2 第4章 指数函数与对数函数 第4节 对数与对数运算-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 数学 第4节对数与对数运算 学习目标 1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用 对数. 2.通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用. 知识点② 对数的运算性质 课前预习导引 如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么： 知识点① 对数的概念及常用结论 1.log。(M·N)= 1.对数的概念 般地，如果a=N(a>0,且a≠1)，那 2.log.N 么数x叫做以a为底N的对数，记作 3.log M"= ,其中 叫做对数的底数， 化解疑难 叫做真数。 巧记对数的运算性质 2.常用对数与自然对数 (1)两个正数的积的对数等于这两个正数 (1)通常我们将 的对数叫做常用 的对数的和。 对数，并把1og1oN记为lgN. (2)两个正数的商的对数等于这两个正数 (2)在科学技术中常用以无理数e=2.71828… 的对数的差. (3)正数幂的对数等于幂指数乘以同一底 为底数的对数， 的对数称为自 数幂的底数的对数 然对数，并且把log。N记为lnN. 3.几个常用结论 知识点③ 换底公式 (1)log1= ,log a= (a>0, 对数的换底公式 且a≠1)； l0g 6= (a>0,且a≠1；c>0,且 (2)loga”= (a>0,且a≠1)； c≠1；b>0). (3)对数恒等式：a,N (a>0,且 化解疑难 a≠1). 1.换底公式的推导 化解疑难 设x=logb,化为指数式为a=b,两边 对数的概念中规定“a>0,且a≠1”的原因 取以c为底的对数，得log.a=logb,即 (1)若a<0,则当N为某些值时，x的值不 xlog a=logb, 存在.如x=log-28不存在. 所以x= logb ,即1ogb= logb log.a loga (2)若a=0,当N≠0时，x的值不存在.如 2.换底公式常用推论 1og3(可理解为0的多少次幂是3)不 logb”=logb(a>0,a≠1，b>0,n≠0)； 存在。 (3)若a=1,①当N≠1时，x的值不存在. log-b"=logb(a>0,a≠1，b>0, m 如1og13不存在. m≠0，n∈R); ②当N=1时，x可以为任意数，是不唯 logb·loga=1(a>0,b>0,a≠1，b≠1)； 一的，即1og11有无数个值. logb·log6c·log.d=logd(a>0,a≠1， 因此规定a>0,且a≠1. b>0,b≠1，c>0,c≠1，d>0). 100(((<< 高中新知探究学习 第二篇\ [解] (1)原式=3·3g6-16·2%3+ 课堂典例探究 指数式与对数式的互化. 100+%"=18-48+27+8=裙 心类型一 「例川将下列指数式化为对数式，对数式化 (2)原式=(1g2+1g5)[(1g2)2-lg2· 为指数式： 1g5+(1g5)2]+3lg2·lg5 3=2) =(lg2)2-lg2·lg5+(1g5)2+3lg2·lg5 =16; =(1g2+lg5)2=1. (3)1og27=-3; (3)解法-：原式=1g(500×)-1g (4)1og564=-6. +50[1g(2×5)]=lg800-1g8+50 [解](1)：32= l0g=-2. 800+50 =1 2:()°-161g16=-2. =1g100+50=2+50=52. (31g427=-3(】 =27. 解法二：原式=lg5+lg100+lg8-lg5 gg+50 - (4).1og64=-6,∴.(x)-6=64. =lg100+50=52. 规律方法对数式中的真数N就是指数 式中的幂N,而x是指数式中的幂指数.对 规律方法 (1)利用性质进行运算时， 数式与指数式的关系如图所示」 指数式与对数式的互化是一种重要而 基本的方法 a>0,且a≠1 x=log N (2)利用对数的运算性质可以把幂的 乘、除、乘方运算转化为对数的加、减、 [变式训练] 乘法运算.反之亦然 、 1.将下列指数式与对数式互化： [变式训练] (1)1og327=3;(2)log号8=-3； 2.求下列各式的值： =9,4)22-1 (1)lg5+lg2×1lg50+(1g2)2; (2)0s+lg 1-log (3)g5·lg8000+(g20)2 lg600-2lg0.036-2lg0.1 八类型二 对数运算性质的应用冈 例2求下列各式的值！ (1)31+1o8,6-24+18,3+103le8+ 0g34-1 (2)(lg2)3+(1g5)3+3lg2·lg5; (3g300+leg起61+50g2+g5识 >>>>>>101 衔接教材一本通 数学 八类型三。- 换底公式的应用 ☑课堂达标 例3计算： 1.(多选题)下列指数式与对数式互化正确 (1)1g20+1og1o25; 的是 ( (2)(1og2125+log425+log85)·(1og1258 A.e°=1与loge1=0 +l0g2s4++l0gs 2). B.8=2与1og2- 1 [解](1)1g20+log1o25=1十lg2十 1g25 C.log39=2与9=3 1g100 =1+lg2+lg5=2. D.1og,7=1与7=7 (2)(1og2125+log425+1og5)·(1og1258 2.计算：log153-log62十1og155-log63= +1og254+log52) =(1og253+1og225+log25)·(1og23+ A.