2 第4章 指数函数与对数函数 第1节 指数与指数幂的运算-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 数学 第四章 指数函数与对数函数 第1节指数与指数幂的运算 学习目标 1.通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的4C的衰减，药物在人体内残留量的变化 等)，了解指数函数模型的实际背景 2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 课前预习导引 时，a(a≥0)表示a在实数范围内的一 个n次方根，另一个是一a,从而 知识点① 根式 (士Va)"=a. 1.根式及相关概念 2.(a)"与a"的区别 (1)a的n次方根定义 如果 ,那么x叫做a的n次 (1)当n为奇数，且a∈R时，有a"=(a)n 方根，其中n>1,且n∈N*. =a; (2)a的n次方根的表示 (2)当n为偶数，且a≥0时，有Va"=(a)” =a; 的n次方根 a a的取 n的奇偶性 的表示符号 值范围 (3)当n为偶数且a≤0时Va"=-a. 知识点② 分数指数幂 n为奇数 a R 1.分数的指数幂的意义 n为偶数 ±Wa [0,+o∞) 正分数 规定：a= (a>0,m,n 指数幂 ∈N*,且n>1) (3)根式 式子 叫做根式，这里n叫做 分数指数 负分数 规定：a=1 1(a> ,a叫做 指数幂 2.根式的性质 0,m,n∈N*,且n>1) (1)0= (n∈N*,且n>1); 0的正分数指数幂等于 (2)(a)"=(n∈N*,且n>1): 性质 ,0的负分数指数 (3)Na"= (n为大于1的奇数)； 幂 (4)Wa= (a≥0) 2.有理数指数幂的运算性质 (a<0) n为大于1 (1)a'·a= (a>0,r,s∈Q); 的偶数). (2)(a)= (a>0,r,s∈Q); 化解疑难 (3)(ab)'= (a>0,b>0,r∈Q). 1.根式记号的注意点 3.无理数指数幂 (1)根式的概念中要求n>1,且n∈N*. 无理数指数幂a(a>0,a是无理数)是一 (2)当n为大于1的奇数时，a的n次方根 个 .有理数指数幂的运算性质对 表示为Wa(a∈R);当n为大于1的偶数 于无理数指数幂同样适用， 90((《<((< 高中新知探究学习 第二篇\ 化解疑难 [变式训练] 1.对分数指数幂的理解 1.化简(1)(x-π)"(x<π，n∈N*); (1)指数幂a°不可以理解为m个a相乘，它 (2-sa+wri) 是根式的一种新写法.在定义的规定下， 根式与分数指数幂是表示相同意义的量， 只是形式上不同而已，这种写法更便于指 数运算，所以分数指数幂与根式可以相互 转化； (2)通常规定分数指数幂的底数a>0,但要 注意在像（一a)=一a中的a,则需要 a≤0. 2.有理指数幂的运算性质的理解与巧记 (1)有理数指数幂的运算性质是由整数指 数幂的运算性质推广而来，可以用文字 类型二根式与分数指数幂的互化可 语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不 变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指 「例2用分数指数幂表示下列各式： 数相乘；③积的幂等于幂的积. 1)a3.a; (2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运 63 2 (2) Wa√(a>0,6>0) a 算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘. 课堂典例探究 (3)Va4b2ab(a>0,b>0). 心类型一 根式的性质 [解](1)a3.a=a3.a=a3+号=a 例求下列根式的值. (2)因为a>0,b>0, (1)(-2);(2)W(2-π)； (3)x+1). [解](1)(-2)=2. =√(a1b)·(a2b6)月 (2)9(2-π)5=2-元. =√(ab)(ab3) (3)(x+1)=|x+1 =√ab=(a2b量)量 x+1,x≥-1， =aib-i. -x-1,x<-1. (3)因为a>0,b>0, 规律方法 a= a,n为偶数， 要 a,n为奇数. 所必Wa4b2a6=√a4bab 解决根式的化简问题，首先要分清根式 =√a号.6 为奇次根式，还是偶次根式 =(a号.b3)7=a号b. >>>>>》>91 衔接教材一本通 数学 规律方法 (2)根式一般先转化成分数指数幂，然 根式与分数指数幂互化的规律 后再利用有理数指数幂的运算性质进 (1)根指数化为分数指数的分母，被开方 行运算.在将根式化为分数指数幂的过 数（式）的指数化为分数指数的分子. 