2 第4章 指数函数与对数函数 第6节 对数函数及其性质的应用-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 数学 第6节 对数函数及其性质的应用 [解析](1).函数y=logo.7x在(0， 课堂典例探究 十∞)上为减函数， 类型一利用对数函数的单调性比较大小☑ .由logo.72x<l1og0.7（x-1)得 「例比较下列各组值的大小. 2x>0, (1)1og3π，log20.8; x-1>0,解得x>1, (2)1.1°.9,1og1.10.9,log.70.8; 2x>x-1, (3)1og53,log63,log73. 即x的取值范围是(1，十∞)： [解](1)因为1og3π>log31=0,log20.8 (2)log。(x-1)≥log.(3-x), <1og21=0, [x-1>0, 所以log3π>log20.8. 当a>1时，有 3-x>0, 解得2≤x<3. (2)因为1.10.9>1.1°=1,10g1.10.9< x-1≥3-x, 1og1.11=0, 0=logo.71<1og.70.8<1og0.70.7=1, [x-1>0, 所以1.1°.9>1og0.70.8>log1.10.9. 当0<a<1时，有{3-x>0, (3)因为0<1og35<1og36<1og37, x-1≤3-x, 所以1og3>log63>log73. 解得1<x≤2. [变式训练] 综上可得， 1.比较下列各组数的大小. 当a>1时，不等式log.(x-1)≥log。(3 (1)1og2元与1og20.9; 一x)中x的取值范围为[2,3)； (2)log20.3与l1ogo.20.3; 当0<a<1时，不等式log.(x-1)≥ (3)log0.76,0.7与6°.7. log.(3-x)(a>0且a≠1)中x的取值范 围是(1,2]. [答案](1)(1，十∞)(2)见解析 规律方法两类对数不等式的解法 (1)形如log.f(x)<log。g(x)的不 等式 ①当0<a<1时，可转化为f(x)> g(x)>0; ②当a>1时，可转化为0<f(x)< g(x). 心类型二。解对数不等式 回 (2)形如log。f(x)<b的不等式可变形 「例2(1)已知logo.72x<logo.7(x-1),则 为logf(x)<b=loga x的取值范围为 (2)已知log.(x-1)≥log(3-x)(a>0, ①当0<a<1时，可转化为f(x)>a; 且a≠1)，求x的取值范围. ②当a>1时，可转化为0<f(x)<a. 108<<< 高中新知探究学习 第二篇\】 [变式训练] 规律方法 解答y=log.f(x)型或y= 2.若1og.号<1，求实数a的取值范园。 f(logx)型函数要注意的问题 (1)要注意变量的取值范围，例如，f(x) =log2x,g(x)=x2十x,则f(g(x)= log2(x2+x)中需有g(x)>0;g(f(x) (log2x)2+log2x中需有x>0. (2)判断y=log。f(x)型或y= f(log。x)型函数的奇偶性，首先要注意 函数中自变量的范围，再利用奇偶性的 定义判断： [变式训练] 3.已知函数f）=lcga>0,且a≠D. 心类型三，对数函数性质的综合应用_冈 (1)求f(x)的定义域； 例3|已知函数f(x)=log.(x十1)-log。(1 (2)判断函数的奇偶性. -x)(a>0且a≠1). (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取 值范围 [解](1).f(x)=log.(x+1)-loga(1 一x), 0解得-1<x<1, ☑课堂达标 .定义域为(-1,1) 1.已知x)=og,则)（侵》 (2)f(x)为奇函数. f(2)的大小是 证明：由(1)知函数的定义域为(-1,1)， Af)>Pf2) f(-x)=log。(-x+1)-log.(1+x) =-[1log.(x+1)-log。(1-x)] )[Kr2 =-f(x), 故f(x)为奇函数， c.>f2>f2) (3),当a>1时，f(x)在定义域(-1,1) 上是增加的，∴.由f(x)>0， D.f2>)》>侵) 由log.(x+1)-log。(1-x)>0, 2.若log.(a2+1)<logn2a<0,则a的取值 范围是 ( 即log。(x+1)>log。(1-x), 即x+1>1-x, A.(0,1) B(合 又-1<x<1,解得0<x<1, D.(1,+∞) ∴.x的取值范围是(0,1) c.