2 第4章 指数函数与对数函数 第5节 对数函数及其性质-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

8.解：(1)由题意知，P(8)=9, 所以8十28-=9，即28-t=1, 解得=8； (2)由(1)知，P(x)=8+2-8, 所以P(10)=8十210-8=12， 即第10天的打卡人数约为12万人. 答案：(1)8(2)12万人 第4节对数与对数运算 课前预习导引 知识点1 1.x=log N a N2.以10为底以e为底 3.01nN 知识点2 1.log M+log N 2.log M-logN 3.nlog M(n∈R) 知识点3 logb loga 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)33=27； 22)'=8 (3)1og59=-2; (0log}=-2 2.解：(1)原式=21g5+1g2×1g(5×10)+(1g2)2 =21g5+lg2×lg5+lg2+(lg2)2=21g5+ Ig 2X(1g 5+1g 2)+1g 2=21g 5+1g 2+1g 2 =2(1g5+lg2)=2. 原式=og45×12x (3)分子=lg5(3+31g2)+3(1g2)2=31g5+ 3lg2(1g5+lg2)=31lg5+3lg2=3(1g5+lg2)=3; 分#=(g6+2)-®J8品× =lg6+2 g718=4原式= .6 3.解：(1)原式=g3.g5.g16=lg16=4g2 1g 2 1g 3 1g 5 1g 2 1g 2 =4. (2)原式= 1g 21g 2(1g 31g 3 1g31g9八1g41g8 lg2+lg2)lg3+lg3-31g2,51g3 (1g3+21g3八21g2十31g2-21g3·61g2 5 4 课堂达标 1.AD[由指数、对数互化的关系： a2=N台x=log N可知A、D正确.] 参考答案 2.B[原式=logs(3×5)-1og(2×3)=1-1=0.] 3-x>0, 3.D [{x-1>0,解得1<x<3且x≠2.] x-1≠1， 4.20 5.解：(1)原式=log(5×7)一2(1og7-log3)+ logs7-log5+log7-20g7+2log +1log57-21og53+log5=2. (2)原式=21g6W3+5+W3-5)2=21g(3+ 5+3-5+2√9-5)=21g10=2 课后检测评价 1.AD 2.D 3.C[设lgx=t,则t2+(1g2+lg3)t+lg2lg3=0. 据=l8'又+2=-1g2-1g3=1gx十 t2=1g x2, g=行] 4D[1og,号·1og,61gsx=g)3·g9 -1g 3 1g 6 gg=182,gx=—2g5=g5 1g5 =5=云 5.36.0 10 5 7.解：(1)原式= 831ogg√②>1 .50 g车一1-0. Ie o 5 1g4 (2)原式=1g5(31g2+3)+3(1g2)2-lg6+ lg6-2=3·lg5·lg2+3lg5+31g2-2 =31lg2(1g5+lg2)+3lg5-2=31g2+3lg5-2 =3(1g2+1g5)-2=3-2=1. 8.解：(1)，log。2=m,log。3=n,am=2,a”=3. ∴a=an÷a=(ay2÷a=2÷3=号 (2)log.18=log。(2×32)=log.2+log.32 =log 2+210ga3=m+2n. 第5节对数函数及其性质 课前预习导引 知识点1 log。x(a>0,且a≠1)x 知识点2 (1,0)y<0y>0y>0y<0增函数减 函数 知识点3 y=a(a>0,且a≠1) 课堂典例探究 变式训练 1.(1)C(2)A2.(1)A(2)A 137 衔接教材一本通 3.解：(1)由题意得+x>0, 13-x>0, 解得-1<x<3, 所以函数f(x)的定义域为（一1,3）. (2)因为f(x)=log.[(1+x)(3-x)] =log.(-x2+2x+3)=log[-(x-1)2+4], 若0<a<1,则当x=1时，f(x)有最小值1og4, 所以16g4=-2a=4,又0a<1,所以a=合 若a>1, 则当x=1时，f(x)有最大值log。4,f(x)无最 1 小值.综上可知，a= 课堂达标 1.B[由a2-a十1=1解得a=1或a=0, 又a+1>0,且a+1≠1，所以a=1.] 2.B[作直线y=1,则直线与C,C2的交点的横 坐标分别为a,b,易知0<b<a<1.] 3.D[由题意可知A={x|-2≤x≤2}，B={x|x <1},故A∩B={x|-2≤x<1}.] 4.(-2,0) 5.解：(1)中的真数是√x,而不是x,故不是对数函数. (2)中的底数是x十1，而不是常数，故不是对数 函数 (3)中的底数是（一2）2=4>0，且不等于1，符合 对数函数的定义，是对数函数 (4)中的真数是(x一3)，而不是x,故不是对数 函数 (5)中log2x的系数是3而不是1，后边的常数 是1而不是0，故不是对数函数 课后检测评价 1.B2.C 3.C[因为f(x)=log2(3-x),所以根据对数真 数大于零可知3一x>0,x<3,故函数的定义域 为{xx<3}.] 4.C[由对数函数y=log2x过定点(1,0)可知， 函数f(x)=1+log2x的图象过定点(1,1)，且 是单调递增的.