程中，一般采用由内到外逐层变换为指 (2)在具体计算时，通常会把根式转化成 数的方法，然后运用运算性质准确求 分数指数幂的形式，然后利用有理数指 解.如√(-2)=[(-2)6]立=(2)立 数幂的运算性质解题， =8. [变式训练] (3)结果可以用根式或分数指数幂表 2.下列根式与分数指数幂的互化正确的是 示，但必须是最简结果· ( [变式训练] A.-√元=(-x)(x>0) 3.化简求值：(1)(a2b3)·(-4a1b)÷ B.9y=y(y<0) (12a4b2c); (2)2a÷4a·bX36. D.x言=-元(x≠0) 八类型三 分数指数幂的运算☑ 例3计算下列各式： w+2×4) (0.01)°.5； 2(-30) +(0.002)-言-10×(5 -2)-1+(2-3). [解] 1)原式=1+×() ☑课堂达标 2)原式=(-1)×38】 1.下列各式正确的是 1 10 A.a°=1 B.9(-2)3=-2 500 +1 w5-2 C.√(-2)2=-2 D.VaT-a +500-10×(5+2)+1 2.化简8的值为 -号+105-105-20+1=-1 A.2 B.4 C.6 D.8 91 3.(2-√3)2025(2十√3)226的值为 ) 规律方法（1)指数幂的一般运算步 A.-1 B.2+√3 骤是：有括号先算括号里的；无括号先 做指数运算.负指数幂化为正指数幂的 C.2-3 D.1 倒数.底数是负数，先确定符号，底数是 4.计算： ·(3√2+3)+ 小数，先要化成分数，底数是带分数，先 要化成假分数，然后要尽可能用幂的形 (3)4-(2)4 式表示，便于用指数幂的运算性质。 (√3-√2)° 92(< 高中新知探究学习 第二篇\ 5.(1)化简Wxy2·√xy·√xy·(xy)1 4.已知ab=一5，则a (xy≠0)； 2)计算2上罗+君 值是 1 2 A.25 B.0 √1-5)°.8. C.-25 D.±25 二、填空题 5.已知a∈R,n∈N*,给出四个式子： ①9-2)2m;②a;③，9-3)2m+; ④9一a,其中没有意义的是 (只填式子的序号即可). 6.设a2=b=m(a>0,b>0),且a+b=6, 则m等于 三、解答题 7.将下列根式化成分数指数幂形式： (1)a·a;(2)√aaa; (3)a.√a; (4)(a)2.√ab. 课后检测评价 一、选择题 1.下列各式中正确的个数是 ) ①a=(a)"=a(n是奇数且n>1,a为 实数)； ②a"=(a)”=a(n是正偶数，a 是实数)； ③a+√=a十b(a,b是实数). A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列关系式中，根式与分数指数幂的互 化正确的是 ( 求+36+30： A.-√x=(-x)(x>0) ai-27ab 3的值。 B.9y=y(y<0) Ciy_(>0,y>0) D.x=-z(x≠0) 3.化简工(x<0)的结果是 A.--z B. C.-√E D.√-x >>>>>93衔接教材一本通 课堂达标 1.D2.B 3.A[当a=一1时，y=x1的定义域是{x|x≠ 0},且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义 城是R,且为寺函数：当a=号时，函数)=的定 义域是{xx≥0}，且为非奇非偶函数；当a=3时， 函数y-x3的定义域是R且为奇函数.故选A.] 4 2 5.解：由已知，得m2-2m-3≤0，所以-1≤m≤3. 又因为m∈Z,所以m=-1,0,1,2,3. 当m=0或m=2时，y=x3为奇函数，其图象 不关于y轴对称，不符合题意. 所以m=士1或m=3.当m=一1或m=3时， 有y=x°，其图象如图(1). 当m=1时，y=x4,其图象如图(2) (00 课后检测评价 1.C2.A 3.C[当a<0时，函数y=ax-是减函数，且 在y轴上的裁距-1>0，y=x在(0，十∞)上 是减函数，∴A,D两项均不正确.对于B,C两 项，若a>0则y=ax-】是增函数，B项错误，C 项正确，故选C.] 4,A[y=为偶函数，图象关于y轴对称，又号 >1,在第一象限内，图象为下凸递增的.] 5.f(x)=x46.(1,+∞) 7.解：（1)若函数f（x)为正比例函数，则 m2+m-1=1∴m=1. 1m2+2m≠0， (2)若函数f(x)为反比例函数，则 m2+m-1=-1m=-1. 1m2+2m≠0， (3)若函数f(x)为暴函数，则m2十2m=1, ∴.m=-1土√2. 8.解：因为函数在(0，十∞)上单调递减，所以3m 9<0,解得m<3,又m∈N*,所以m=1,2. 因为函数的图象关于y轴对称，所以3m一9为 偶数，故m=1,则原不等式可化为(a十3)言< (5-2a)-. 