(o.2) >>>>>)109 衔接教材一本通 数学 3.若集合A= {红1og号x≥号}，则A 二、填空题 5.已知a=logo.g2026,b=2026.1,c= 1og2o262025,比较a,b,c的大小关 4.若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对 系 数函数的解析式为 6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在 5.已知log。(2a+3)<log.3a,求a的取值 范围. [0,十∞)上为增函数，f =0,则不等式 f(logx)>0的解集为 三、解答题 7.求函数y=log号(-x2+2x+1)的值域和 单调区间. 课后检测评价 一、选择题 1.函数y=logx的图象如图所示，则a的 8.解不等式： 值可以是 ( (1)1og2(2x+3)≥log2(5x-6); (2)log。(x-4)-log.(2x-1)>0(a>0 且a≠1). (1,0) A.0.5 B.2 C.e D.π 2.不等式log2(2x十3)>log2(5.x-6)的解 集为 A.（-∞，3) c(-别 (g3 3.设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)= 1og2x,则当x<0时，f(x)= ( A.-log2x B.log2(-x） C.log,2 D.-log2 (-x) 4.（多选题)函数f(x)=log.(x十e)的图象 可能不过 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 110K(<(<衔接教材一本通 3.解：(1)由题意得+x>0, 13-x>0, 解得-1<x<3, 所以函数f(x)的定义域为（一1,3）. (2)因为f(x)=log.[(1+x)(3-x)] =log.(-x2+2x+3)=log[-(x-1)2+4], 若0<a<1,则当x=1时，f(x)有最小值1og4, 所以16g4=-2a=4,又0a<1,所以a=合 若a>1, 则当x=1时，f(x)有最大值log。4,f(x)无最 1 小值.综上可知，a= 课堂达标 1.B[由a2-a十1=1解得a=1或a=0, 又a+1>0,且a+1≠1，所以a=1.] 2.B[作直线y=1,则直线与C,C2的交点的横 坐标分别为a,b,易知0<b<a<1.] 3.D[由题意可知A={x|-2≤x≤2}，B={x|x <1},故A∩B={x|-2≤x<1}.] 4.(-2,0) 5.解：(1)中的真数是√x,而不是x,故不是对数函数. (2)中的底数是x十1，而不是常数，故不是对数 函数 (3)中的底数是（一2）2=4>0，且不等于1，符合 对数函数的定义，是对数函数 (4)中的真数是(x一3)，而不是x,故不是对数 函数 (5)中log2x的系数是3而不是1，后边的常数 是1而不是0，故不是对数函数 课后检测评价 1.B2.C 3.C[因为f(x)=log2(3-x),所以根据对数真 数大于零可知3一x>0,x<3,故函数的定义域 为{xx<3}.] 4.C[由对数函数y=log2x过定点(1,0)可知， 函数f(x)=1+log2x的图象过定点(1,1)，且 是单调递增的.同理，函数g(x)=2-的图象过 定，点(1,1)，并且是单调递减的.观察函数图象 可得选项C满足条件.] 59 [a2-4a-5=0, 6.解析：由对数函数的定义可知，{a>0, 解 a≠1， 得a=5. 答案：5 138((((<((< 数学 7.解：(1)中真数为√工，不是对数函数.(2)中对数 式后加2，∴.不是对数函数.(3)中真数为x十1， 且系数不为1，故不是对数函数.(4)中底数不是 常数，而真数是常数，所以不是对数函数 (5)中底数是6，真数为x,系数为1，符合对数函 数的定义，故是对数函数. 8,解：(1)要使函数有意义，需满足一2二0解之 x-3≠0， 得x>2且x≠3，.函数定义域为(2,3)U(3, 十∞). [16-4x>0, (2)要使函数有意义，需满足x十1>0.解之 x+1≠1， 得一1<x<0或0<x<4..函数定义域为 (-1,0)U(0,4). 第6节对数函数及其性质的应用 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)因为函数y=1og2x在(0，十∞)上是增函 数，又π>0.9，所以1og2π>log20.9. (2)由于log20.3<1og21=0,log.20.3>log.21=0, 所以1og20.3<1ogo.20.3. (3)因为67>6°=1,0<0.75<0.7°=1， 1og0.76<1og.71=0,所以67>0.75>l0g0.76. 