同理，函数g(x)=2-的图象过 定，点(1,1)，并且是单调递减的.观察函数图象 可得选项C满足条件.] 59 [a2-4a-5=0, 6.解析：由对数函数的定义可知，{a>0, 解 a≠1， 得a=5. 答案：5 138((((<((< 数学 7.解：(1)中真数为√工，不是对数函数.(2)中对数 式后加2，∴.不是对数函数.(3)中真数为x十1， 且系数不为1，故不是对数函数.(4)中底数不是 常数，而真数是常数，所以不是对数函数 (5)中底数是6，真数为x,系数为1，符合对数函 数的定义，故是对数函数. 8,解：(1)要使函数有意义，需满足一2二0解之 x-3≠0， 得x>2且x≠3，.函数定义域为(2,3)U(3, 十∞). [16-4x>0, (2)要使函数有意义，需满足x十1>0.解之 x+1≠1， 得一1<x<0或0<x<4..函数定义域为 (-1,0)U(0,4). 第6节对数函数及其性质的应用 课堂典例探究 变式训练 1.解：(1)因为函数y=1og2x在(0，十∞)上是增函 数，又π>0.9，所以1og2π>log20.9. (2)由于log20.3<1og21=0,log.20.3>log.21=0, 所以1og20.3<1ogo.20.3. (3)因为67>6°=1,0<0.75<0.7°=1， 1og0.76<1og.71=0,所以67>0.75>l0g0.76. 2.解：若a>1时，则1og。号<1=loga,∴a>1. 若0<a<1,则1og号<1=1ga,∴0<a<号， 综上所速：实数a的取值范周是0，号)U1,十o, 3解：(1)要使西线有意义，则有>0，即 x+10:或+10解得x>1或<-1， {x-1>0,{x-1<0, 此函数的定义域为（一∞，一1）U(1,十∞)，关 于原点对称 2f-)-lo二-loa -1og.--f(x).所以f为奇孟数. x-1 课堂达标 1.B[由函数f(x)=logx在(0，十o∞)是单调增 函载，且4<日<2，知ff(合)<f2).] 2.B[.a≠1，∴.a2+1-2a=(a-1)2>0, 是城油科]衔接教材一本通 数学 第5节对数函数及其性质 学习目标 1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概 念，体会对数函数是一类重要的函数模型. 2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与 特殊点. 3.知道指数函数y=a与对数函数y=logx互为反函数(a>0,且a≠1) 化解疑难 课前预习导引 a对对数函数的图象的影响 知识点①) 对数函数的概念 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数 函数y= 叫做对数函数，其中 图象的“升降”：当a>1时，对数函数的 是自变量 图象“上升”；当0<a<1时，对数函数 化解疑难 的图象“下降” 对数函数概念的注意点 (2)底数的大小决定了图象相对位置的高 (1)对数函数的概念与指数函数类似，都是 低：不论是a>1还是0<a<1,在第一象 限内，自左向右，图象对应的对数函数 形式定义，注意辨别.如：y=2log2x,y= 的底数逐渐变大。 1og号都不是对数函数，可称其为对数 知识点③ 反函数 型函数. 对数函数y=log.x(a>0,且a≠1)和指 (2)由指数式与对数式的关系知，对数函数 数函数 互为反函数 的自变量x恰好是指数函数的函数值 化解疑难 y,所以对数函数的定义域是(0，十∞). 反函数的性质 (3)对数函数对底数的限制：a>0,且a≠1. (1)函数y=log。x与y=a”的定义域和值 知识点②对数函数的图象与性质 域刚好相反. a>1 (2)函数y=logax与y=log1x(a>0,且 0<a<1 a≠1)的图象关于x轴对称. x=】 =1 图象 y=logax(a>1) (1.0) 课堂典例探究 07(1,0) y=logax(0<a<l) 》类型一与对数函数有关的定义域问题☑ 定义域 (0,+∞) 值域 R 「例(1)函数f(x)= 的定义 √/1og2x-1 过定点 过定点 ,即x=1时，y=0 域为 ) 性 质 函数值 当0<x<1时， 当0<x<1时， A.(0,2) B.(0,2] 的变化 当x>1时， 当x>1时， C.(2,+∞) D.[2,+∞) 是(0，十∞)上 是(0，十∞)上 单调性 (2)函数f(x)=log2x-1W3.x-2的定义域 的 的 是 104(((《(<< 高中新知探究学习 第二篇\ [解析] (1)要使f(x)= 有意 (2)已知函数y=log。(x+3)-1(a>0, √/1og2x-1 a≠1)的图象恒过定点A,若点A也在函 1x>0, 数f(x)=3+b的图象上，则f(1og32) 义，必须 解得：x>2.选C. log2x-1>0, (2)要使f(x)=log2z-1W3.x-2有意义，必 [解析](1)A中，由y=x十a的图象知 2x-1>0, a>1,而y=log。x为减函数，A错；B中， 领2x-11,解释：>号且≠1， 0<a<1,而y=log。x为增函数，B错；C 3x-2>0, 中，0<a<1,且y=logx为减函数，所以 C对；D中，a<0,而y=log。