因为y=x在（一∞，0），(0，十∞)上单调递 减，所以a+3>5-2a>0或5-2a<a+3<0 或a+3<0<5-2a,解得号<a<号或a<-3 134(((<<< 数学 第四章指数函数与对数函数 第1节 指数与指数幂的运算 课前预习导引 知识点1 1.x”=aa根指数被开方数 2.0 aa lal a-a 知识点2 1.am0无意义2.a+a”ab3.实数 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)x<π，x-π<0. 当n为偶数时，W(x一π)”=|x-π=π一x;当n 为奇数时，W(x一π)”=x一π. 综上可知W(x-严-π一x,n为偶数，n∈N, x-π，n为奇数，n∈N*. (2)a≤21-2a≥0， ∴94a2-4a+1=9(2a-1)2=91-2a) =1-2a. 2.C[-E=-x(x>0);9y=[(y)2]= -y(y<0); x-t-x>o-()月 沿o.1 3.解：(1)原式=-4a2-1b3+1÷(12a4b2c) 343-b-9c1=-3a1=-是 (2)原式=2a寺÷(4ab)X(3b2) =a-6t:6=昌a. 课堂达标 1.B[根据根式的性质可知B正确.] 2.B[8=(23)号=4.] 3.B[(2-W3)2025(2+√5)2026=(2-√3)2o25 (2+W3)225(2十√3)=[(2-√3)(2+3)]25] X(2+3)=1225×(2+√5)=2+√3. 4.4 5.解：(1)原式=[xy2·(xy1)]·(xy)立· (xy)- =x专·y号|x言|y黄.x厂y厂专 =x·lx寸=1x>0 {-1,x<0 (2)原式=++2+1-2 √2√2 =2√2-3. 课后检测评价 1.B2.C 3.A=-正=-√Fz] x 4B[由题知a0厂吾+6厂号 6源-0.就老B 5.③6.16 7.解：(1)a.a=a}.a=a品； (2)原式=a克.a·b=a景； (3)原式=a号·a是=a是； (4)原式=(a)2·a是·b2=ab. 8.解：，'a≠0，a-27b≠0， :原式=a子+3ab+(363)×a3-36 a3(a-27b) af =(a)3-(361)3 =a号 a(a-27b) ()-()-(- 第2节 指数函数的图象及性质 课前预习导引 知识点1 y=a(a>0,且a≠1) 知识点2 (0,1)01y>10<y<10<y<1y>1 增函数减函数 课堂典例探究 变式训练 1.(1)D (2(31ju,+m) 2.解析：(1).当x+1=0,即x=-1时，f(x)= a°+3=4恒成立，故函数f(x)=a+1十3恒过 (一1,4)点 ,x≥0， (2)y= ,x<0, 六共图象由y=(侵)广女≥0)和y=g<0)的 图象合并而成 y 而=（侵厂(x>0)和y=2(x<0)的图象关于 y轴对称，所以原函数的图象关于y轴对称.由 图象可知值域是(0,1]，单调递增区间是（一∞， 0],单调递减区间是(0，十∞). 答案：(1)(-1,4)(2)见解析 参考答案\ 3.解：1：fx)的图象过点(2,2)： a2-1= 1 2由)知，f)-(合) ,x≥0. 由x≥0，得x-1≥-1， 于是0<()≤()小 =2, 所以函数y=f(x)(x≥0)的值域为(0,2]. 课堂达标 1.C[有=3=(3) 符合指数函数的定 义，A,B,D中函数都不符合y=a(a>0且a≠ 1)的形式.] 1a2-3a+3=1 2.C[由指数函数的定义知： {a>0且a≠11 .a=2(a=1舍去).] 3.B-1D=21-f-1]=f(2)=3 =√3.] 4.(1,3) 5.解析：(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示： =' x)=3 -101 2f0==3,8-1D-(G) =3 f-,a--() =3. fm)=3”8g-m)-(（】 =3m 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值 互为相反数时，其函数值相等 课后检测评价 1.D2.A3.C 4.A[当x>0时，-x<0,f(-x)=2, 即-f)=(…g)=f)=-()月 因此有g(2)= (2)=- 5.a≥1或a=0 6.解析：当x=1时，x2+2x一3=0，故a°十m= 10,所以m=9. 答案：9 7.解：(1)因为f(x)的图象过点(2,0)，(0，一2)， 所以0十b=0,解得a=3,6=-3. a°+b=-2; (2)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1)， 因为f0)=1+b<0,即b<-1, 所以b的取值范围为（一∞，一1） >>>>>>>>135