(25-2x)=-200x+ 15000.…（7分) :车辆数量必须为正整数， .x>0且25-2x>0,解得0<x<12.5, ,A型车数量不超过B型车的2倍， .x≤2(25-2x),解得x≤10， .x的取值范围是0<x≤10且x为整数 ,-200<0,.W随x的增大而减小， ∴.当x=10时，W取得最小值，W血=-200×10+ 15000=13000. 此时B型车的数量为25-2×10=5（辆）， ∴租车费用W与x之间的函数关系式为W= -200x+15000(0<x≤10且x为整数)，最少租车 费用为13000元，此时的租车方案是租用A型车 10辆，B型车5辆。…（10分) 更多新考法试题见“考前预测大题"P23第18题 21.（1)证明：如解图①，连接0E, BE平分∠CBD, ∴∠CBE=∠DBE .OB=0E, ∴.∠CBE=∠OEB, .∠OEB=∠DBE, OE∥AD. ,EF⊥AD, .EF⊥OE,即∠OEF=90°， 0E是⊙0的半径， .EF为⊙O的切线； (5分) D 第21题解图① (2)解法一：解：BC是⊙0的直径， .∠BEC=90°， :EF⊥AD, .∠BFE=90°， ∴.∠EFB=∠BEC, BE平分∠CBD, ·.∠FBE=∠CBE, ∴.△EFB∽△CEB, BE EF BE 3 BC CE ,即 BC 5 e 在Rt△BEC中，根据勾股定理得BC2=BE2+CE2, 六BC-(2Bc+5 25 ..BC 49 :.⊙0的半径为 5 …（10分) 解法二：解：，BC是⊙0的直径， .∴.∠BEC=90°， EF⊥AD, ∴.∠BFE=90°， ∴.∠BEC=∠BFE, ,BC平分∠CBF, .∠EBC=LFBE, ·△BEC∽△BFE, BE EC BFFE' BE 5 小BF3’ .BF=BE, 5 在Rt△BFE中，BF2+FE2=BE2, (5BE)2+32=BE2, ∴BE= 4 在R△BBC中，BC=√BE+BC-25 :00的半径为曾 (10分) 解法三：解：如解图②，连接AE, A B D E 第21题解图② ,四边形ABEC内接于⊙0O, ∴.∠ABE+∠ACE=180° ∠ABE+∠DBE=180°， .∠ACE=∠DBE. CE=CE」 .LCAE=LCBE. :BC平分∠CBF, .∠CBE=∠DBE, ∴.∠CAE=∠ACE, ∴.AE=CE=5. 在Rt△AFE中，由勾股定理可得AF=√AE2-EF2 =√52-32=4， cos∠EAF=AF4 ΓAE5’ :BC是⊙0的直径， .∠BEC=90°， .∠BCE=∠EAF, 8c5,即5、4 cos∠BCE=CE4 BC 5 25 .BC=4' .⊙0的半径为 25 (10分) 2.(1)解：由折叠的性质知，AB=AB',BP=B'P, ∠ABP=∠AB'P=90°， ,四边形ABCD是矩形 .当点B'恰好落在边AD上时，四边形ABPB为正 方形， ∴.AB=BP=B'P=6,∠BPB'=90°， ∴.PC=BC-BP=8-6=2. 在Rt△PCE中，PC=2,CE=2, ∴.△PCE是等腰直角三角形，∠CPE=45, 由折叠的性质知，PC=PC=2,∠C'PE=∠CPE =45°， .∠CPC=∠CPE+∠CPE=45°+45°=90°， .点C落在B'P上. ∴.B'C'=B'P-PC=6-2=4; …(3分) (2)①证明：由折叠的性质知，∠APB=∠APB', ∠EPC=∠EPC', .∠BPB'=2∠APB',∠CPC'=2∠EPC'. 点P,B',C在同一条直线上， ∴.射线PB与射线PC重合， ∴.∠BPB'+∠CPC'=180°， ∴.2∠APB'+2∠EPC'=180°，即∠APB'+∠EPC =90°， ∴.∠APE=90°， AP⊥PE;…(6分) ②解：.∠APE=90°， .∠APB+∠EPC=90° 又，∠B=∠C=90°， ∴∠BAP+∠APB=90°， ∴.