x无意义，也 函数f的定义城为（号U1,十 不对 (2)依题意可知定点A(一2，一1)， [答案](1)C f-2)=3+6=-1,6=-9故f） 规律方法求函数定义域的三个步骤 (1)列不等式（组）：根据函数f(x)有意 g,f0g,2)=32-10-2-10-8 9 99 义列出x满足的不等式（组） [答案] (1)C(2)8 9 (2)解不等式（组）：根据不等式（组）的 解法步骤求出x满足的范围 规律方法 (3)结论：写出函数的定义域. 解决对数函数图象的问题时要注意 提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时， (1)明确对数函数图象的分布区域.对 要注意解集为各不等关系解集的交集. 数函数的图象在第一、四象限.当x趋 近于0时，函数图象会越来越靠近y (2)当对数型函数的底数含字母时，在 轴，但永远不会与y轴相交. 求定义域时要注意分类讨论 (2)建立分类讨论的思想.在画对数函数 [变式训练] 图象之前要先判断对数的底数a的取值 1.(1)函数f(x)=√3-x+lg(x+1)的定义 范围是a>1,还是0<a<1. 域为 ( (3)牢记特殊点.对数函数y=log。x(a A.[-1,3) B.（-1,3) >0,且a≠1)的图象经过点：(1,0)， C.(-1,3] D.[-1,3] (a,1)和 -1 (2)函数y=√1og(2x-1)的定义域为 [变式训练] 2.(1)如图所示，曲线是对 A.[1,+∞) B.(1,+∞) 数函数y=logax(a>0, D(合 且a≠1)的图象，已知a 1 类型二 对数函数的图象 ☑ 取，专号品则相应 [例2(1)函数y=x+a与y=log。x的图 于C,C2,Cg,C4的a值依次为 象只可能是下图中的 A8,台0 B号0 c告号品 n告品号 >>>>>>>>105 衔接教材一本通 数学 (2)函数y=log。|x|+1(0<a<1)的图 ☑课堂达标 象大致为 1.函数f(x)=(a2-a十1)loga+Dx是对数 函数，则实数a= A.0 B.1 类型三与对数函数有关的值域问题☑ C.2 D.3 例3|已知f(x)=2+logx,x∈[1,9]，求 2.如图，若C1,C2分别为函数 函数y=[f(x)]+f(x2)的最大值及y y=logx和y=logx的图 取得最大值时的x的值. 象，则 [解]由f(x)=2十logx,x∈[1,9]得 A.0<a<b<1 f(x2)=2+logx2,x∈[1,9]，即x∈ B.0<b<a<1 [-3,-1]U[1,3], C.a>6>1 得函数y=[f(x)门]+f(x2)的定义域为 D.6>a>1 [1,3], 3.设函数y=√4一x2的定义域为A,函数 y=(2+logx)2+2+1og3x2, y=ln(1一x)的定义域为B,则A∩B= 即y=(1og3x)2+6log3x+6=(1og3x十 3)2-3, A.(1,2) B.(1,2] 令log3x=t,0≤t≤1， C.(-2,1) D.[-2,1) y=(t十3)2-3，当t=log3x=1,即x=3 时，ymax=13. 4.已知函数y=1og.2z的图象恒过点 规律方法含有对数式的函数最值问 P,则点P坐标为 题一般首先考虑函数的定义域，在函数 5.判断下列给出的函数是否是对数函数： 定义域的制约之下对数式就在一定的 范围内取值，问题往往就转化为一个函 (1)y=loga(a>0,a≠1)； 数在一个区间上的最值问题.本例通过 (2)y=log(x+1)x; 换元将其转化为一个二次函数在区间 (3)y=1og(-2)2x; [0,1]上的最值问题. (4)y=1og2(x-3); [变式训练] (5)y=31og2x+1. 3.已知函数f(x)=log(1+x)+log(3-x) (a>0且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的最小值为一2，求实数 a的值. 高中新知探究学习 第二篇\ 8.求下列函数的定义域： 课后检测评价 一、选择题 )fx)=gx-20+3 1.下列函数是对数函数的是 ( (2)f(x)=logx+1)(16-4x). A.y=log,2 B.y=logsx C.y=2logax D.y=logax+1 1+log2(2-x),x<1, 2.设函数f(x)= 2-1,x≥1， 则f(-2)+f(1og212)= ( A.3 B.6 C.9 D.12 3.设函数f(x)=log2(3-x),则函数f(x) 的定义域是 ) A.{x|x>0} B.{x|x>3} C.xlx<3) D.xx>2) 4.函数f(x)=1+1og2x与g(x)=21-在 同一直角坐标系下的图象大致是( ) \↑y 2水 2 1 0/20202主 0f12 A C D 二、填空题 5.若函数f(x)=log。x(0<a<1)在区间 [a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为 6.若f(x)=logx十(a2-4a-5)是对数函 数，则a= 三、解答题 7.下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y=log4√元； (2)y=log2x+2; (3)y=81og2(x+1); (4)y=1og6(x>0,且x≠1)； (5)y=log6x. >>>>>107