2.解：若a>1时，则1og。号<1=loga,∴a>1. 若0<a<1,则1og号<1=1ga,∴0<a<号， 综上所速：实数a的取值范周是0，号)U1,十o, 3解：(1)要使西线有意义，则有>0，即 x+10:或+10解得x>1或<-1， {x-1>0,{x-1<0, 此函数的定义域为（一∞，一1）U(1,十∞)，关 于原点对称 2f-)-lo二-loa -1og.--f(x).所以f为奇孟数. x-1 课堂达标 1.B[由函数f(x)=logx在(0，十o∞)是单调增 函载，且4<日<2，知ff(合)<f2).] 2.B[.a≠1，∴.a2+1-2a=(a-1)2>0, 是城油科] 3解析：g会分0<<(2)户-9A {x10<x<号}tA=(-,0u9+∞】 答案：-0,0U(9,+ 4.解析：设函数解析式为y=log。x,,函数的图象 过点(4,2)，.log4=2,.a=2,.y=log2x. 答案：y=log2x 5.解：(1)当a>1时，原不等式等价于 a>1, 2a十3<3a,解得a>3. 2a+3>0, (2)当0<a<1时，原不等式等价于 0<a<1, 2a十3>3a,解得0<a<1. 3a>0, 综上所述，a的范围是(0,1)U(3,十∞). 课后检测评价 1.A2.D 3.D[x<0时，-x>0,f(-x)=log2(-x),又 因为f(x)为奇函数，所以f(一x)=一f(x),所 以f(x)=-log2(-x).] 4.AD[(1)0<a<1时，f(x)=log。(x十e)的图 象不过第一象限，(2)a>1时，f(x)=log。(x十 e)的图象不过第四象限.] 5.a<c<6 6.(0,)U2,+o 7.解：设t=-x2+2x+1,则t=一(x-1)2+2. 因为y=logt为减函数，且0<t≤2， 所以ymin=log号2=一1， 即函数的值域为[一1，十∞). 函数1og号(-x2+2x十1)的定义域为满足一x2 十2x十1>0的x的取值范围，由函数y=一x2 +2x十1的图象知，1-√2<x<1+√2， 因为t=-x2+2x十1在(1一√2,1)上递增，而 在(1,1十√2)上递减，而y=log4t为减函数. 所以函数y=log号(-x2十2x十1)的增区间为 (1,1十√2)，减区间为(1一√2,1). 2x+3>0, 8.解：(1)原不等式等价于5x-6>0, 解得号 2x+3≥5x-6, 二3所以不等我的解案为{号<≤3} (2)原不等式化为log.（x-4)>log.(2x-1).当 a>1时， ,x-4>0, 不等式等价于2x一1>0，无解. x-4>2x-1, 参考答案 ,x-4>0, 当0<a<1时，不等式等价于2x-1>0. (x-4<2x-1, 解得x>4.综上可知，当a>1时，解集为心； 当0<a<1时，解集为{xx>4}. 教材衔接测试 1.D[集合B={x|x>2},所以A∩B={x2< x<3}.] 2.A[由题意使函数表达式有意义，即 2≥0解得1<≤2，所以函数的定义战为 (x-1>0 {x|1<x≤2}.] 3.A[“1<x<2”可以推得“x<2”,即满足充分 性，但由“x<2”得不出“1<x<2”,所以为充分 不必要条件.] 4.A[存在量词命题的否定为全称命题，即Hn∈ N,2≤1000，故选A.] 5.B[对于A,y=lnx,为非奇非偶函数，在 (0,十∞)上是增函数，故A不选； 对于B,y一（位），函金为%西益当心0时。 y-(合)为成西数，故B满足题意： 对于C,y=x2-1,函数为偶函数，在(0，十∞) 上是增函数，故C不选； 对于Dy=是在定又城内为奇画数，在(0， 十∞)上是减函数，故D不选.] 6.B[x∈[-1,2]，.0≤|x≤2.则1≤3≤ 9,0≤3-1≤8.] .D[:x>1x+=x-1)+马+1≥ 2/x-D…)+1=3a≤3.故选D.] 8C儿时子A南”1，保得-1： 且x≠0， 可得画数f)已的定义减为[一1， 0)U(0,1],故A正确； 对于B由A可得了)=子，单f) |xW/1-x2 当0<x≤1可得f(x)=-√1-x∈(-1,0]， 当-1≤x<0可得f(x)=√1-x∈[0,1)，可 得函数的值域为(-1,1)，故B正确； 对于C,由f(一1)=f(1)=0,则f(x)不是定义 域上增函数，故C错误； >>>>>>>>139