∠BAP=∠EPC, .△ABP∽△PCE, AB BP PC-CE' 设BP=x,则PC=8-x, 。=整理得x-8x+12=0, 解得x=2或x=6(均满足题意)， BP的长为2或6；…(9分) (3)45. …(11分) 【解法提示】如解图，由折叠的性质知，EC=EC= 2,点C在以点E为圆心，2为半径的圆弧上运 劲.：Sa心=2AB·h,其中h为点C到AE的距 离，AE为定值，∴.要使△AEC'面积最大，则只需h 最大即可，.当EC⊥AE时，h取得最大值为2.： AE=√AD2+DE=V8+4=45,.S△ABc最大=2× 1 45×2=45. B B CPC 第22题解图 23.（1)解：当a=2时，函数为y=x2-2x-8=(x-1)2-9, .二次函数图象的顶点坐标为(1，-9)， :二次函数y=x2图象的顶点坐标为(0,0)， .二次函数y=x2-2x-8的图象是由二次函数y= x2的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移9 个单位长度（或先向下平移9个单位长度，再向右 平移1个单位长度)得到的；… (3分) (2)证明：把二次函数y=x2-2(a-1)x-4a化为交 点式，得y=(x+2)(x-2a), 可知当x=-2时，y=0,与a的取值无关， .函数图象经过一个固定点(-2,0)；…(6分) (3)解：把二次函数y=x2-2(a-1)x-4a配方，得y =[x-(a-1)]2-(a+1)2,其图象的顶点坐标为 (a-1,-(a+1)2),对称轴为直线x=a-1.… …(7分) ①当a-1≤-1，即a≤0时，在-1≤x≤1范围内，y 随着x的增大而增大，画出草图如解图①， 当x=1时，y最大=[1-(a-1)]2-(a+1)2=-6a+3, 当x=-1时，y最小=[-1-(a-1)]2-(a+1)2=-2a-1, ·y最大一y最小=3， .-6a+3-(-2a-1)=3, 解得a=子（不合题意，合去)；…(8分) -10ix x=a-1 第23题解图① ②当-1<a-1≤0，即0<a≤1时，在-1≤x≤1范围 内，画出草图如解图②， 当x=1时，y大=[1-(a-1)]2-(a+1)2=-6a+3, 当x=a-1时，y最小=-(a+1)2, ·y最大y最小=3， -6a+3+(a+1)2=3, 解得a1=2+3(不合题意，舍去)，2=2-√3；… …(9分） x=a-1月 第23题解图② ③当0<a-1≤1，即1<a≤2时，在-1≤x≤1范围 内，画出草图如解图③， 当x=-1时，y大=[-1-(a-1)]2-(a+1)2=-2a-1, 当x=a-1时，y最小=-(a+1)2, ·y最大-y最小=3， .-2a-1+(a+1)2=3, 解得a1=√3，a2=-3(不合题意，舍去)；… ……(10分） 2 =a- 第23题解图③ ④当a-1>1,即a>2时，在-1≤x≤1范围内，画出 草图如解图④， 当x=-1时，y歇=[-1-(a-1)]2-(a+1)2=-2a-1, 当x=1时，y小=[1-(a-1)]2-(a+1)2=-6a+3, :y最大y最小=3， .-2a-1-(-6a+3)=3, 解得a=4(不合题意，舍去)， 综上所述，满足条件的a的值为2-√万或5.… (11分) 第23题解图④ P类题通法 二次函数增减性问题解题思路： 1.先确定对称轴： 2.对于系数a未知的，先分a>0,a<0讨论； 在α的正负确定后，再分情况讨论： ①点在对称轴左侧； ②点在对称轴右侧； ③点在对称轴两侧： 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的任意一点到其对 称轴的距离记为d,则有：d相等，y值相等；a>0 时，d越大，y值越大，d越小，y值越小；a<0时，d 越大，y值越小，d越小，y值越大（如下图）， d B B