-2 B.0 C.1 D.2 logs:22+l0gs2) 3.在对数式logx-D(3一x)中，实数x的取 值范围应该是 ( -(3+1+3)loga5·(1+1+1D1og2 A.1<x<3 B.x>1且x≠2 3 C.x>3 D.1<x<3且x≠2 3=13. 规律方法1.在化简带有对数的表达式 4.已知3=2,3=号，则3-= 时，若对数的底不同，需利用换底公式， 5.计算：(1)1og35-21og3 +1og7- 2.常用的公式有：logb·1og6a=1, log31.8; log.n-mlogb,log.6-loga 等 72 (2)1g(W3+√5+√3-√5). [变式训练] 3.求值： (1)log23·log35·log16; (2)(1og32+log2)(1og43+log83). 课后检测评价 一、选择题 1.(多选题)若a>0且a≠1，b>0,c>0,则 下列式子中正确的个数为 () A.log。(b·c)=logb+log.c B.log.(c)-log.c log b C.loga (6+c)=logb.log.c D.loglog.log.e 102((<(< 高中新知探究学习 第二篇 2.log2√2的值为 8.已知logn2=m,log.3=n. A.-2 B.√2 c号 1 D.2 (1)求a2m-"的值；(2)求1og.18. 3.设方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3 =0的两根为x1,x2,那么x1·x2的值为 () A.lg2·lg3 B.Ig 2+1g 3 c D.-6 4.若1og写1g610gx=2,则z等于 A.9 Bi C.25 D.25 二、填空题 5.logs 510g,6logs 7l0ge 810g,9= 6.已知x,y∈(0,1)，若lgx十lgy=lg(x十y), 则lg(1一x)十lg(1-y)= 三、解答题 7.计算：1)l25688+1oge号： 1g50-1g40 (2)lg5(1g8+lg1000)+(1g2)2+ g日+lg0.06. >>>>>>1038.解：(1)由题意知，P(8)=9, 所以8十28-=9，即28-t=1, 解得=8； (2)由(1)知，P(x)=8+2-8, 所以P(10)=8十210-8=12， 即第10天的打卡人数约为12万人. 答案：(1)8(2)12万人 第4节对数与对数运算 课前预习导引 知识点1 1.x=log N a N2.以10为底以e为底 3.01nN 知识点2 1.log M+log N 2.log M-logN 3.nlog M(n∈R) 知识点3 logb loga 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)33=27； 22)'=8 (3)1og59=-2; (0log}=-2 2.解：(1)原式=21g5+1g2×1g(5×10)+(1g2)2 =21g5+lg2×lg5+lg2+(lg2)2=21g5+ Ig 2X(1g 5+1g 2)+1g 2=21g 5+1g 2+1g 2 =2(1g5+lg2)=2. 原式=og45×12x (3)分子=lg5(3+31g2)+3(1g2)2=31g5+ 3lg2(1g5+lg2)=31lg5+3lg2=3(1g5+lg2)=3; 分#=(g6+2)-®J8品× =lg6+2 g718=4原式= .6 3.解：(1)原式=g3.g5.g16=lg16=4g2 1g 2 1g 3 1g 5 1g 2 1g 2 =4. (2)原式= 1g 21g 2(1g 31g 3 1g31g9八1g41g8 lg2+lg2)lg3+lg3-31g2,51g3 (1g3+21g3八21g2十31g2-21g3·61g2 5 4 课堂达标 1.AD[由指数、对数互化的关系： a2=N台x=log N可知A、D正确.] 参考答案 2.B[原式=logs(3×5)-1og(2×3)=1-1=0.] 3-x>0, 3.D [{x-1>0,解得1<x<3且x≠2.] x-1≠1， 4.20 5.解：(1)原式=log(5×7)一2(1og7-log3)+ logs7-log5+log7-20g7+2log +1log57-21og53+log5=2. (2)原式=21g6W3+5+W3-5)2=21g(3+ 5+3-5+2√9-5)=21g10=2 课后检测评价 1.AD 2.D 3.C[设lgx=t,则t2+(1g2+lg3)t+lg2lg3=0. 据=l8'又+2=-1g2-1g3=1gx十 t2=1g x2, g=行] 4D[1og,号·1og,61gsx=g)3·g9 -1g 3 1g 6 gg=182,gx=—2g5=g5 1g5 =5=云 5.36.0 10 5 7.解：(1)原式= 831ogg√②>1 .50 g车一1-0. Ie o 5 1g4 (2)原式=1g5(31g2+3)+3(1g2)2-lg6+ lg6-2=3·lg5·lg2+3lg5+31g2-2 =31lg2(1g5+lg2)+3lg5-2=31g2+3lg5-2 =3(1g2+1g5)-2=3-2=1. 8.解：(1)，log。2=m,log。3=n,am=2,a”=3. ∴a=an÷a=(ay2÷a=2÷3=号 (2)log.18=log。(2×32)=log.2+log.32 =log 2+210ga3=m+2n. 第5节对数函数及其性质 课前预习导引 知识点1 log。x(a>0,且a≠1)x 知识点2 (1,0)y<0y>0y>0y<0增函数减 函数 知识点3 y=a(a>0,且a≠1) 课堂典例探究 变式训练 1.(1)C(2)A2.(1)A(2)A 137